Обратная решетка

Преобразование Фурье решетки реального пространства, важное в физике твердого тела

Сгенерированная компьютером обратная решетка вымышленного моноклинного 3D-кристалла.

Двумерный кристалл и его обратная решетка

Обратная решетка — это термин, связанный с твердыми телами с трансляционной симметрией , и играет важную роль во многих областях, таких как рентгеновская и электронная дифракция, а также энергии электронов в твердом теле. Она возникает из преобразования Фурье решетки , связанного с расположением атомов. Прямая решетка или действительная решетка — это периодическая функция в физическом пространстве , таком как кристаллическая система (обычно решетка Браве ). Обратная решетка существует в математическом пространстве пространственных частот , известном как обратное пространство или k-пространство , которое является дуальным физическому пространству, рассматриваемому как векторное пространство, а обратная решетка — это подрешетка этого пространства, которая является дуальной прямой решетке .

В квантовой физике обратное пространство тесно связано с пространством импульсов согласно пропорциональности , где — вектор импульса, а — приведенная постоянная Планка . Обратная решетка обратной решетки эквивалентна исходной прямой решетке, поскольку определяющие уравнения симметричны относительно векторов в действительном и обратном пространстве. Математически прямые и обратные решеточные векторы представляют собой ковариантные и контравариантные векторы соответственно. ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \hbar }$

Обратная решетка — это множество всех векторов , которые являются волновыми векторами плоских волн в ряду Фурье пространственной функции, периодичность которой такая же, как у прямой решетки . Каждая плоская волна в этом ряду Фурье имеет одну и ту же фазу или фазы, которые отличаются кратно в каждой точке прямой решетки (по сути, одна и та же фаза во всех точках прямой решетки). ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Зона Бриллюэна представляет собой ячейку Вигнера–Зейтца обратной решетки.

Описание на основе волн

Адсорбированные частицы на поверхности со сверхструктурой 1×2 приводят к появлению дополнительных пятен при дифракции низкоэнергетических электронов (LEED).

Взаимное пространство

Обратное пространство (также называемое k -пространством) предоставляет способ визуализации результатов преобразования Фурье пространственной функции. По своей роли оно похоже на частотную область, возникающую из преобразования Фурье функции, зависящей от времени; обратное пространство — это пространство, в котором преобразование Фурье пространственной функции представлено на пространственных частотах или волновых векторах плоских волн преобразования Фурье. Область самой пространственной функции часто называют реальным пространством. В физических приложениях, таких как кристаллография, как реальное, так и обратное пространство часто будут двумерными или трехмерными. В то время как число пространственных измерений этих двух связанных пространств будет одинаковым, пространства будут отличаться по своей количественной размерности, так что когда реальное пространство имеет размерность длины ( L ), его обратное пространство будет иметь обратную длину, поэтому L ⁻¹ (обратная величина длины).

Обратное пространство вступает в игру относительно волн, как классических, так и квантово-механических. Поскольку синусоидальная плоская волна с единичной амплитудой может быть записана как колебательный член с начальной фазой , угловым волновым числом и угловой частотой , ее можно рассматривать как функцию как от и (а изменяющуюся во времени часть как функцию как от и ). Эта дополнительная роль и приводит к их визуализации в дополнительных пространствах (реальном пространстве и обратном пространстве). Пространственная периодичность этой волны определяется ее длиной волны , где ; следовательно, соответствующее волновое число в обратном пространстве будет . ${\displaystyle \cos(kx-\omega t+\varphi _{0})}$ ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k\lambda =2\pi }$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

В трех измерениях соответствующий термин плоской волны становится , что упрощается до в фиксированное время , где — вектор положения точки в реальном пространстве, а теперь — волновой вектор в трехмерном обратном пространстве. (Величина волнового вектора называется волновым числом.) Константа — это фаза волнового фронта (плоскость постоянной фазы), проходящая через начало координат в момент времени , а — единичный вектор, перпендикулярный этому волновому фронту. Волновые фронты с фазами , где представляет собой любое целое число , включают в себя набор параллельных плоскостей, равномерно распределенных по длине волны . ${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{0})}$ ${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\varphi )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} =2\pi \mathbf {e} /\lambda }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle \varphi +(2\pi )n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$

Обратная решетка

В общем случае геометрическая решетка представляет собой бесконечный, регулярный массив вершин (точек) в пространстве, который может быть смоделирован векторно как решетка Браве . Некоторые решетки могут быть перекошенными, что означает, что их основные линии не обязательно могут быть под прямым углом. В обратном пространстве обратная решетка определяется как набор волновых векторов плоских волн в ряду Фурье любой функции, периодичность которой совместима с периодичностью исходной прямой решетки в реальном пространстве. Эквивалентно, волновой вектор является вершиной обратной решетки, если он соответствует плоской волне в реальном пространстве, фаза которой в любой момент времени одинакова (фактически отличается на целое число ) в каждой вершине прямой решетки. ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle (2\pi )n}$ ${\displaystyle n}$

Один эвристический подход к построению обратной решетки в трех измерениях заключается в том, чтобы записать вектор положения вершины прямой решетки как , где — целые числа, определяющие вершину, а — линейно независимые примитивные векторы трансляции (или кратко называемые примитивными векторами), которые характерны для решетки. Тогда существует уникальная плоская волна (с точностью до отрицательного множителя), волновой фронт которой через начало координат содержит точки прямой решетки в и , и со своим смежным волновым фронтом (фаза которого отличается на или от прежнего волнового фронта, проходящего через начало координат), проходящим через . Ее угловой волновой вектор принимает вид , где — единичный вектор, перпендикулярный этим двум смежным волновым фронтам, а длина волны должна удовлетворять , означает, что равно расстоянию между двумя волновыми фронтами. Следовательно, по построению и . ${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle -2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=2\pi \mathbf {e} _{1}/\lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b} _{1}=\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {b} _{1}=0}$

Циклически проходя по индексам по очереди, тот же метод дает три волновых вектора с , где дельта Кронекера равна единице, когда и равна нулю в противном случае. Составляют набор из трех примитивных волновых векторов или трех примитивных векторов трансляции для обратной решетки, каждая из вершин которой принимает вид , где являются целыми числами. Обратная решетка также является решеткой Браве , поскольку она образована целочисленными комбинациями примитивных векторов, которые являются , , и в этом случае. Простая алгебра затем показывает, что для любой плоской волны с волновым вектором на обратной решетке полный фазовый сдвиг между началом координат и любой точкой на прямой решетке является кратным (который может быть, возможно, равен нулю, если множитель равен нулю), поэтому фаза плоской волны с будет по существу одинаковой для каждой вершины прямой решетки, в соответствии с приведенным выше определением обратной решетки. (Хотя любой волновой вектор на обратной решетке всегда принимает эту форму, этот вывод является мотивационным, а не строгим, поскольку в нем опущено доказательство того, что не существует никаких других возможностей.) ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle m_{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Зона Бриллюэна — это примитивная ячейка (точнее, ячейка Вигнера–Зейтца ) обратной решетки, которая играет важную роль в физике твердого тела благодаря теореме Блоха . В чистой математике дуальное пространство линейных форм и дуальная решетка обеспечивают более абстрактные обобщения обратного пространства и обратной решетки.

Математическое описание

Демонстрация связи между реальной и обратной решеткой. Реальная пространственная 2D-решетка (красные точки) с примитивными векторами и показана синими и зелеными стрелками соответственно. Сверху построены плоские волны формы . Из этого мы видим, что когда есть любая целочисленная комбинация базиса векторов обратной решетки и (т.е. любой вектор обратной решетки), результирующие плоские волны имеют ту же периодичность решетки, то есть любой перенос из точки (показана оранжевым) в точку ( показана красным), значение плоской волны будет тем же. Эти плоские волны можно сложить, и приведенное выше соотношение все равно будет применяться. ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle e^{iG\cdot r}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R+r}$ ${\displaystyle R}$

Предположим, что решетка Браве трехмерная , и обозначим каждый вектор решетки (вектор, указывающий точку решетки) нижним индексом как тройку целых чисел, ${\displaystyle n=(n_{1},n_{2},n_{3})}$

${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$где ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {Z} }$

где — множество целых чисел, а — примитивный вектор трансляции или, короче, примитивный вектор. Взяв функцию , где — вектор положения из начала координат в любое положение, если следует периодичности этой решетки, например, функцию, описывающую электронную плотность в атомном кристалле, полезно записать в виде многомерного ряда Фурье ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=0}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }=f\left(\mathbf {r} \right)}$

где теперь нижний индекс , так что это тройная сумма. ${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$

Как следует из периодичности решетки, при переносе на любой вектор решетки мы получаем одно и то же значение, следовательно ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$

${\displaystyle f(\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})=f(\mathbf {r} ).}$

Выражая вышесказанное в виде ряда Фурье, мы имеем $${\displaystyle \sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }=\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})}=\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}\,e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }.}$$

Поскольку равенство двух рядов Фурье подразумевает равенство их коэффициентов, что имеет место только тогда, когда ${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}=2\pi N}$где ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} .}$

Математически обратная решетка — это множество всех векторов , которые являются волновыми векторами плоских волн в ряду Фурье пространственной функции, периодичность которой такая же, как у прямой решетки, как и множество всех векторов положений точек прямой решетки , и удовлетворяют этому равенству для всех . Каждая плоская волна в ряду Фурье имеет одинаковую фазу (на самом деле может отличаться на кратное ) во всех точках решетки . ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$

Как показано в разделе многомерный ряд Фурье , может быть выбран в виде , где . При этой форме обратная решетка как множество всех волновых векторов для ряда Фурье пространственной функции, периодичность которой следует , сама является решеткой Бравэ, поскольку она образована целочисленными комбинациями собственных примитивных векторов трансляции , а обратная величина обратной решетки является исходной решеткой, которая раскрывает двойственность Понтрягина их соответствующих векторных пространств . (Могут быть и другие формы . Любая допустимая форма приводит к той же обратной решетке.) ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$

Два измерения

Для бесконечной двумерной решетки, определяемой ее примитивными векторами , ее обратная решетка может быть определена путем генерации ее двух обратных примитивных векторов с помощью следующих формул: ${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}}$

где целое число и ${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=2\pi {\frac {-\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{-\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}}\end{aligned}}}$

Здесь представляет собой матрицу поворота на 90 градусов , т.е. четверть оборота. Вращение против часовой стрелки и вращение по часовой стрелке могут быть использованы для определения обратной решетки: Если — вращение против часовой стрелки, а — вращение по часовой стрелке, для всех векторов . Таким образом, используя перестановку ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q'} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} \,\mathbf {v} =-\mathbf {Q'} \,\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}}$

мы получаем

${\displaystyle \mathbf {b} _{n}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}.}$

Примечательно, что в трехмерном пространстве эта двумерная обратная решетка представляет собой бесконечно протяженный набор стержней Брэгга, описанный Сунгом и др. ^[1].

Три измерения

Для бесконечной трехмерной решетки , определяемой ее примитивными векторами и индексом целых чисел , ее обратная решетка с целым индексом может быть определена путем генерации ее трех обратных примитивных векторов, где — скалярное тройное произведение . Выбор этих векторов заключается в том, чтобы удовлетворить известному условию (могут быть и другие условия.) примитивных векторов трансляции для обратной решетки, полученной в эвристическом подходе выше и секционном многомерном ряде Фурье . Этот выбор также удовлетворяет требованию обратной решетки, математически полученному выше. Используя представление столбцов векторов (обратных) примитивных векторов, приведенные выше формулы можно переписать с использованием обращения матрицы : ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$ ${\displaystyle n=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\\[8pt]\mathbf {b} _{3}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)=\mathbf {a} _{2}\cdot \left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)=\mathbf {a} _{3}\cdot \left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)}$$ ${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$ ${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$

${\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}\right]^{\mathsf {T}}=2\pi \left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right]^{-1}.}$

Этот метод апеллирует к определению и допускает обобщение на произвольные размеры. Формула перекрестного произведения доминирует во вводных материалах по кристаллографии.

Вышеприведенное определение называется определением "физики", поскольку фактор естественным образом возникает из изучения периодических структур. По сути, эквивалентное определение, определение "кристаллографа", возникает из определения обратной решетки . которое изменяет обратные примитивные векторы на ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {K} _{m}=\mathbf {G} _{m}/2\pi }$

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}}}$

и так далее для других примитивных векторов. Определение кристаллографа имеет то преимущество, что определение является просто обратной величиной в направлении , опуская множитель . Это может упростить некоторые математические манипуляции и выразить обратные размеры решетки в единицах пространственной частоты . Какое определение решетки использовать — это дело вкуса, пока они не смешаны. ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$обычно записывается как или , называемые индексами Миллера ; заменяется на , заменяется на и заменяется на . Каждая точка решетки в обратной решетке соответствует набору плоскостей решетки в решетке реального пространства . (Плоскость решетки — это плоскость, пересекающая точки решетки.) Направление вектора обратной решетки соответствует нормали к плоскостям реального пространства. Величина вектора обратной решетки задается в обратной длине и равна обратной величине межплоскостного расстояния плоскостей реального пространства. ${\displaystyle (h,k,\ell )}$ ${\displaystyle (hk\ell )}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (hk\ell )}$ ${\displaystyle (hk\ell )}$ ${\displaystyle \mathbf {K} _{m}}$

Более высокие измерения

Формула для размерностей может быть получена, предполагая, что -мерное действительное векторное пространство с базисом и скалярным произведением . Векторы обратной решетки однозначно определяются формулой . Используя перестановку ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}$ ${\displaystyle g\colon V\times V\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle g(\mathbf {a} _{i},\mathbf {b} _{j})=2\pi \delta _{ij}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\2&3&\cdots &1\end{pmatrix}},}$

их можно определить по следующей формуле:

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}=2\pi {\frac {\varepsilon _{\sigma ^{1}i\ldots \sigma ^{n}i}}{\omega (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}}g^{-1}(\mathbf {a} _{\sigma ^{n-1}i}\,\lrcorner \ldots \mathbf {a} _{\sigma ^{1}i}\,\lrcorner \,\omega )\in V}$

Здесь — объемная форма , — обратная изоморфизму векторного пространства, определяемому формулой, и обозначает внутреннее умножение . ${\displaystyle \omega \colon V^{n}\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle g^{-1}}$ ${\displaystyle {\hat {g}}\colon V\to V^{*}}$ ${\displaystyle {\hat {g}}(v)(w)=g(v,w)}$ ${\displaystyle \lrcorner }$

Можно убедиться, что эта формула эквивалентна известным формулам для двумерного и трехмерного случая, используя следующие факты: В трех измерениях, а в двух измерениях, , где — поворот на 90 градусов (как и в объемной форме, угол, приписываемый повороту, зависит от выбора ориентации ^[2] ). ${\displaystyle \omega (u,v,w)=g(u\times v,w)}$ ${\displaystyle \omega (v,w)=g(Rv,w)}$ ${\displaystyle R\in {\text{SO}}(2)\subset L(V,V)}$

Взаимные решетки различных кристаллов

Обратные решетки для кубической кристаллической системы следующие.

Простая кубическая решетка

Простая кубическая решетка Браве с кубической примитивной ячейкой стороны имеет в качестве обратной простую кубическую решетку с кубической примитивной ячейкой стороны (или в определении кристаллографа). Поэтому говорят, что кубическая решетка является самодуальной, имеющей ту же симметрию в обратном пространстве, что и в реальном пространстве. ${\displaystyle a}$ ${\textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{a}}}$

Гранецентрированная кубическая (ГЦК) решетка

Обратная решетка к решетке ГЦК — это объемно-центрированная кубическая (ОЦК) решетка со стороной куба . ${\textstyle {\frac {4\pi }{a}}}$

Рассмотрим составную элементарную ячейку ГЦК. Найдите примитивную элементарную ячейку ГЦК; т. е. элементарную ячейку с одной точкой решетки. Теперь возьмите одну из вершин примитивной элементарной ячейки в качестве начала координат. Укажите базисные векторы действительной решетки. Затем из известных формул вы можете вычислить базисные векторы обратной решетки. Эти векторы обратной решетки ГЦК представляют собой базисные векторы действительной решетки ОЦК. Базисные векторы действительной решетки ОЦК и обратной решетки ГЦК похожи друг на друга по направлению, но не по величине.

Объемно-центрированная кубическая (ОЦК) решетка

Обратная решетка к ОЦК- решетке — это ГЦК- решетка со стороной куба . ${\textstyle 4\pi /a}$

Можно доказать, что только решетки Браве, имеющие угол между ними 90 градусов (кубическая, тетрагональная, орторомбическая), имеют примитивные векторы трансляции для обратной решетки, параллельные их векторам в реальном пространстве. ${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$

Простая шестиугольная решетка

Обратная простая гексагональная решетка Бравэ с постоянными решетки и является другой простой гексагональной решеткой с постоянными решетки и повернутой на 90° вокруг оси c относительно прямой решетки. Поэтому простая гексагональная решетка называется самодуальной, имеющей ту же симметрию в обратном пространстве, что и в реальном пространстве. Векторы примитивного переноса для этой простой гексагональной решетки Бравэ следующие ^[3] ${\textstyle a}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle 2\pi /c}$ ${\textstyle 4\pi /(a{\sqrt {3}})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{2}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{3}&=c{\hat {z}}.\end{aligned}}}$$

Произвольный набор атомов

Тень интенсивности обратной решетки 118-атомного граненого углеродного пентакона, светящаяся красным в результате дифракции при пересечении сферы Эвальда.

Один из путей к обратной решетке произвольного набора атомов исходит из идеи рассеянных волн в пределе Фраунгофера (дальнобойность или задняя фокальная плоскость линзы) как суммы амплитуд в стиле Гюйгенса от всех точек рассеяния (в данном случае от каждого отдельного атома). ^[4] Эта сумма обозначается комплексной амплитудой в уравнении ниже, поскольку она также является преобразованием Фурье (как функция пространственной частоты или обратного расстояния) эффективного рассеивающего потенциала в прямом пространстве: ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\!\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{j}}.}$

Здесь g = q /(2 π ) — вектор рассеяния q в единицах кристаллографа, N — число атомов, f _j [ g ] — атомный фактор рассеяния для атома j и вектора рассеяния g , а r _j — векторное положение атома j . Фаза Фурье зависит от выбора начала координат.

Для частного случая бесконечного периодического кристалла амплитуда рассеяния F = M F _h,k,ℓ от M элементарных ячеек (как в случаях выше) оказывается ненулевой только для целых значений , где ${\displaystyle (h,k,\ell )}$

${\displaystyle F_{h,k,\ell }=\sum _{j=1}^{m}f_{j}\left[g_{h,k,\ell }\right]e^{2\pi i\left(hu_{j}+kv_{j}+\ell w_{j}\right)}}$

когда внутри элементарной ячейки находится j  = 1, m атомов, чьи дробные индексы решетки соответственно { u _j , v _j , w _j }. Чтобы учесть эффекты, вызванные конечным размером кристалла, конечно, вместо этого следует использовать свертку формы для каждой точки или приведенное выше уравнение для конечной решетки.

Независимо от того, конечен ли массив атомов или бесконечен, можно также представить себе «решетку обратной интенсивности» I[ g ], которая связана с решеткой амплитуды F через обычное соотношение I = F ^* F , где F ^* — комплексно сопряженное число F. Поскольку преобразование Фурье обратимо, конечно, этот акт преобразования в интенсивность отбрасывает «всю информацию, кроме 2-го момента» (т.е. фазы). Для случая произвольного набора атомов решетка обратной интенсивности, таким образом, равна:

${\displaystyle I[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]f_{k}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{\!\!\;jk}}.}$

Здесь r _jk — это векторное разделение между атомом j и атомом k . Это также можно использовать для прогнозирования влияния формы нанокристаллита и тонких изменений в ориентации пучка на обнаруженные дифракционные пики, даже если в некоторых направлениях кластер имеет толщину всего в один атом. С другой стороны, расчеты рассеяния с использованием обратной решетки в основном рассматривают падающую плоскую волну. Таким образом, после первого взгляда на эффекты обратной решетки (кинематическое рассеяние), могут быть также важны для рассмотрения эффекты расширения пучка и многократного рассеяния (т. е. динамические ).

Обобщение дуальной решетки

На самом деле в математике существуют две версии концепции абстрактной дуальной решетки для заданной решетки L в действительном векторном пространстве V конечной размерности .

Первая, которая напрямую обобщает конструкцию обратной решетки, использует анализ Фурье . Это можно просто сформулировать в терминах двойственности Понтрягина . Двойственная группа V ^ к V снова является действительным векторным пространством, а ее замкнутая подгруппа L ^, двойственная к L, оказывается решеткой в ​​V ^. Следовательно, L ^ является естественным кандидатом на двойственную решетку в другом векторном пространстве (той же размерности).

Другой аспект виден в присутствии квадратичной формы Q на V ; если она невырождена , то позволяет идентифицировать дуальное пространство V ^* для V с V . Связь V ^* с V не является внутренней; она зависит от выбора меры Хаара (элемента объема) на V . Но при наличии идентификации этих двух, которая в любом случае хорошо определена с точностью до скаляра , присутствие Q позволяет говорить о дуальной решетке для L , оставаясь при этом в пределах V .

В математике двойственной решеткой данной решетки L в абелевой локально компактной топологической группе G называется подгруппа L ^∗ двойственной группы G , состоящая из всех непрерывных характеров , которые равны единице в каждой точке L.

В дискретной математике решетка — это локально дискретный набор точек, описываемый всеми целочисленными линейными комбинациями dim = n линейно независимых векторов в R ⁿ . Двойственная решетка тогда определяется всеми точками в линейной оболочке исходной решетки (обычно все R ⁿ ) со свойством, что целое число получается из скалярного произведения со всеми элементами исходной решетки. Из этого следует, что двойственная к двойственной решетке решетка является исходной решеткой.

Более того, если мы позволим матрице B иметь столбцы в качестве линейно независимых векторов, описывающих решетку, то матрица будет иметь столбцы векторов, описывающих двойственную решетку. ${\displaystyle A=B\left(B^{\mathsf {T}}B\right)^{-1}}$

Смотрите также

• Зона Бриллюэна  – примитивная ячейка в решетке обратного пространства кристаллов
• Кристаллография  – научное изучение кристаллических структур
• Двойственный базис  – концепция линейной алгебры
• Сфера Эвальда  – Сохранение энергии при дифракции на атомах
• Линия Кикучи (физика твердого тела)  – Узоры, образованные рассеяниемPages displaying short descriptions of redirect targets
• Индекс Миллера  – Система обозначений плоскостей кристаллической решетки
• Порошковая дифракция  – Экспериментальный метод в рентгеновской дифракции
• Ось зоны  – высокосимметричная ориентация кристалла

Ссылки

1. Sung, SH; Schnitzer, N.; Brown, L.; Park, J.; Hovden, R. (2019-06-25). «Укладка, деформация и скручивание в 2D-материалах, количественно оцененные с помощью 3D-электронной дифракции». Physical Review Materials . 3 (6): 064003. arXiv : 1905.11354 . Bibcode : 2019PhRvM...3f4003S. doi : 10.1103/PhysRevMaterials.3.064003. S2CID  166228311.
2. Оден, Мишель (2003). Геометрия . Спрингер. п. 69.
3. Киттель, Чарльз (2005). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 44. ISBN 0-471-41526-X.
4. BE Warren (1969/1990) Рентгеновская дифракция (Эддисон-Уэсли, Рединг, Массачусетс/Довер, Минеола, Нью-Йорк).

Внешние ссылки

• http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html Архивировано 31 августа 2020 г. на Wayback Machine – Симулятор дифракции электронов на основе Jmol позволяет исследовать пересечение обратной решетки и сферы Эвальда при наклоне.
• Пакет учебных материалов DoITPoMS по теме «Взаимное пространство и обратная решетка»
• Легко изучите кристаллографию и то, как обратная решетка объясняет явление дифракции, как показано в главах 4 и 5.