Общее правило Лейбница

Обобщение правила произведения в исчислении

В исчислении общее правило Лейбница ^[1], названное в честь Готфрида Вильгельма Лейбница , обобщает правило произведения (которое также известно как «правило Лейбница»). Оно гласит, что если и являются n -кратно дифференцируемыми функциями , то произведение также является n -кратно дифференцируемым и его n -я производная определяется как, где — биномиальный коэффициент , а обозначает j -ю производную функции f (и, в частности, ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle fg}$ $${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},}$$ ${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$ ${\displaystyle f^{(j)}}$ ${\displaystyle f^{(0)}=f}$

Правило можно доказать, используя правило произведения и математическую индукцию .

Вторая производная

Если, например, n = 2 , правило дает выражение для второй производной произведения двух функций: $${\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).}$$

Более двух факторов

Формулу можно обобщить до произведения m дифференцируемых функций f ₁ ,..., f _m . где сумма распространяется на все m -кортежи ( k ₁ ,..., k _m ) неотрицательных целых чисел с и являются коэффициентами полинома . Это похоже на формулу полинома из алгебры. $${\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,}$$ ${\textstyle \sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,}$ $${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$$

Доказательство

Доказательство общего правила Лейбница проводится по индукции. Пусть и будут -раз дифференцируемыми функциями. Базовый случай, когда утверждает, что: что является обычным правилом произведения и, как известно, является истинным. Далее, предположим, что утверждение справедливо для фиксированного , то есть, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle (fg)'=f'g+fg',}$$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ $${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.}$$

Тогда, И поэтому утверждение справедливо для , и доказательство завершено. $${\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n+1}$

Многовариантное исчисление

При использовании многоиндексной записи частных производных функций нескольких переменных правило Лейбница формулируется в более общем виде: $${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).}$$

Эту формулу можно использовать для вывода формулы, которая вычисляет символ композиции дифференциальных операторов. Фактически, пусть P и Q — дифференциальные операторы (с коэффициентами, которые дифференцируемы достаточно много раз) и Поскольку R также является дифференциальным оператором, символ R задается как: ${\displaystyle R=P\circ Q.}$ $${\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).}$$

Прямой расчет теперь дает: $${\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).}$$

Эта формула обычно известна как формула Лейбница. Она используется для определения композиции в пространстве символов, тем самым индуцируя кольцевую структуру.

Смотрите также

• Биномиальная теорема  – Алгебраическое разложение степеней двучлена
• Вывод (дифференциальная алгебра)  – Алгебраическое обобщение производной
• Производная  – Мгновенная скорость изменения (математика)
• Дифференциальная алгебра  – Алгебраическое исследование дифференциальных уравнений
• Треугольник Паскаля  – Треугольный массив биномиальных коэффициентов в математике
• Правило произведения  – Формула производной произведения
• Правило частного  – Формула производной отношения функций

Ссылки

1. Олвер, Питер Дж. (2000). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Springer. С. 318–319. ISBN 9780387950006.