Общий многочлен

В математике общий многочлен обычно относится к многочлену , коэффициенты которого являются неопределенными . Например, если a , b и c являются неопределенными, общий многочлен второй степени по x равен ${\displaystyle ax^{2}+bx+c.}$

Однако в теории Галуа , разделе алгебры , и в этой статье термин общий многочлен имеет другое, хотя и связанное, значение: общий многочлен для конечной группы G и поля F — это монический многочлен P с коэффициентами в поле рациональных функций L = F ( t ₁ , ..., t _n ) от n неизвестных над F , такой что поле расщепления M полинома P имеет группу Галуа G над L , и такое что каждое расширение K / F с группой Галуа G может быть получено как поле расщепления многочлена, которое является специализацией P , полученной путем задания n неизвестных n элементам из F . Иногда это называется F-общим или относительно поля F ; Q - общий многочлен, который является общим относительно рациональных чисел, называется просто общим.

Существование, и особенно построение, общего многочлена для данной группы Галуа обеспечивает полное решение обратной задачи Галуа для этой группы. Однако не все группы Галуа имеют общие многочлены, контрпримером является циклическая группа восьмого порядка.

Группы с общими многочленами

• Симметрическая группа S _n . Это тривиально, так как

${\displaystyle x^{n}+t_{1}x^{n-1}+\cdots +t_{n}}$

является общим полиномом для S _n .

• Циклические группы C _n , где n не делится на восемь. Ленстра показал, что циклическая группа не имеет общего многочлена, если n делится на восемь, а Г. В. Смит явно строит такой многочлен в случае, если n не делится на восемь.
• Конструкция циклической группы приводит к другим классам общих многочленов; в частности, диэдральная группа D _n имеет общий многочлен тогда и только тогда, когда n не делится на восемь.
• Группа кватернионов Q ₈ .
• Группы Гейзенберга для любого нечетного простого числа p . ${\displaystyle H_{p^{3}}}$
• Группа знакопеременных чисел А ₄ .
• Группа чередования А ₅ .
• Группы отражения, определенные над Q , включая, в частности, группы корневых систем для E ₆ , E ₇ и E ₈ .
• Любая группа, являющаяся прямым произведением двух групп, обе из которых имеют общие многочлены.
• Любая группа, являющаяся сплетением двух групп, обе из которых имеют общие многочлены.

Примеры универсальных полиномов

Известны общие многочлены для всех транзитивных групп степени 5 или ниже.

Общее измерение

Общая размерность для конечной группы G над полем F , обозначаемая , определяется как минимальное число параметров в общем многочлене для G над F , или если общего многочлена не существует. ${\displaystyle gd_{F}G}$ ${\displaystyle \infty }$

Примеры:

• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }A_{3}=1}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }S_{3}=1}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }D_{4}=2}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }S_{4}=2}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }D_{5}=2}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }S_{5}=2}$

Публикации

• Йенсен, Кристиан У., Ледет, Арне и Юи, Норико, Общие многочлены , Cambridge University Press, 2002