stringtranslate.com

Математический объект

Математический объект — это абстрактное понятие, возникающее в математике . На обычном языке математики объект — это все, что было (или может быть) формально определено и с чем можно проводить дедуктивные рассуждения и математические доказательства . [ требуется ссылка ] Как правило, математический объект может быть значением, которое может быть присвоено переменной , и, следовательно, может быть включено в формулы . Обычно встречающиеся математические объекты включают числа , множества , функции , выражения , геометрические объекты , преобразования других математических объектов и пространства . Математические объекты могут быть очень сложными; например, теоремы , доказательства и даже теории рассматриваются как математические объекты в теории доказательств .

В философии математики

Природа математических объектов

В философии математики понятие « объекты » затрагивает темы существования , идентичности и природы реальности . [1] В метафизике объекты часто рассматриваются как сущности , обладающие свойствами и способные находиться в различных отношениях друг с другом. [2] Философы спорят о том , существуют ли объекты независимо вне человеческого мышления ( реализм ) или их существование зависит от ментальных конструкций или языка ( идеализм и номинализм ). Объекты могут быть как конкретными , такими как физические объекты в мире, так и абстрактными , и именно в этом последнем обычно находятся математические объекты. То, что составляет «объект», является основополагающим для многих областей философии, от онтологии (изучения бытия) до эпистемологии (изучения знания). В математике объекты часто рассматриваются как сущности, которые существуют независимо от физического мира , что поднимает вопросы об их онтологическом статусе. [3] [4] Существуют различные школы мысли , которые предлагают разные точки зрения по этому вопросу, и многие известные математики и философы имеют разные мнения о том, что является более правильным. [5]

незаменимость Куайна-Патнэма

Незаменимость Куайна-Патнэма — это аргумент в пользу существования математических объектов, основанный на их необоснованной эффективности в естественных науках . Каждая отрасль науки в значительной степени опирается на большие и часто совершенно разные области математики. От использования физикой гильбертовых пространств в квантовой механике и дифференциальной геометрии в общей теории относительности до использования биологией теории хаоса и комбинаторики (см. математическую биологию ), математика не только помогает с предсказаниями , она позволяет этим областям иметь элегантный язык для выражения этих идей. Более того, трудно представить, как такие области, как квантовая механика и общая теория относительности, могли бы развиваться без их помощи со стороны математики, и поэтому можно утверждать, что математика незаменима для этих теорий. Именно из-за этой необоснованной эффективности и незаменимости математики философы Уиллард Куайн и Хилари Патнэм утверждают, что мы должны верить, что математические объекты, от которых зависят эти теории, действительно существуют, то есть мы должны иметь онтологическую приверженность им. Аргумент описывается следующим силлогизмом : [6]

( Предположение 1) Мы должны иметь онтологическую приверженность всем и только тем сущностям, которые необходимы для наших лучших научных теорий.

(Предположение 2) Математические сущности незаменимы для наших лучших научных теорий.

( Заключение ) Мы должны иметь онтологическую приверженность математическим сущностям.

Этот аргумент перекликается с философией прикладной математики, называемой натурализмом [7] (или иногда предикативизмом) [8] , которая утверждает, что единственными авторитетными стандартами существования являются стандарты науки .

Школы мысли

платонизм

Платон, изображенный на картине Рафаэля Санти «Афинская школа».

Платонизм утверждает, что математические объекты рассматриваются как реальные, абстрактные сущности , которые существуют независимо от человеческой мысли , часто в некоторой платоновской сфере . Так же, как существуют физические объекты , такие как электроны и планеты , так же существуют числа и множества. И так же, как утверждения об электронах и планетах являются истинными или ложными, поскольку эти объекты содержат совершенно объективные свойства , так же существуют утверждения о числах и множествах. Математики открывают эти объекты, а не изобретают их. [9] [10] (См. также: Математический платонизм )

Некоторые известные платоники включают в себя:

Номинализм

Номинализм отрицает независимое существование математических объектов. Вместо этого он предполагает, что они являются просто удобными выдумками или сокращениями для описания отношений и структур в нашем языке и теориях. Согласно этой точке зрения, математические объекты не существуют за пределами символов и концепций, которые мы используем. [12] [13]

Некоторые известные номиналисты включают в себя:

Логицизм

Логицизм утверждает, что все математические истины могут быть сведены к логическим истинам , и все объекты , составляющие предмет этих разделов математики, являются логическими объектами. Другими словами, математика по сути является разделом логики , и все математические концепции, теоремы и истины могут быть выведены из чисто логических принципов и определений. Логицизм столкнулся с проблемами, особенно с аксиомами Рассила, аксиомой мультипликативности (теперь называемой аксиомой выбора ) и его аксиомой бесконечности , а позднее с открытием теорем Гёделя о неполноте , которые показали, что любая достаточно мощная формальная система (вроде тех, которые используются для выражения арифметики ) не может быть одновременно полной и последовательной . Это означало, что не все математические истины могли быть выведены исключительно из логической системы, что подрывало программу логицизма. [15]

Некоторые известные логики включают в себя:

Формализм

Математический формализм рассматривает объекты как символы в формальной системе . Основное внимание уделяется манипулированию этими символами в соответствии с заданными правилами, а не самим объектам. Одно общее понимание формализма рассматривает математику не как совокупность предложений, представляющих абстрактную часть реальности, а как нечто гораздо более похожее на игру, не приносящее с собой больше онтологических обязательств объектов или свойств, чем игра в лудо или шахматы . С этой точки зрения математика касается согласованности формальных систем, а не открытия уже существующих объектов. Некоторые философы считают логицизм разновидностью формализма. [18]

Некоторые известные формалисты включают в себя:

Конструктивизм

Математический конструктивизм утверждает, что необходимо найти (или «построить») конкретный пример математического объекта, чтобы доказать, что пример существует. Напротив, в классической математике можно доказать существование математического объекта, не «находя» этот объект явно, предполагая его несуществование и затем выводя противоречие из этого предположения. Такое доказательство от противного можно назвать неконструктивным, и конструктивист может отвергнуть его. Конструктивная точка зрения включает в себя проверочную интерпретацию квантора существования , которая противоречит его классической интерпретации. [21] Существует много форм конструктивизма. [22] К ним относятся программа интуиционизма, основанная Брауэром , финитизм Гильберта и Бернайса , конструктивная рекурсивная математика математиков Шанина и Маркова и программа конструктивного анализа Бишопа . [23] Конструктивизм также включает в себя изучение конструктивных теорий множеств, таких как конструктивная теория Цермело–Френкеля, а также изучение философии.

Структурализм

Структурализм предполагает, что математические объекты определяются их местом в структуре или системе. Природа числа, например, не связана с какой-либо конкретной вещью, а с его ролью в системе арифметики . В некотором смысле, тезис заключается в том, что математические объекты (если такие объекты существуют) просто не имеют внутренней природы. [24] [25]

Некоторые известные структуралисты включают в себя:

Объекты против отображений

В математике карта или отображение — это функция в общем смысле; здесь это как при ассоциации любой из четырех цветных фигур в X с ее цветом в Y. [27]

Фреге провел знаменитое различие между функциями и объектами . [28] Согласно его взгляду, функция — это своего рода «неполная» сущность , которая отображает аргументы в значения и обозначается неполным выражением, тогда как объект — это «полная» сущность и может быть обозначена единичным термином. Фреге свел свойства и отношения к функциям, и поэтому эти сущности не включены в число объектов. Некоторые авторы используют понятие «объект» Фреге при обсуждении абстрактных объектов. [29] Но хотя понимание «объекта» Фреге важно, это не единственный способ использования этого термина. Другие философы включают свойства и отношения в число абстрактных объектов. И когда фоновым контекстом для обсуждения объектов является теория типов , свойства и отношения более высокого типа (например, свойства свойств и свойства отношений) могут все считаться «объектами». Это последнее использование «объекта» взаимозаменяемо с «сущностью». Именно эту более широкую интерпретацию имеют в виду математики, когда используют термин «объект». [30]

Смотрите также

Ссылки

Цитируемые источники

  1. ^ Реттлер, Брэдли; Бейли, Эндрю М. (2024), Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), «Объект», Стэнфордская энциклопедия философии (лето 2024 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , дата обращения 28 августа 2024 г.
  2. ^ Кэрролл, Джон В.; Маркосян, Нед (2010). Введение в метафизику . Кембриджские введения в философию (1-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82629-7.
  3. ^ Берджесс, Джон и Розен, Гидеон, 1997. Субъект без объекта: стратегии номиналистической реконструкции математики . Oxford University Press . ISBN 0198236158 
  4. ^ Falguera, José L.; Martínez-Vidal, Concha; Rosen, Gideon (2022), Zalta, Edward N. (ред.), «Abstract Objects», The Stanford Encyclopedia of Philosophy (лето 2022 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , дата обращения 28 августа 2024 г.
  5. ^ Хорстен, Леон (2023), Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), «Философия математики», Стэнфордская энциклопедия философии (зима 2023 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , дата обращения 29 августа 2024 г.
  6. ^ Коливан, Марк (2024), Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), «Аргументы незаменимости в философии математики», Стэнфордская энциклопедия философии (лето 2024 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , дата обращения 28 августа 2024 г.
  7. ^ Paseau, Alexander (2016), Zalta, Edward N. (ред.), «Натурализм в философии математики», The Stanford Encyclopedia of Philosophy (зима 2016 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , дата обращения 28 августа 2024 г.
  8. ^ Хорстен, Леон (2023), Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), «Философия математики», Стэнфордская энциклопедия философии (зима 2023 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , дата обращения 28 августа 2024 г.
  9. ^ Linnebo, Øystein (2024), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (ред.), «Platonism in the Philosophy of Mathematics», The Stanford Encyclopedia of Philosophy (лето 2024 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , дата обращения 27 августа 2024 г.
  10. ^ "Платонизм, Математический | Интернет-энциклопедия философии" . Получено 28.08.2024 .
  11. ^ Ройбу, Тиб (2023-07-11). "Сэр Роджер Пенроуз". Геометрия имеет значение . Получено 2024-08-27 .
  12. ^ Bueno, Otávio (2020), Zalta, Edward N. (ред.), «Номинализм в философии математики», The Stanford Encyclopedia of Philosophy (ред. осень 2020 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , дата обращения 27 августа 2024 г.
  13. ^ "Математический номинализм | Интернет-энциклопедия философии" . Получено 28.08.2024 .
  14. ^ Филд, Хартри (2016-10-27). Наука без цифр. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-877791-5.
  15. ^ Теннант, Нил (2023), Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), «Логицизм и неологизм», Стэнфордская энциклопедия философии (зима 2023 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , дата обращения 27 августа 2024 г.
  16. ^ "Фреге, Готтлоб | Интернет-энциклопедия философии" . Получено 29.08.2024 .
  17. ^ Глок, Х. Дж. (2008). Что такое аналитическая философия? Издательство Кембриджского университета. стр. 1. ISBN 978-0-521-87267-6. Получено 28.08.2023 .
  18. ^ Weir, Alan (2024), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (ред.), «Формализм в философии математики», The Stanford Encyclopedia of Philosophy (изд. весна 2024 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , дата обращения 28 августа 2024 г.
  19. ^ Саймонс, Питер (2009). «Формализм». Философия математики. Elsevier. стр. 292. ISBN 9780080930589.
  20. ^ Белл, Джон Л.; Корте, Герберт (2024), Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), «Герман Вейль», Стэнфордская энциклопедия философии (лето 2024 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , дата обращения 28 августа 2024 г.
  21. ^ Бриджес, Дуглас; Палмгрен, Эрик; Исихара, Хадзимэ (2022), Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), «Конструктивная математика», Стэнфордская энциклопедия философии (ред. осень 2022 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , дата обращения 28 августа 2024 г.
  22. ^ Troelstra, Anne Sjerp (1977a). «Аспекты конструктивной математики». Справочник по математической логике . 90 : 973–1052. doi :10.1016/S0049-237X(08)71127-3
  23. ^ Бишоп, Эрретт (1967). Основы конструктивного анализа . Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 4-87187-714-0.
  24. ^ "Структурализм, Математический | Интернет-энциклопедия философии" . Получено 28.08.2024 .
  25. ^ Рек, Эрих; Шимер, Георг (2023), Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), «Структурализм в философии математики», Стэнфордская энциклопедия философии (весеннее издание 2023 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , дата обращения 28 августа 2024 г.
  26. ^ Философия математики: структура и онтология . Oxford University Press, 1997. ISBN 0-19-513930-5
  27. ^ Халмос, Пол Р. (1974). Наивная теория множеств. Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 30. ISBN 978-0-387-90092-6.
  28. ^ Маршалл, Уильям (1953). «Теория функций и объектов Фреге». The Philosophical Review . 62 (3): 374–390. doi :10.2307/2182877. ISSN  0031-8108.
  29. ^ Хейл, Боб, «Абстрактные объекты», Энциклопедия философии Routledge , Лондон: Routledge , получено 28 августа 2024 г.
  30. ^ Falguera, José L.; Martínez-Vidal, Concha; Rosen, Gideon (2022), Zalta, Edward N. (ред.), «Abstract Objects», The Stanford Encyclopedia of Philosophy (лето 2022 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , дата обращения 28 августа 2024 г.

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки