Регулярная диатоническая настройка — это любая музыкальная гамма, состоящая из « тонов » (T) и « полутонов » (S), расположенных в любом повороте последовательности TTSTTTS, которая в сумме составляет октаву , где все T имеют одинаковый размер, и все S имеют одинаковый размер, причем 'S меньше, чем 'T. В такой настройке ноты соединяются вместе в цепочку из семи квинт, все одинакового размера (TTTS или перестановка этого), что делает ее линейной темперацией с темперированной квинтой в качестве генератора.
Для обычных диатонических гамм, описанных здесь, T -s являются тонами, а s -s являются полутонами, которые составляют половину или приблизительно половину размера тона. Но в более общих регулярных диатонических настройках два шага могут иметь любое соотношение в диапазоне между T = 171,43 ¢ (для s = T в верхнем пределе) и T = 240 ¢ (для s = 0 в нижнем пределе) в музыкальных центах (квинта, p5, между 685,71 ¢ и 720 ¢). Обратите внимание, что регулярные диатонические настройки не ограничиваются нотами какой-либо конкретной диатонической гаммы, используемой для их описания.
Можно определить соответствующие центы s , T и квинты (p5), учитывая одно из значений:
Когда (диатонические) полутоны, s , сводятся к нулю ( T = 240 ¢ ), октава становится TTTTT , или пятитоновой равномерной темперацией . По мере того, как полутонов становится больше, в конечном итоге все шаги становятся одинакового размера, и в результате получается семитоновая равномерная темперация ( s = T = 171.43 ¢ ). Эти две крайности не включены в качестве «регулярных» диатонических настроек, потому что для того, чтобы быть «регулярными», необходимо сохранить шаблон из пяти больших и двух малых шагов; все, что находится между ними, является регулярным, какими бы малыми ни были полутоны, не исчезая полностью, или какими бы большими они ни стали, оставаясь при этом строго меньше целого тона.
«Регулярный» здесь понимается в смысле отображения пифагорейского диатона таким образом, что все интервальные соотношения сохраняются. [1] Например, во всех регулярных диатонических строях, как и для пифагорейского диатона:
и так далее; во всех этих примерах результат «снижается до октавы» (понижается на октаву всякий раз, когда нота в последовательности превышает октаву выше начального тона).
Если нарушить правило «регулярности» , что s должно быть меньше T , и продолжить увеличивать размер s дальше, так что он станет больше T , то получатся нерегулярные гаммы с двумя большими шагами и пятью малыми шагами, и в конечном итоге, когда все T исчезнут, результатом будет ss , то есть разделение октавы на тритоны . Однако эти странные гаммы упомянуты здесь только для того, чтобы отмахнуться от них; они не являются регулярными диатоническими настройками.
Все обычные диатонические настройки также являются линейными темперациями , т. е. обычными темперациями с двумя генераторами: октавой и темперированной квинтой. Можно использовать темперированную кварту как альтернативный генератор (например, как BEADGCF , восходящие кварты, сведенные к октаве), но темперированная квинта является более обычным выбором, и в любом случае, поскольку квинты и кварты являются октавными дополнениями, повышение на чистые кварты дает тот же результат, что и повышение на квинты.
Все обычные диатонические настройки также генерируются наборами (также называемыми моментами симметрии ), и цепочка квинт может быть продолжена в любом направлении, чтобы получить двенадцатитоновую систему FCGDAEBF ♯ C ♯ G ♯ D ♯ A ♯, где интервал F ♯ - G такой же, как B ♭ B и т. д., еще один момент симметрии с двумя размерами интервала.
Вместо одного полутона, S , на самом деле их два: хроматический полутон, c , и диатонический полутон, D ; D — это другое название S. Три ноты, разделенные хроматическим и диатоническим полутоном, образуют целый тон между первой и последней: cd = dc = T. Небольшая разница в высоте тона между ними называется коммой , обычно с префиксом в виде названия системы настройки, которая ее генерирует, например, синтоническая комма (21,5 ¢), или пифагорейская комма (23,5 ¢), или 53 TET комма (22,6 ¢).
Цепочка из восьми нот, разделенных квинтами, создает хроматический полутон, c , как пространство между первой и последней; это изменение высоты тона, необходимое для повышения минорного тона до мажорного тона; например, от E ♭ до E . Для любой настройки хроматический полутон — это пространство между бемольной нотой и ее натуральной нотой или натуральной нотой и ее диезом; между белой клавишей и либо черной клавишей над ней (если настроена как диез), либо черной клавишей под ней (если настроена как бемоль); в большинстве настроек эти два интервала различны. Диатонический полутон, D , называемый выше S , — это изменение высоты тона последовательности из шести нот, разделенных квинтами, например, от E до F или от B до C . Для любой настройки диатонический полутон — это относительная разница высоты тона на стандартной клавиатуре между двумя белыми клавишами, между которыми нет черной клавиши. Модель хроматических и диатонических полутонов — cd cd d cd cd cd d или некая смешанная версия этого. Здесь система из семи равных тонов является пределом, поскольку хроматический полутон стремится к нулю, а система из пяти тонов — пределом, поскольку диатонический полутон стремится к нулю.
Обычные диатонические настройки включают все линейные темперации в пределах «Диапазона узнаваемости» Изли Блэквуда в его «Структуре узнаваемых диатонических настроек » [2] для диатонических настроек с
Однако его «диапазон узнаваемости» более ограничен, чем «обычная диатоническая настройка». Например, он требует, чтобы диатонический полутон был размером не менее 25 центов. См. [3] для краткого изложения.
Когда квинты немного ниже, чем в просто интонации, то мы находимся в области исторических настроек meantone , которые распределяют или смягчают синтоническую комму . Они включают:
Когда квинты составляют ровно 3/2, или около 702 центов, получается пифагорейский диатонический строй.
Для квинт, немного уже 3/2, результатом является схизматическая темперация , где темперация измеряется в терминах дроби схизмы — величины, на которую цепь из восьми квинт, уменьшенная до октавы, острее, чем просто минорная секста 8/5. Так, например, схизматическая темперация 1/8 достигнет чистого 8/5 в восходящей цепи из восьми квинт. Равномерная темперация в 53 тона достигает хорошего приближения к схизматической темперации .
Если квинту настроить немного выше или всего лишь между 702,4 и 705,9 центами, то в результате получатся очень высокие большие терции с отношениями около 14/11 (417,508 центов) и очень низкие малые терции около 13/11 (289,210 центов). Такие настройки известны как «парапифагорейские».
При 705,882 центах, с квинтами, темперированными в широком направлении на 3,929 цента, результатом является диатоническая гамма в 17 тоновой равномерной темперации . За этой точкой регулярные большие и малые терции приближаются к простым соотношениям чисел с простыми множителями 2-3-7, таким как 9/7 или септимальная большая терция (435,084 цента) и 7/6 или септимальная малая терция (266,871 цента). В то же время регулярные тоны все больше и больше приближаются к большому тону 8/7 (231,174 цента), а регулярные малые септимы - к "гармонической септиме" в простом соотношении 7/4 (968,826 цента). Этот септимальный диапазон простирается примерно до 711,11 цента или 27 тоновой равномерной темперации , или немного дальше.
Остаются две крайности:
Диатонические гаммы, построенные в равномерной темперации, могут иметь квинты как шире, так и уже, чем просто 3/2. Вот несколько примеров:
Термин синтонический темперамент описывает сочетание
Эта комбинация необходима и достаточна для определения набора отношений между тональными интервалами, которые инвариантны по всему диапазону настройки синтонической темперации. Следовательно, она также определяет инвариантное отображение — по всему континууму настройки — между (a) нотами в этих (псевдо-Just) сгенерированных тональных интервалах, и (b) соответствующими обертонами аналогично сгенерированного псевдо-гармонического тембра. Следовательно, отношения между синтонической темперацией и ее выровненными по нотам тембрами можно рассматривать как обобщение особых отношений между Just Intonation и Harmonic Series.
Поддержание инвариантного соответствия между нотами и обертонами во всем диапазоне настройки позволяет использовать динамическую тональность — новое расширение рамок тональности, которое включает в себя такие тембровые эффекты, как простота, конусность и насыщенность [6], а также тональные эффекты, такие как полифонические изгибы настройки и динамические прогрессии настройки [7] .
Если рассматривать континуум настройки синтонической темперации как струну, а отдельные настройки как бусины на этой струне, то можно увидеть, что большая часть традиционной микротональной литературы сосредоточена на различиях между бусинами, в то время как синтоническую темперацию можно рассматривать как сосредоточенную на общности вдоль струны.
Ноты синтонической темперации лучше всего воспроизводятся с использованием нотной раскладки Вики-Хайдена . [8] Поскольку синтоническая темперация и нотная раскладка Вики-Хайдена генерируются с использованием одного и того же генератора и периода, они изоморфны друг другу; следовательно, нотная раскладка Вики-Хайдена является изоморфной клавиатурой для синтонической темперации. Аппликатура любой заданной музыкальной структуры одинакова в любой настройке на континууме настройки синтонической темперации. Сочетание изоморфной клавиатуры и непрерывно изменяемой настройки поддерживает динамическую тональность, как описано выше. [7]
Как показано на рисунке справа, тонально допустимый диапазон настройки синтонической темперации включает в себя ряд исторически важных настроек, таких как популярное в настоящее время 12-тоновое равное деление октавы (настройка 12-эдо, также известная как 12-тоновая «равномерная темперация» ), настройки мезонина и пифагорейская настройка . Настройки в синтонической темперации могут быть равномерными (12-эдо, 31-эдо ), неравномерными (пифагорейская, мезонина), циркулирующими и справедливыми. [9] [10]
Легенда рисунка 2 (с правой стороны рисунка) показывает стек P5, центрированный на D. Каждая результирующая нота представляет интервал в синтонической темперации с D в качестве тоники. Основная часть рисунка показывает, как ширина (от D) этих интервалов изменяется по мере изменения ширины P5 по всему континууму настройки синтонической темперации.