Ограниченное представительство

В теории групп ограничение формирует представление подгруппы , используя известное представление всей группы . Ограничение является фундаментальной конструкцией в теории представлений групп. Часто ограниченное представление проще для понимания. Правила разложения ограничения неприводимого представления на неприводимые представления подгруппы называются правилами ветвления и имеют важные приложения в физике . Например, в случае явного нарушения симметрии группа симметрии задачи сводится от всей группы к одной из ее подгрупп. В квантовой механике это понижение симметрии проявляется как расщепление вырожденных уровней энергии на мультиплеты , как в эффекте Штарка или Зеемана .

Индуцированное представление — это связанная операция, которая формирует представление всей группы из представления подгруппы. Связь между ограничением и индукцией описывается взаимностью Фробениуса и теоремой Макки. Ограничение на нормальную подгруппу ведет себя особенно хорошо и часто называется теорией Клиффорда в честь теоремы А. Х. Клиффорда. ^[1] Ограничение можно обобщить на другие гомоморфизмы групп и на другие кольца .

Для любой группы G , ее подгруппы H и линейного представления ρ группы G ограничение ρ на H обозначается

${\displaystyle \rho \,{\Big |}_{H}}$

является представлением H в том же векторном пространстве теми же операторами:

${\displaystyle \rho \,{\Big |}_{H}(h)=\rho (h).}$

Классические правила ветвления

Классические правила ветвления описывают ограничение неприводимого комплексного представления ( π ,  V ) классической группы G на классическую подгруппу H , то есть кратность, с которой неприводимое представление ( σ ,  W ) группы H встречается в  π . По принципу взаимности Фробениуса для компактных групп это эквивалентно нахождению кратности π в унитарном представлении, индуцированном из σ. Правила ветвления для классических групп были определены

• Вейль (1946) между последовательными унитарными группами ;
• Мурнаган (1938) между последовательными специальными ортогональными группами и унитарными симплектическими группами ;
• Литтлвуд (1950) от унитарных групп к унитарным симплектическим группам и специальным ортогональным группам.

Результаты обычно выражаются графически с использованием диаграмм Юнга для кодирования сигнатур, используемых классически для маркировки неприводимых представлений, известных из классической теории инвариантов . Герман Вейль и Ричард Брауэр открыли систематический метод определения правила ветвления, когда группы G и H имеют общий максимальный тор : в этом случае группа Вейля группы H является подгруппой группы G , так что правило может быть выведено из формулы характера Вейля . ^{[2] [3]} Систематическая современная интерпретация была дана Хоу (1995) в контексте его теории дуальных пар . Особый случай, когда σ является тривиальным представлением H, был впервые широко использован Хуа в его работе о ядрах Сегё ограниченных симметричных областей в нескольких комплексных переменных , где граница Шилова имеет вид G / H. ^{[4] [5]} В более общем смысле теорема Картана-Хельгасона дает разложение, когда G / H является компактным симметричным пространством, в этом случае все кратности равны единице; ^[6] обобщение на произвольное σ с тех пор было получено Костантом (2004). Аналогичные геометрические соображения также использовались Кнаппом (2003) для повторного вывода правил Литтлвуда, которые включают знаменитые правила Литтлвуда-Ричардсона для тензоризации неприводимых представлений унитарных групп. Литтлманн (1995) нашел обобщения этих правил на произвольные компактные полупростые группы Ли , используя свою модель путей , подход к теории представлений, близкий по духу к теории кристаллических базисов Люстига и Кашивары . Его методы дают правила ветвления для ограничений на подгруппы, содержащие максимальный тор. Изучение правил ветвления важно в классической теории инвариантов и ее современном аналоге, алгебраической комбинаторике . ^{[7] [8]}

Пример . Унитарная группа U ( N ) имеет неприводимые представления, помеченные сигнатурами

${\displaystyle \mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}}$

где f _i — целые числа. Фактически, если унитарная матрица U имеет собственные значения z _i , то характер соответствующего неприводимого представления π _f задается как

${\displaystyle \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(U)={\det z_{j}^{f_{i}+N-i} \over \prod _{i<j}(z_{i}-z_{j})}.}$

Правило ветвления от U ( N ) к U ( N  – 1) гласит, что

Пример . Унитарная симплектическая группа или кватернионная унитарная группа , обозначаемая Sp( N ) или U ( N , H ), является группой всех преобразований H ^{N ,} которые коммутируют с правым умножением на кватернионы H и сохраняют H -значное эрмитово скалярное произведение.

${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{N})\cdot (r_{1},\ldots ,r_{N})=\sum r_{i}^{*}q_{i}}$

на H ^N , где q * обозначает кватернион, сопряженный с q . Реализуя кватернионы как комплексные матрицы 2 x 2, группа Sp( N ) является просто группой блочных матриц ( q _ij ) в SU(2 N ) с

${\displaystyle q_{ij}={\begin{pmatrix}\alpha _{ij}&\beta _{ij}\\-{\overline {\beta }}_{ij}&{\overline {\alpha }}_{ij}\end{pmatrix}},}$

где α _ij и β _ij — комплексные числа .

Каждая матрица U в Sp( N ) сопряжена с блочно-диагональной матрицей с элементами

${\displaystyle q_{i}={\begin{pmatrix}z_{i}&0\\0&{\overline {z}}_{i}\end{pmatrix}},}$

где | z _i | = 1. Таким образом, собственные значения U равны ( z _i ^±1 ). Неприводимые представления Sp( N ) помечены сигнатурами

${\displaystyle \mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}\geq 0}$

где f _i — целые числа. Характер соответствующего неприводимого представления σ _f задается формулой ^[9]

${\displaystyle \operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(U)={\det z_{j}^{f_{i}+N-i+1}-z_{j}^{-f_{i}-N+i-1} \over \prod (z_{i}-z_{i}^{-1})\cdot \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}.}$

Правило ветвления от Sp( N ) к Sp( N  – 1) гласит, что ^[10]

Здесь f _{N + 1} = 0, а кратность m ( f , g ) определяется как

${\displaystyle m(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\prod _{i=1}^{N}(a_{i}-b_{i}+1)}$

где

${\displaystyle a_{1}\geq b_{1}\geq a_{2}\geq b_{2}\geq \cdots \geq a_{N}\geq b_{N}=0}$

представляет собой невозрастающую перестановку 2 N неотрицательных целых чисел ( f _i ), ( g _j ) и 0.

Пример . Разветвление от U(2 N ) к Sp( N ) опирается на два тождества Литтлвуда : ^{[11] [12] [13] [14]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \Pi _{\mathbf {f} ,0}(z_{1},z_{1}^{-1},\ldots ,z_{N},z_{N}^{-1})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\\[5pt]={}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(z_{1},\ldots ,z_{N})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\cdot \prod _{i<j}(1-z_{i}z_{j})^{-1},\end{aligned}}}$

где Π _{f ,0} — неприводимое представление U (2 N ) с сигнатурой f ₁ ≥ ··· ≥ f _N ≥ 0 ≥ ··· ≥ 0.

${\displaystyle \prod _{i<j}(1-z_{i}z_{j})^{-1}=\sum _{f_{2i-1}=f_{2i}}\operatorname {Tr} \pi _{f}(z_{1},\ldots ,z_{N}),}$

где f _i ≥ 0.

Правило ветвления от U(2 N ) к Sp( N ) задается формулой

где все сигнатуры неотрицательны, а коэффициент M ( g , h ; k ) является кратностью неприводимого представления π _k U ( N ) в тензорном произведении π _g π _h . Он задается комбинаторно правилом Литтлвуда–Ричардсона, числом перестановок решетки косой диаграммы k / h веса g . [ 8 ^] ${\displaystyle \otimes }$

Существует расширение правила ветвления Литтлвуда на произвольные сигнатуры, предложенное Сундарамом (1990, стр. 203). Коэффициенты Литтлвуда–Ричардсона M ( g , h ; f ) расширены, чтобы позволить сигнатуре f иметь 2 N частей, но ограничить g четными длинами столбцов ( g _{2 i – 1} = g _{2 i} ). В этом случае формула выглядит так:

где M _N ( g , h ; f ) подсчитывает количество перестановок решетки f / h веса g , для которых 2 j + 1 появляется не ниже строки N + j матрицы f для 1 ≤ j ≤ | g |/2.

Пример . Специальная ортогональная группа SO( N ) имеет неприводимые обычные и спиновые представления , помеченные сигнатурами ^{[2] [7] [15] [16]}

• ${\displaystyle f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|}$для N = 2n ;
• ${\displaystyle f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0}$для N = 2n +1.

f i берутся в Z для обычных представлений и в ½ + Z для спиновых представлений. Фактически, если ортогональная матрица _U имеет собственные значения z _i ^±1 для 1 ≤ i ≤ n , то характер соответствующего неприводимого представления π _f задается как

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,\pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+n-i}+z_{j}^{-f_{i}-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}}$

для N = 2 n и по

${\displaystyle \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+1/2+n-i}-z_{j}^{-f_{i}-1/2-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})\cdot \prod _{k}(z_{k}^{1/2}-z_{k}^{-1/2})}}$

для N = 2n +1.

Правила ветвления от SO( N ) до SO( N  – 1) гласят, что ^[17]

для N = 2 n  + 1 и

для N = 2 n , где разности f _i  −  g _i должны быть целыми числами.

Базис Гельфанда–Цетлина

Поскольку правила ветвления от до или до имеют кратность один, неприводимые слагаемые, соответствующие все меньшему и меньшему N, в конечном итоге будут заканчиваться в одномерных подпространствах. Таким образом, Гельфанд и Цетлин смогли получить базис любого неприводимого представления или , помеченный цепочкой чередующихся сигнатур, называемый шаблоном Гельфанда–Цетлина . Явные формулы для действия алгебры Ли на базис Гельфанда–Цетлина приведены в Желобенко (1973). В частности, для базис Гельфанда–Тестлина неприводимого представления с размерностью задается комплексными сферическими гармониками . ${\displaystyle U(N)}$ ${\displaystyle U(N-1)}$ ${\displaystyle SO(N)}$ ${\displaystyle SO(N-1)}$ ${\displaystyle U(N)}$ ${\displaystyle SO(N)}$ ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle SO(3)}$ ${\displaystyle 2l+1}$ ${\displaystyle \{Y_{m}^{l}|-l\leq m\leq l\}}$

Для оставшейся классической группы ветвление больше не является свободным от кратности, так что если V и W являются неприводимыми представлениями и пространство переплетающих элементов может иметь размерность больше единицы. Оказывается, что янгиан , алгебра Хопфа , введенная Людвигом Фаддеевым и соавторами , действует неприводимо на этом пространстве кратности, факт, который позволил Молеву (2006) расширить конструкцию базисов Гельфанда–Цетлина до . ^[18] ${\displaystyle Sp(N)}$ ${\displaystyle Sp(N-1)}$ ${\displaystyle Sp(N)}$ ${\displaystyle Hom_{Sp(N-1)}(V,W)}$ ${\displaystyle Y({\mathfrak {gl}}_{2})}$ ${\displaystyle Sp(N)}$

Теорема Клиффорда

В 1937 году Альфред Х. Клиффорд доказал следующий результат об ограничении конечномерных неприводимых представлений группы G до нормальной подгруппы N конечного индекса : ^[19]

Теорема . Пусть π : G GL( n , K ) — неприводимое представление с полем K . Тогда ограничение π на N распадается на прямую сумму неприводимых представлений N равной размерности. Эти неприводимые представления N лежат в одной орбите для действия G сопряжением на классах эквивалентности неприводимых представлений N . В частности, число различных слагаемых не больше индекса N в  G . ${\displaystyle \rightarrow }$

Двадцать лет спустя Джордж Макки нашел более точную версию этого результата для ограничения неприводимых унитарных представлений локально компактных групп замкнутыми нормальными подгруппами в том, что стало известно как «машина Макки» или «анализ нормальных подгрупп Макки». ^[20]

Абстрактная алгебраическая постановка

С точки зрения теории категорий ограничение является примером забывающего функтора . Этот функтор является точным , а его левый сопряженный функтор называется индукцией . Связь между ограничением и индукцией в различных контекстах называется взаимностью Фробениуса. Взятые вместе, операции индукции и ограничения образуют мощный набор инструментов для анализа представлений. Это особенно верно, когда представления обладают свойством полной приводимости , например, в теории представлений конечных групп над полем нулевой характеристики .

Обобщения

Эта довольно очевидная конструкция может быть расширена многочисленными и значительными способами. Например, мы можем взять любой групповой гомоморфизм φ из H в G вместо отображения включения и определить ограниченное представление H композицией

${\displaystyle \rho \circ \varphi \,}$

Мы также можем применить эту идею к другим категориям в абстрактной алгебре : ассоциативные алгебры , кольца, алгебры Ли , супералгебры Ли , алгебры Хопфа и т. д. Представления или модули ограничиваются подобъектами или посредством гомоморфизмов.

Примечания

1. Вейль 1946, стр. 159–160.
2. Weyl 1946
3. Желобенко 1973
4. Хельгасон 1978
5. Хуа 1963
6. Хельгасон 1984, стр. 534–543.
7. Гудман и Уоллах 1998
8. Macdonald 1979
9. Вейль 1946, стр. 218
10. Гудман и Уоллах 1998, стр. 351–352, 365–370.
11. Литтлвуд 1950
12. Вейль 1946, стр. 216–222.
13. Коике и Терада 1987
14. Макдональд 1979, стр. 46
15. Литтлвуд 1950, стр. 223–263.
16. Мурнаган 1938
17. Гудман и Уоллах 1998, стр. 351
18. Г. И. Ольшанский показал, что скрученный янгиан , подалгебра Хопфа , действует естественным образом на пространстве интертвинеров. Его естественные неприводимые представления соответствуют тензорным произведениям композиции точечных оценок с неприводимыми представлениями ₂ . Они распространяются на янгиан и дают теоретико-представительное объяснение формы произведения коэффициентов ветвления. ${\displaystyle Y^{-}({\mathfrak {gl}}_{2})}$ ${\displaystyle Y({\mathfrak {gl}}_{2})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$ ${\displaystyle Y({\mathfrak {gl}})}$
19. Вейль 1946, стр. 159–160, 311.
20. Макки, Джордж У. (1976), Теория представлений унитарных групп , Чикагские лекции по математике, ISBN 978-0-226-50052-2

Ссылки

• Гудман, Роу; Уоллах, Нолан (1998), Представления и инварианты классических групп , Encyclopedia Math. Appl., т. 68, Cambridge University Press
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, Группы Ли и симметричные пространства , Academic Press
• Хельгасон, Сигурдур (1984), Группы и геометрический анализ: Интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции , Чистая и прикладная математика, т. 113, Academic Press, ISBN 978-0-12-338301-3
• Хоу, Роджер (1995), Перспективы теории инвариантов, Лекции Шура, 1992 , Израильская математическая конференция, т. 8, Американское математическое общество, стр. 1–182
• Хау, Роджер ; Тан, Энг-Чай; Вилленбринг, Джеб Ф. (2005), «Стабильные правила ветвления для классических симметричных пар», Trans. Amer. Math. Soc. , 357 (4): 1601–1626, doi : 10.1090/S0002-9947-04-03722-5
• Хуа, Л.К. (1963), Гармонический анализ функций многих комплексных переменных в классических областях , Американское математическое общество
• Кнапп, Энтони В. (2003), «Геометрические интерпретации двух теорем о ветвлении Д. Е. Литтлвуда», Журнал алгебры , 270 (2): 728–754, doi : 10.1016/j.jalgebra.2002.11.001
• Коике, Казухико; Терада, Итару (1987), «Методы диаграмм Юнга для теории представлений классических групп типа B _n , C _n , D _n », Журнал алгебры , 107 (2): 466–511, doi : 10.1016/0021-8693(87)90099-8
• Костант, Бетрам (2004), Закон ветвления для подгрупп, фиксированных инволюцией, и некомпактный аналог теоремы Бореля-Вейля , Progr. Math., т. 220, Birkhäuser, стр. 291–353, arXiv : math.RT/0205283 , Bibcode : 2002math......5283K
• Литтельманн, Питер (1995), «Пути и корневые операторы в теории представлений», Annals of Mathematics , 142 (3): 499–525, doi :10.2307/2118553, JSTOR  2118553
• Литтлвуд, Дадли Э. (1950), Теория групповых характеров и матричные представления групп , Oxford University Press
• Макдональд, Ян Г. (1979), Симметричные функции и многочлены Холла , Oxford University Press
• Молев, AI (1999), "Основа для представлений симплектических алгебр Ли", Comm. Math. Phys. , 201 (3): 591–618, arXiv : math/9804127 , Bibcode : 1999CMaPh.201..591M, doi : 10.1007/s002200050570, S2CID  17990182
• Молев, А.И. (2006), "Базисы Гельфанда-Цетлина для классических алгебр Ли", В "Справочнике по алгебре", т. 4, (ред. М. Хазевинкель), Elsevier, стр. 109-170 , Справочник по алгебре, 4 , Elsevier: 109–170, arXiv : math/0211289 , Bibcode : 2002math.....11289M, ISBN 978-0-444-52213-9
• Мурнаган, Фрэнсис Д. (1938), Теория групповых представлений , Johns Hopkins Press
• Слански, Ричард (1981), «Теория групп для построения унифицированных моделей», Physics Reports , 79 (1): 1–128, Bibcode : 1981PhR....79....1S, CiteSeerX  10.1.1.126.1581 , doi : 10.1016/0370-1573(81)90092-2 доступно онлайн
• Сундарам, Шейла (1990), «Таблицы в теории представлений классических групп Ли», Институт математики и ее приложений , IMA Vol. Math. Appl., 19 : 191–225, Bibcode :1990IMA....19..191S
• Вейль, Герман (1946), Классические группы , Princeton University Press
• Желобенко, Д.П. (1973), Компактные группы Ли и их представления , Переводы математических монографий, т. 40, Американское математическое общество