Ограничение (математика)

Функция с меньшей областью определения

Функция с доменом не имеет обратной функции . Если мы ограничимся неотрицательными действительными числами , то у нее есть обратная функция, известная как квадратный корень ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x.}$

В математике ограничение функции — это новая функция, обозначаемая или получаемая путем выбора меньшей области определения для исходной функции. Тогда говорят, что функция расширяется . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{A}}$ ${\displaystyle f{\upharpoonright _{A}},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{A}.}$

Формальное определение

Пусть будет функцией из множества в множество Если множество является подмножеством , то ограничением на является функция ^[1], заданная для Неформально, ограничение на является той же функцией, что и , но определено только на . ${\displaystyle f:E\to F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {f|}_{A}:A\to F}$$ ${\displaystyle {f|}_{A}(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in A.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle A}$

Если рассматривать функцию как отношение декартова произведения , то ограничение на можно представить ее графиком : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle E\times F,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}$

где пары представляют собой упорядоченные пары в графе ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle G.}$

Расширения

Говорят, что функция — это ${\displaystyle F}$расширение другой функции, если всякий раз, когданаходится в области определения, тотакже находится в области определенияи То есть, еслии ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(x)=F(x).}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}$ ${\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f.}$

Алинейное расширение (соответственно,непрерывное продолжение и т. д.) функции— это продолжение, которое также являетсялинейным отображением(соответственно,непрерывное отображениеи т. д.). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Примеры

1. Ограничение неинъективной функции на область определения — это инъекция ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}.}$
2. Факториальная функция представляет собой ограничение гамма- функции положительными целыми числами, при этом аргумент сдвинут на единицу : ${\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}$

Свойства ограничений

• Ограничение функции всей ее областью определения возвращает исходную функцию, то есть: ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f|_{X}=f.}$
• Ограничение функции дважды равносильно ее ограничению один раз, то есть если то ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f,}$ ${\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}.}$
• Ограничение функции тождества на множестве на подмножество представляет собой просто отображение включения из в ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Ограничение непрерывной функции непрерывно. ^{[3] [4]}

Приложения

Обратные функции

Для того чтобы функция имела обратную функцию, она должна быть взаимно-однозначной . Если функция не является взаимно-однозначной, то можно определить частично обратную функцию, ограничив область определения. Например, функция, определенная на всем множестве, не является взаимно-однозначной, так как для любого Однако функция становится взаимно-однозначной, если мы ограничимся областью определения, в этом случае ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x)=x^{2}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty ),}$ $${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$$

(Если вместо этого мы ограничимся областью определения , то обратная функция будет отрицательным значением квадратного корня из ). С другой стороны, нет необходимости ограничивать область определения, если мы позволим обратной функции быть многозначной функцией . ${\displaystyle (-\infty ,0],}$ ${\displaystyle y.}$

Операторы выбора

В реляционной алгебре выборка (иногда называемая ограничением, чтобы избежать путаницы с использованием SELECT в SQL) — это унарная операция, записываемая как или где: ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$ ${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$

• ${\displaystyle a}$и являются именами атрибутов, ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \theta }$является бинарным действием в наборе ${\displaystyle \{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\},}$
• ${\displaystyle v}$является константой значения,
• ${\displaystyle R}$является отношением .

Выборка выбирает все те кортежи , для которых выполняется условие между и атрибутом. ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Выборка выбирает все те кортежи, в которых содержится значение между атрибутом и значением ${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle v.}$

Таким образом, оператор выбора ограничивается подмножеством всей базы данных.

Лемма о склеивании

Лемма о склеивании — это результат в топологии , связывающий непрерывность функции с непрерывностью ее ограничений на подмножества.

Пусть будут два замкнутых подмножества (или два открытых подмножества) топологического пространства, такие что и пусть также будет топологическим пространством. Если является непрерывным при ограничении на оба и тогда является непрерывным. ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=X\cup Y,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$

Этот результат позволяет взять две непрерывные функции, определенные на замкнутых (или открытых) подмножествах топологического пространства, и создать новую.

Снопы

Пучки предоставляют способ обобщения ограничений на объекты, помимо функций.

В теории пучков объект в категории назначается каждому открытому множеству топологического пространства и требуется, чтобы объекты удовлетворяли определенным условиям. Наиболее важным условием является то, что существуют морфизмы ограничений между каждой парой объектов, связанных с вложенными открытыми множествами; то есть, если тогда существует морфизм, удовлетворяющий следующим свойствам, которые предназначены для имитации ограничения функции: ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V\subseteq U,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$

• Для каждого открытого множества морфизм ограничения является тождественным морфизмом на ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$ ${\displaystyle F(U).}$
• Если у нас есть три открытых множества, то составное ${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{W,V}\circ \operatorname {res} _{V,U}=\operatorname {res} _{W,U}.}$
• (Локальность) Если — открытое покрытие открытого множества и если таковы, что для каждого множества покрытия, то ; и ${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle s,t\in F(U)}$ ${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=t{\big \vert }_{U_{i}}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle s=t}$
• (Склеивание) Если есть открытое покрытие открытого множества и если для каждого задано сечение такое, что для каждой пары множеств покрытия ограничения и согласуются относительно перекрытий: то существует сечение такое, что для каждого ${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}\in F\left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle U_{i},U_{j}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle s_{i}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}},}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=s_{i}}$ ${\displaystyle i.}$

Коллекция всех таких объектов называется пучком . Если выполняются только первые два свойства, то это предпучок .

Ограничение слева и справа

В более общем смысле ограничение (или ограничение области или левое ограничение ) бинарного отношения между и может быть определено как отношение, имеющее область кодомена и граф Аналогично, можно определить правое ограничение или ограничение диапазона Действительно, можно определить ограничение на -арные отношения, а также на подмножества, понимаемые как отношения, такие как подмножества декартова произведения для бинарных отношений. Эти случаи не вписываются в схему пучков . ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle A\triangleleft R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G(A\triangleleft R)=\{(x,y)\in F(R):x\in A\}.}$ ${\displaystyle R\triangleright B.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E\times F}$

Антиограничение

Антиограничение области (или вычитание области ) функции или бинарного отношения (с областью и областью значений ) множеством можно определить как ; оно удаляет все элементы из области значений Иногда обозначается  ⩤  ^[5] Аналогично, антиограничение области (или вычитание области ) функции или бинарного отношения множеством можно определить как ; оно удаляет все элементы из области значений Иногда обозначается  ⩥  ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (E\setminus A)\triangleleft R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R\triangleright (F\setminus B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B.}$

Смотрите также

• Ограничение  – условие задачи оптимизации, которому должно удовлетворять решение.
• Ретракт деформации  – непрерывное, сохраняющее положение отображение из топологического пространства в подпространство.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Локальное свойство  – свойство, которое проявляется в достаточно малых или произвольно малых окрестностях точек.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Функция (математика) § Ограничение и расширение
• Бинарное отношение § Ограничение
• Реляционная алгебра § Выборка (σ)

Ссылки

1. Столл, Роберт (1974). Множества, логика и аксиоматические теории (2-е изд.). Сан-Франциско: WH Freeman and Company. стр. [36]. ISBN 0-7167-0457-9.
2. Халмос, Пол (1960). Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Д. Ван Ностранд.Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).  
3. Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Верхняя Сэддл-Ривер: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
4. Адамс, Колин Конрад; Францоса, Роберт Дэвид (2008). Введение в топологию: чистую и прикладную . Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-184869-6.
5. Данн, С. и Стоддарт, Билл Объединение теорий программирования: Первый международный симпозиум, UTP 2006, Замок Уолворт, графство Дарем, Великобритания, 5–7 февраля 2006 г., Пересмотренные избранные ... Компьютерная наука и общие вопросы) . Springer (2006)