Ограниченный оператор

Линейное преобразование между топологическими векторными пространствами

В функциональном анализе и теории операторов ограниченный линейный оператор — это линейное преобразование между топологическими векторными пространствами (TVS) , которое отображает ограниченные подмножества в ограниченные подмножества Если и являются нормированными векторными пространствами (специальный тип TVS), то ограничен тогда и только тогда, когда существует такое , что для всех Наименьшее такое называется нормой оператора и обозначается Ограниченный оператор между нормированными пространствами непрерывен , и наоборот. ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle \|Lx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}.}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \|L\|.}$

Понятие ограниченного линейного оператора было распространено с нормированных пространств на все топологические векторные пространства.

За пределами функционального анализа, когда функция называется « ограниченной », это обычно означает, что ее образ является ограниченным подмножеством ее области значений. Линейное отображение обладает этим свойством тогда и только тогда, когда оно тождественно. Следовательно, в функциональном анализе, когда линейный оператор называется «ограниченным», то он никогда не подразумевается в этом абстрактном смысле (имея ограниченный образ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle 0.}$

В нормированных векторных пространствах

Каждый ограниченный оператор непрерывен по Липшицу в точке ${\displaystyle 0.}$

Эквивалентность ограниченности и непрерывности

Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен .

Доказательство

Предположим, что ограничено. Тогда для всех векторов с ненулевым значением имеем Переход к нулю показывает, что непрерывен при Более того, поскольку константа не зависит от это показывает, что на самом деле равномерно непрерывен и даже липшицево непрерывен . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x,h\in X}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle \|L(x+h)-L(x)\|=\|L(h)\|\leq M\|h\|.}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle L}$

Наоборот, из непрерывности в нулевом векторе следует, что существует такой , что для всех векторов с Таким образом, для всех ненулевых имеем Это доказывает, что ограничено. ЧЭД ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \|L(h)\|=\|L(h)-L(0)\|\leq 1}$ ${\displaystyle h\in X}$ ${\displaystyle \|h\|\leq \varepsilon .}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle \|Lx\|=\left\Vert {\|x\| \over \varepsilon }L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert ={\|x\| \over \varepsilon }\left\Vert L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert \leq {\|x\| \over \varepsilon }\cdot 1={1 \over \varepsilon }\|x\|.}$$ ${\displaystyle L}$

В топологических векторных пространствах

Линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами (TVS) называется ограниченным линейным оператором или просто ограниченным , если всякий раз, когда ограничен в , то ограничен в Подмножество TVS называется ограниченным (или, точнее, ограниченным по фон Нейману ), если каждая окрестность начала координат поглощает его. В нормированном пространстве (и даже в полунормированном пространстве ) подмножество ограничено по фон Нейману тогда и только тогда, когда оно ограничено по норме. Следовательно, для нормированных пространств понятие ограниченного по фон Нейману множества идентично обычному понятию ограниченного по норме подмножества. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle Y.}$

Непрерывность и ограниченность

Каждый последовательно непрерывный линейный оператор между TVS является ограниченным оператором. ^[1] Это подразумевает, что каждый непрерывный линейный оператор между метризуемыми TVS является ограниченным. Однако, в общем случае, ограниченный линейный оператор между двумя TVS не обязан быть непрерывным.

Эта формулировка позволяет определить ограниченные операторы между общими топологическими векторными пространствами как оператор, который переводит ограниченные множества в ограниченные множества. В этом контексте все еще верно, что каждое непрерывное отображение ограничено, однако обратное неверно; ограниченный оператор не обязан быть непрерывным. Это также означает, что ограниченность больше не эквивалентна непрерывности Липшица в этом контексте.

Если область является борнологическим пространством (например, псевдометризуемым TVS , пространством Фреше , нормированным пространством ), то линейный оператор в любые другие локально выпуклые пространства ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Для пространств LF имеет место более слабое обратное утверждение; любое ограниченное линейное отображение из пространства LF является последовательно непрерывным .

Если — линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами и если существует окрестность начала координат в такая, что — ограниченное подмножество, то является непрерывным. ^[2] Этот факт часто обобщают, говоря, что линейный оператор, ограниченный в некоторой окрестности начала координат, обязательно непрерывен. В частности, любой линейный функционал, ограниченный в некоторой окрестности начала координат, является непрерывным (даже если его область определения не является нормированным пространством ). ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F}$

Борнологические пространства

Борнологические пространства — это в точности те локально выпуклые пространства, для которых каждый ограниченный линейный оператор в другое локально выпуклое пространство обязательно непрерывен. То есть локально выпуклое TVS является борнологическим пространством тогда и только тогда, когда для каждого локально выпуклого TVS линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$

Каждое нормированное пространство является борнологическим.

Характеристика ограниченных линейных операторов

Пусть — линейный оператор между топологическими векторными пространствами (не обязательно Хаусдорфовыми). Следующие операторы эквивалентны: ${\displaystyle F:X\to Y}$

1. ${\displaystyle F}$(локально) ограничен; ^[3]
2. (Определение): отображает ограниченные подмножества своей области в ограниченные подмножества своей области значений; ^[3] ${\displaystyle F}$
3. ${\displaystyle F}$отображает ограниченные подмножества своей области в ограниченные подмножества своего изображения ; ^[3] ${\displaystyle \operatorname {Im} F:=F(X)}$
4. ${\displaystyle F}$отображает каждую нулевую последовательность в ограниченную последовательность; ^[3]
   • Нулевая последовательность по определению — это последовательность, которая сходится к началу координат.
   • Таким образом, любое линейное отображение, которое последовательно непрерывно в начале координат, обязательно является ограниченным линейным отображением.
5. ${\displaystyle F}$отображает каждую сходящуюся нулевую последовательность Макки в ограниченное подмножество ^{[примечание 1]} ${\displaystyle Y.}$
   • Говорят, что последовательность сходится по Макки к началу координат , если существует расходящаяся последовательность положительных действительных чисел, такая, что является ограниченным подмножеством ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$

если и локально выпуклы , то к этому списку можно добавить следующее: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

6. ${\displaystyle F}$отображает ограниченные диски в ограниченные диски. ^[4]
7. ${\displaystyle F^{-1}}$отображает диски, питающиеся пищей , в диски, питающиеся пищей, в ^[4] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

если является борнологическим пространством и локально выпукло, то к этому списку можно добавить следующее: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

8. ${\displaystyle F}$последовательно непрерывна в некоторой (или, что эквивалентно, в каждой) точке своей области определения. ^[5]
   • Последовательно непрерывное линейное отображение между двумя TVS всегда ограничено ^[1], но для справедливости обратного требуются дополнительные предположения (например, что область является борнологической, а кодоменом является локально выпуклая).
   • Если домен также является последовательным пространством , то он является последовательно непрерывным тогда и только тогда, когда он непрерывен. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$
9. ${\displaystyle F}$последовательно непрерывен в начале координат .

Примеры

• Любой линейный оператор между двумя конечномерными нормированными пространствами ограничен, и такой оператор можно рассматривать как умножение на некоторую фиксированную матрицу .
• Любой линейный оператор, определенный на конечномерном нормированном пространстве, ограничен.
• На пространстве последовательностей , в конечном счете равных нулю последовательностей действительных чисел, рассматриваемом с нормой, линейный оператор действительных чисел, возвращающий сумму последовательности, ограничен с нормой оператора 1. Если же то же самое пространство рассматривается с нормой , тот же самый оператор не ограничен. ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$
• Многие интегральные преобразования являются ограниченными линейными операторами. Например, если — непрерывная функция, то оператор, определенный на пространстве непрерывных функций на , снабженном равномерной нормой и со значениями в пространстве с , заданными формулой , ограничен. Этот оператор на самом деле является компактным оператором . Компактные операторы образуют важный класс ограниченных операторов. $${\displaystyle K:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C[a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle C[c,d]}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle (Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,}$$
• Оператор Лапласа (его область определения — пространство Соболева , и он принимает значения в пространстве квадратично интегрируемых функций ) ограничен. $${\displaystyle \Delta :H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\,}$$
• Оператор сдвига в пространстве Lp всех последовательностей действительных чисел с ограничен. Его операторная норма, как легко видеть, равна ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,}$ $${\displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=\left(0,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$$ ${\displaystyle 1.}$

Неограниченные линейные операторы

Пусть — пространство всех тригонометрических полиномов с нормой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ],}$

$${\displaystyle \|P\|=\int _{-\pi }^{\pi }\!|P(x)|\,dx.}$$

Оператор , отображающий многочлен в его производную, не ограничен. Действительно, для с мы имеем в то время как так не ограничен. ${\displaystyle L:X\to X}$ ${\displaystyle v_{n}=e^{inx}}$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots ,}$ ${\displaystyle \|v_{n}\|=2\pi ,}$ ${\displaystyle \|L(v_{n})\|=2\pi n\to \infty }$ ${\displaystyle n\to \infty ,}$ ${\displaystyle L}$

Свойства пространства ограниченных линейных операторов

Пространство всех ограниченных линейных операторов из в обозначается через . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

• ${\displaystyle B(X,Y)}$— нормированное векторное пространство.
• Если является банаховым, то и ; в частности, двойственные пространства являются банаховыми. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$
• Для любого ядро ​​является замкнутым линейным подпространством . ${\displaystyle A\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$
• Если является банаховым и нетривиальным, то является банаховым. ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Смотрите также

• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)  – Обобщение ограниченности
• Сокращение (теория операторов)  – Ограниченные операторы с субъединичной нормой
• Прерывистое линейное отображение
• Непрерывный линейный оператор
• Локальная ограниченность
• Норма (математика)  – Длина в векторном пространстве
• Операторная алгебра  – Раздел функционального анализа
• Норма оператора  – мера «размера» линейных операторов.
• Теория операторов  – Математическая область изучения
• Полунорма  – Математическая функция
• Неограниченный оператор  – Линейный оператор, определенный на плотном линейном подпространстве.

Ссылки

1. Доказательство: Предположим ради противоречия , что сходится к , но не ограничено в Выберите открытую сбалансированную окрестность начала отсчета в , которая не поглощает последовательность Заменяя подпоследовательностью, если необходимо, можно предположить без потери общности, что для каждого положительного целого числа Последовательность сходится по Макки к началу отсчета (так как ограничено в ), поэтому по предположению ограничено в Так что выберите действительное число , такое что для каждого целого числа Если это целое число, то так как сбалансировано, что является противоречием. QED Это доказательство легко обобщается, чтобы дать еще более сильные характеристики " ограничено". Например, слово "такое, что является ограниченным подмножеством " в определении "Макки, сходящегося к началу отсчета" можно заменить на "такое, что в " ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle z_{\bullet }:=\left(x_{i}/i\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(iz_{i}\right)_{i=1}^{\infty }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\left(z_{\bullet }\right)=\left(F\left(z_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle F\left(z_{i}\right)\in rV}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle i>r}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F\left(x_{i}\right)\in riV\subseteq i^{2}V,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle X.}$

1. Wilansky 2013, стр. 47–50.
2. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 156–175.
3. Narici & Beckenstein 2011, стр. 441–457.
4. Narici & Beckenstein 2011, стр. 444.
5. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 451–457.

Библиография

• «Ограниченный оператор», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Крейциг, Эрвин: Вводный функциональный анализ с приложениями , Wiley, 1989
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.