Однопараметрическая группа

Гомоморфизм группы Ли действительных чисел

В математике однопараметрическая группа или однопараметрическая подгруппа обычно означает непрерывный групповой гомоморфизм.

${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \rightarrow G}$

от вещественной прямой (как аддитивной группы ) к некоторой другой топологической группе . Если инъективно , то образ будет подгруппой, изоморфной аддитивной группе. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Однопараметрические группы были введены Софусом Ли в 1893 году для определения бесконечно малых преобразований . Согласно Ли, бесконечно малое преобразование — это бесконечно малое преобразование порождаемой им однопараметрической группы. ^[1] Именно эти бесконечно малые преобразования порождают алгебру Ли , которая используется для описания группы Ли любой размерности.

Действие однопараметрической группы на множество называется потоком . Гладкое векторное поле на многообразии в точке индуцирует локальный поток — однопараметрическую группу локальных диффеоморфизмов, направляющую точки по целочисленным кривым векторного поля. Локальный поток векторного поля используется для определения производной Ли тензорных полей вдоль векторного поля.

Определение

Кривая называется однопараметрической подгруппой, если она удовлетворяет условию ^[2] ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \rightarrow G}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \phi (t)\phi (s)=\phi (s+t)}$.

Примеры

В теории Ли однопараметрические группы соответствуют одномерным подпространствам ассоциированной алгебры Ли . Соответствие группы Ли и алгебры Ли является основой науки, начатой ​​Софусом Ли в 1890-х годах.

Другой важный случай наблюдается в функциональном анализе , когда речь идет о группе унитарных операторов в гильбертовом пространстве . См. теорему Стоуна об однопараметрических унитарных группах . ${\displaystyle G}$

В своей монографии «Группы Ли» П.М. Кон сформулировал следующую теорему:

Любая связная 1-мерная группа Ли аналитически изоморфна либо аддитивной группе действительных чисел , либо аддитивной группе действительных чисел . В частности, каждая 1-мерная группа Ли локально изоморфна . ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ ${\displaystyle \mod 1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Физика

В физике однопараметрические группы описывают динамические системы . ^[4] Кроме того, всякий раз, когда система физических законов допускает однопараметрическую группу дифференцируемых симметрий , то согласно теореме Нётер существует сохраняющаяся величина .

В изучении пространства-времени использование единичной гиперболы для калибровки пространственно-временных измерений стало обычным явлением с тех пор, как Герман Минковский обсудил это в 1908 году. Принцип относительности был сведен к произвольному выбору того, какой диаметр единичной гиперболы использовался для определения мировой величины . линия . Используя параметризацию гиперболы с гиперболическим углом , специальная теория относительности предоставила исчисление относительного движения с однопараметрической группой, индексированной по быстроте . Быстрота заменяет скорость в кинематике и динамике теории относительности. Поскольку быстрота неограничена, однопараметрическая группа, на которой она стоит, некомпактна. Концепция быстроты была введена Э. Т. Уиттакером в 1910 году и названа Альфредом Роббом в следующем году. Параметр быстроты равен длине гиперболического версора — концепции девятнадцатого века. Физики-математики Джеймс Кокл , Уильям Кингдон Клиффорд и Александр Макфарлейн использовали в своих работах эквивалентное отображение декартовой плоскости оператором , где - гиперболический угол и . ${\displaystyle (\cosh {a}+r\sinh {a})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r^{2}=+1}$

В GL(n, C )

Важный пример в теории групп Ли возникает, когда в качестве принимается группа обратимых матриц с комплексными элементами. В этом случае основной результат следующий: ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$

Теорема : Предположим, это однопараметрическая группа. Тогда существует единственная матрица такая, что ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \rightarrow \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \varphi (t)=e^{tX}}$

для всех . ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

Из этого результата следует, что дифференцируемо, хотя это и не было условием теоремы. Затем матрицу можно восстановить как ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \left.{\frac {d\varphi (t)}{dt}}\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}e^{tX}=\left.(Xe^{tX})\right|_{t=0}=Xe^{0}=X}$.

Этот результат можно использовать, например, для того, чтобы показать, что любой непрерывный гомоморфизм между матричными группами Ли является гладким. ^[6]

Топология

Техническая сложность состоит в том, что подпространство может содержать более грубую топологию, чем на ; это может произойти в тех случаях, когда является инъективным. Подумайте, например, о случае, когда тор построен путем наматывания прямой линии на иррациональный наклон. ${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T}$

В этом случае индуцированная топология может не совпадать со стандартной топологией реальной линии.

Смотрите также

• Интегральная кривая
• Однопараметрическая полугруппа
• Теорема Нётер

Рекомендации

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666.

1. Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen, английский перевод Д. Х. Дельфениха, §8, ссылка из неоклассической физики
2. Накахара. Геометрия, топология и физика . ЦРК Пресс. п. 232. ИСБН 9780750306065.
3. Пол Кон (1957) Группы Ли , страница 58, Кембриджские трактаты по математике и математической физике № 46
4. Зейдлер, Э. (1995) Прикладной функциональный анализ: основные принципы и их приложения Springer-Verlag
5. Холл, 2015 г. Теорема 2.14.
6. Холл 2015. Следствие 3.50.