Разбиение евклидовой плоскости на выпуклые правильные многоугольники широко использовалось со времен античности. Первая систематическая математическая обработка была сделана Кеплером в его Harmonices Mundi ( лат . Гармония мира , 1619).
Евклидовы мозаики обычно называются в честь нотации Канди и Роллетта. [1] Эта нотация представляет (i) количество вершин, (ii) количество многоугольников вокруг каждой вершины (расположенных по часовой стрелке) и (iii) количество сторон каждого из этих многоугольников. Например: 3 6 ; 3 6 ; 3 4 .6, говорит нам, что есть 3 вершины с 2 различными типами вершин, поэтому эта мозаика будет классифицироваться как «3-однородная (2-вершинные типы)» мозаика. Разбитая, 3 6 ; 3 6 (обе разного класса транзитивности), или (3 6 ) 2 , говорит нам, что есть 2 вершины (обозначенные верхним индексом 2), каждая с 6 равносторонними 3-сторонними многоугольниками (треугольниками). С конечной вершиной 3 4 .6, еще 4 смежных равносторонних треугольника и один правильный шестиугольник.
Однако эта нотация имеет две основные проблемы, связанные с неоднозначной конформацией и уникальностью [2] Во-первых, когда дело доходит до k-однородных мозаик, нотация не объясняет отношения между вершинами. Это делает невозможным создание покрытой плоскости, имея только нотацию. И, во-вторых, некоторые мозаики имеют одинаковую номенклатуру, они очень похожи, но можно заметить, что относительное положение шестиугольников различно. Следовательно, вторая проблема заключается в том, что эта номенклатура не является уникальной для каждой мозаики.
Для решения этих проблем нотация Гомджау-Хогга [3] представляет собой слегка измененную версию исследования и нотации, представленных в 2012 году [2] о генерации и номенклатуре тесселяций и двухслойных сеток. Antwerp v3.0 [4] — бесплатное онлайн-приложение, позволяющее бесконечно генерировать правильные многоугольные мозаики с помощью набора этапов размещения фигур и итеративных операций вращения и отражения, полученных непосредственно из нотации Гомджау-Хогга.
Согласно Грюнбауму и Шепарду (раздел 1.3), мозаика называется регулярной , если группа симметрии мозаики действует транзитивно на флаги мозаики, где флаг — это тройка, состоящая из взаимно инцидентной вершины , ребра и плитки мозаики. Это означает, что для каждой пары флагов существует операция симметрии, отображающая первый флаг во второй. Это эквивалентно тому, что мозаика является мозаикой « ребро-к-ребру» из конгруэнтных правильных многоугольников. В вершине должно быть шесть равносторонних треугольников , четыре квадрата или три правильных шестиугольника , что дает три правильных мозаики .
C&R: Нотация Канди и Ролле
GJ-H: Нотация Гомджау-Хогга
Транзитивность вершин означает, что для каждой пары вершин существует операция симметрии, отображающая первую вершину во вторую. [5]
Если требование флаговой транзитивности ослабить до требования вершинной транзитивности, при этом условие, что мозаика является ребро-к-ребру, сохраняется, то возможны восемь дополнительных мозаик, известных как архимедовы , равномерные или полуправильные мозаики. Обратите внимание, что существуют две зеркальные (энантиоморфные или хиральные ) формы мозаики 3 4 .6 (плосконосый шестиугольный), только одна из которых показана в следующей таблице. Все остальные правильные и полуправильные мозаики являются ахиральными.
C&R: Нотация Канди и Ролле
GJ-H: Нотация Гомджау-Хогга
Грюнбаум и Шепард различают описание этих мозаик как архимедовых , ссылаясь только на локальное свойство расположения плиток вокруг каждой вершины, которое является одинаковым, и как единообразных , ссылаясь на глобальное свойство транзитивности вершин. Хотя они дают один и тот же набор мозаик на плоскости, в других пространствах есть архимедовы мозаики, которые не являются однородными.
Существует 17 комбинаций правильных выпуклых многоугольников, которые образуют 21 тип мозаик с плоской вершиной . [6] [7] Многоугольники в них встречаются в точке без зазора или перекрытия. Перечисляя по их вершинным фигурам , один имеет 6 многоугольников, три имеют 5 многоугольников, семь имеют 4 многоугольника и десять имеют 3 многоугольника. [8]
Три из них могут создавать правильные мозаики (6 3 , 4 4 , 3 6 ), а еще восемь могут создавать полуправильные или архимедовы мозаики (3.12.12, 4.6.12, 4.8.8, (3.6) 2 , 3.4.6.4, 3.3.4.3.4, 3.3.3.4.4, 3.3.3.3.6). Четыре из них могут существовать в более высоких k-однородных мозаиках (3.3.4.12, 3.4.3.12, 3.3.6.6, 3.4.4.6), в то время как шесть из них не могут быть использованы для полного замощения плоскости правильными многоугольниками без зазоров или наложений — они полностью замощают пространство только при включении неправильных многоугольников (3.7.42, 3.8.24, 3.9.18, 3.10.15, 4.5.20, 5.5.10). [9]
Такие периодические мозаики можно классифицировать по числу орбит вершин, ребер и плиток. Если имеется k орбит вершин, мозаика известна как k -равномерная или k -изогональная; если имеется t орбит плиток, как t -изоэдральная; если имеется e орбит ребер, как e -изотоксальная.
k -однородные мозаики с одинаковыми вершинными фигурами можно дополнительно идентифицировать по их групповой симметрии.
1-однородные мозаики включают 3 правильные мозаики и 8 полуправильных, с 2 или более типами правильных многоугольных граней. Существует 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородная мозаика, 151 4-однородная мозаика, 332 5-однородных мозаики и 673 6-однородных мозаики. Каждая из них может быть сгруппирована по числу m различных вершинных фигур, которые также называются m -архимедовыми мозаиками. [10]
Наконец, если число типов вершин совпадает с однородностью ( ниже m = k ), то говорят, что мозаика является Кротенхердтовой . В общем случае однородность больше или равна числу типов вершин ( m ≥ k ), так как разные типы вершин обязательно имеют разные орбиты, но не наоборот. Если положить m = n = k , то получится 11 таких мозаик для n = 1; 20 таких мозаик для n = 2; 39 таких мозаик для n = 3; 33 таких мозаики для n = 4; 15 таких мозаик для n = 5; 10 таких мозаик для n = 6; и 7 таких мозаик для n = 7.
Ниже приведен пример 3-однородной мозаики:
Существует двадцать (20) 2-однородных мозаик евклидовой плоскости. (также называемых 2- изогональными мозаиками или полуправильными мозаиками ) [5] : 62-67 [14] [15] Типы вершин перечислены для каждой. Если две мозаики имеют одинаковые два типа вершин, им даются индексы 1,2.
k -однородные мозаики были пронумерованы до 6. Существует 673 6-однородных мозаик евклидовой плоскости. Поиск Брайана Гейлбаха воспроизвел список Кротенхердта из 10 6-однородных мозаик с 6 различными типами вершин, а также нашел 92 из них с 5 типами вершин, 187 из них с 4 типами вершин, 284 из них с 3 типами вершин и 100 с 2 типами вершин.
Существует много способов создания новых k -однородных мозаик из старых k -однородных мозаик. Например, обратите внимание, что 2-однородная мозаика [3.12.12; 3.4.3.12] имеет квадратную решетку, 4(3-1)-однородная мозаика [343.12; (3.12 2 )3] имеет плосконосую квадратную решетку, а 5(3-1-1)-однородная мозаика [334.12; 343.12; (3.12.12)3] имеет удлиненную треугольную решетку. Эти однородные мозаики более высокого порядка используют ту же решетку, но обладают большей сложностью. Фрактальная основа для этих мозаик следующая: [16]
Длины сторон увеличены в . раз .
Аналогично это можно сделать, взяв за основу усеченную тригексагональную мозаику, с соответствующим расширением .
Выпуклые правильные многоугольники также могут образовывать плоские мозаики, которые не являются ребром к ребру. Такие мозаики можно рассматривать как неправильные многоугольники с соседними коллинеарными ребрами.
Существует семь семейств изогональных плиток, каждое из которых имеет действительный параметр, определяющий перекрытие сторон соседних плиток или соотношение длин ребер разных плиток. Два семейства генерируются из сдвинутых квадратов, либо прогрессивных, либо зигзагообразных позиций. Грюнбаум и Шепард называют эти плитки однородными, хотя это противоречит определению Коксетера для однородности, которое требует правильных многоугольников от края до края. [17] Такие изогональные плитки на самом деле топологически идентичны однородным плиткам, с другими геометрическими пропорциями.
Ссылки на евклидовы и общие мозаики:
