Одностороннее волновое уравнение

Дифференциальное уравнение, важное в физике

Одностороннее волновое уравнение — это уравнение в частных производных первого порядка , описывающее одну волну, движущуюся в направлении, определяемом векторной скоростью волны. Оно контрастирует с уравнением двусторонней волны второго порядка , описывающим поле стоячей волны , возникающее в результате суперпозиции двух волн в противоположных направлениях (с использованием квадрата скорости скалярной волны). ^{[1] [2] [3]} В одномерном случае одностороннее волновое уравнение позволяет рассчитать распространение волны без математических усложнений, связанных с решением дифференциального уравнения 2-го порядка. В связи с тем, что в последние десятилетия не удалось найти трехмерное уравнение односторонней волны, для трехмерных сейсмических и других геофизических расчетов используются многочисленные методы аппроксимации, основанные на одномерном уравнении односторонней волны, см. также раздел § Трехмерный случай. . ^{[4] [5] [1] [6]}

Одномерный случай

Скалярное волновое уравнение второго порядка (двустороннее), описывающее поле стоячей волны , можно записать как:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}=0,}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s=s(x,t)}$ ${\displaystyle c}$

Из-за неоднозначности направления скорости волны уравнение не содержит информации о направлении волны и поэтому имеет решения, распространяющиеся как в прямом ( ), так и в обратном ( ) направлениях. Общее решение уравнения представляет собой суммирование решений в этих двух направлениях: ${\displaystyle c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}}$ ${\displaystyle +x}$ ${\displaystyle -x}$

$${\displaystyle s(x,t)=s_{+}(t-x/c)+s_{-}(t+x/c)}$$

где и – амплитуды смещений волн, бегущих по и направлению. ${\displaystyle s_{+}}$ ${\displaystyle s_{-}}$ ${\displaystyle +c}$ ${\displaystyle -c}$

Когда формулируется задача об односторонней волне, направление распространения волны необходимо выбрать (вручную), сохраняя один из двух членов в общем решении.

Факторинг оператора в левой части уравнения дает пару односторонних волновых уравнений, одно с решениями, которые распространяются вперед, а другое с решениями, которые распространяются назад. ^{[7] [8] [9]}

$${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\right)s=\left({\partial \over \partial t}-c{\partial \over \partial x}\right)\left({\partial \over \partial t}+c{\partial \over \partial x}\right)s=0,}$$

Волны, бегущие назад и вперед, описываются соответственно (при ): ${\displaystyle c>0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\\[6pt]&{{\frac {\partial s}{\partial t}}+c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\end{aligned}}}$$

Уравнения односторонних волн также могут быть физически выведены непосредственно из удельного акустического импеданса.

В продольной плоской волне удельное сопротивление определяет локальную пропорциональность давления и скорости частицы : ^[10] ${\displaystyle p=p(x,t)}$ ${\displaystyle v=v(x,t)}$

$${\displaystyle {\frac {p}{v}}=\rho c,}$$

${\displaystyle \rho }$

Преобразование уравнения импеданса приводит к: ^[3]

Продольная плоская волна угловой частоты имеет смещение . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle s=s(x,t)}$

Давление и скорость частицы могут быть выражены через смещение ( модуль упругости ) ^[11] [ ^{нужен лучший источник ]} : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle p:=E{\partial s \over \partial x}}$$

напряжениюмеханикедеформация^[12] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}}$

$${\displaystyle v={\partial s \over \partial t}}$$

Эти соотношения, вставленные в приведенное выше уравнение ( ⁎ ), дают:

$${\displaystyle {\partial s \over \partial t}-{E \over \rho c}{\partial s \over \partial x}=0}$$

С определением локальной скорости волны ( скорости звука ):

$${\displaystyle c={\sqrt {E(x) \over \rho (x)}}\Leftrightarrow c={E \over \rho c}}$$

непосредственно (!) следует уравнению в частных производных 1-го порядка одностороннего волнового уравнения:

$${\displaystyle {{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}}$$

Скорость волны может быть задана в этом волновом уравнении как направление распространения волны или в соответствии с ним. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle +c}$ ${\displaystyle -c}$

Для распространения волны в направлении единственным решением является ${\displaystyle +c}$

$${\displaystyle s(x,t)=s_{+}(t-x/c)}$$

а для распространения волн в направлении соответствующее решение имеет вид ^[13] ${\displaystyle -c}$

$${\displaystyle s(x,t)=s_{-}(t+x/c)}$$

Существует также сферическое одностороннее волновое уравнение, описывающее распространение волны монопольного источника звука в сферических координатах, т. е. в радиальном направлении. Модификацией радиального оператора наблы устраняется несоответствие между сферической дивергенцией и операторами Лапласа, и полученное решение не показывает функции Бесселя (в отличие от известного решения обычного двустороннего подхода). ^[6]

Трехмерный корпус

Одностороннее уравнение и решение в трехмерном случае предполагались аналогичными, как и для одномерного случая, путем математического разложения (факторизации) дифференциального уравнения 2-го порядка. ^[14] Фактически, трехмерное уравнение односторонней волны может быть получено на основе основных принципов: а) вывода из теоремы об импедансе ^[3] и б) вывода из тензорного равновесия импульсного потока в точке поля. ^[6] Также возможно получить векторный двусторонний волновой оператор путем синтеза двух односторонних волновых операторов (с использованием объединенной полевой переменной). Этот подход показывает, что двустороннее волновое уравнение или двусторонний волновой оператор можно использовать для конкретного условия ∇ c = 0 , т.е. для однородной и анизотропной среды, тогда как однонаправленное волновое уравнение соотв. односторонний волновой оператор справедлив и в неоднородных средах ^[15]

Неоднородные среды

Для неоднородных сред с модулем упругости , плотностью и скоростью волны , зависящими от местоположения, аналитическое решение одностороннего волнового уравнения может быть получено путем введения новой полевой переменной. ^[9] ${\displaystyle E(x)}$ ${\displaystyle \rho (x)}$ ${\displaystyle c(x)}$

Другие механические и электромагнитные волны

Метод факторизации УЧП также можно перенести на другие волновые уравнения 2-го или 4-го порядка, например, поперечные, струнные, Моенса/Кортевега, изгибные, электромагнитные волновые уравнения и электромагнитные волны. ^[9]

Смотрите также

• Волновое уравнение  - дифференциальное уравнение, важное в физике.
• Стоячая волна  - волна, которая остается в постоянном положении.

Рекомендации

1. Ангус, DA (01 марта 2014 г.). «Уравнение односторонней волны: полноволновой инструмент для моделирования сейсмических явлений объемной волны» (PDF) . Исследования в области геофизики . 35 (2): 359–393. Бибкод : 2014SGeo...35..359A. дои : 10.1007/s10712-013-9250-2. ISSN  1573-0956. S2CID  121469325.
2. Трефетен, Л. Н. «19. Односторонние волновые уравнения» (PDF) .
3. Бшорр, Оскар; Райда, Ханс-Иоахим (март 2020 г.). «Уравнение односторонней волны, полученное из теоремы об импедансе». Акустика . 2 (1): 164–170. doi : 10.3390/acoustics2010012 .
4. Цицян, Ян (1 января 2012 г.). «Прямое моделирование одностороннего уравнения акустической волны методом Хартли». Procedia Науки об окружающей среде . 2011 Международная конференция экологических наук и техники. 12 : 1116–1121. дои : 10.1016/j.proenv.2012.01.396 . ISSN  1878-0296.
5. Чжан, Ю; Чжан, Гуаньцюань; Бляйстейн, Норман (сентябрь 2003 г.). «Миграция истинного волнового уравнения амплитуды, возникающая из односторонних волновых уравнений истинной амплитуды». Обратная задача . 19 (5): 1113–1138. Бибкод : 2003InvPr..19.1113Z. дои : 10.1088/0266-5611/19/5/307. ISSN  0266-5611. S2CID  250860035.
6. Бшорр, Оскар; Райда, Ханс-Иоахим (март 2021 г.). «Уравнение сферической односторонней волны». Акустика . 3 (2): 309–315. doi : 10.3390/acoustics3020021 .
7. Байсал, Эдип; Кослофф, Дэн Д.; Шервуд, JWC (февраль 1984 г.), «Двустороннее неотражающее волновое уравнение», Geophysical , vol. 49, нет. 2, стр. 132–141, Бибкод : 1984Geop...49..132B, doi : 10.1190/1.1441644, ISSN  0016-8033
8. Ангус, Д.А. (17 августа 2013 г.), «Уравнение односторонней волны: полноволновой инструмент для моделирования сейсмических явлений объемной волны» (PDF) , Surveys in Geophysical , vol. 35, нет. 2, стр. 359–393, Bibcode : 2014SGeo...35..359A, doi : 10.1007/s10712-013-9250-2, ISSN  0169-3298, S2CID  121469325
9. Бшорр, Оскар; Райда, Ханс-Иоахим (декабрь 2021 г.). «Факторизованные односторонние волновые уравнения». Акустика . 3 (4): 717–722. doi : 10.3390/acoustics3040045 .
10. «Звук - Импеданс». Британская энциклопедия . Проверено 20 мая 2021 г.
11. «Модуль упругости». Британская энциклопедия . Проверено 15 декабря 2021 г.
12. «Модуль Юнга | Описание, пример и факты» . Британская энциклопедия . Проверено 20 мая 2021 г.
13. «Волновое уравнение — одномерное».
14. Математика PDE и волновое уравнение https://mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf
15. Райда, Ханс-Иоахим (март 2022 г.). «Оператор односторонней волны». Акустика . 4 (4): 885–893. doi : 10.3390/acoustics4040053 .