Окно Кайзера

Окно Кайзера для нескольких значений его параметра

Окно Кайзера , также известное как окно Кайзера-Бесселя , было разработано Джеймсом Кайзером в Bell Laboratories . Это однопараметрическое семейство оконных функций , используемых при проектировании фильтров с конечной импульсной характеристикой и спектральном анализе . Окно Кайзера аппроксимирует окно DPSS , которое максимизирует концентрацию энергии в главном лепестке ^[1] , но которое трудно вычислить. ^[2]

Определение

Окно Кайзера и его преобразование Фурье определяются следующим образом :

${\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}{\frac {I_{0}\left[\pi \alpha {\sqrt {1-\left(2x/L\right)^{2}}}\right]}{I_{0}[\pi \alpha ]}},\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sin {\bigg (}{\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\pi \alpha )^{2}}}{\bigg )}}{I_{0}(\pi \alpha )\cdot {\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\pi \alpha )^{2}}}}},}$   ^{[3] [А]}

Преобразования Фурье двух окон Кайзера

где :

• I ₀ — модифицированная функция Бесселя первого роданулевого порядка
• L — продолжительность окна, а
• α — неотрицательное действительное число, определяющее форму окна. В частотной области он определяет компромисс между шириной основного лепестка и уровнем боковых лепестков, что является центральным решением при проектировании окна.
• Иногда окно Кайзера параметризуется β , где β = πα .

Для цифровой обработки сигналов функция может быть выбрана симметрично как :

${\displaystyle w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(n-N/2)\right)={\frac {I_{0}\left[\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2}}}\right]}{I_{0}[\pi \alpha ]}},\quad 0\leq n\leq N,}$

где длина окна и N может быть четным или нечетным. (см. список оконных функций ) ${\displaystyle N+1,}$

В преобразовании Фурье появляется первый нуль после главного лепестка, который измеряется всего лишь в единицах N («элементы» ДПФ). По мере увеличения α ширина главного лепестка увеличивается, а амплитуда боковых лепестков уменьшается.  α  = 0 соответствует прямоугольному окну. При больших α форма окна Кайзера (как во временной, так и в частотной области) стремится к кривой Гаусса . Окно Кайзера почти оптимально в смысле концентрации пика вокруг частоты ^[5] ${\displaystyle f={\tfrac {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}{L}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$ ${\displaystyle 0.}$

Окно Кайзера – Бесселя (KBD)

Родственной оконной функцией является окно Кайзера-Бесселя (KBD) , которое предназначено для использования с модифицированным дискретным косинусным преобразованием (MDCT). Оконная функция KBD определяется через окно Кайзера длиной N +1 по формуле :

${\displaystyle d_{n}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{n}w[i]}{\sum _{i=0}^{N}w[i]}}}&{\mbox{if }}0\leq n<N\\{\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{2N-1-n}w[i]}{\sum _{i=0}^{N}w[i]}}}&{\mbox{if }}N\leq n\leq 2N-1\\0&{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}}$

Это определяет окно длины 2 N , где по построению d _n удовлетворяет условию Принсена-Брэдли для MDCT (используя тот факт, что w _{N − n} = w _n ): d _n ² + ( d _{n + N} ) ² = 1 (интерпретация n и n  +  N по модулю 2 N ). Окно KBD также симметрично, как и для MDCT: d _n  =  d _{2 N -1- n} .

Приложения

Окно KBD используется в цифровом аудиоформате Advanced Audio Coding .

Примечания

1. Эквивалентная формула : ^[4]

   ${\displaystyle {\frac {\sinh {\bigg (}{\sqrt {(\pi \alpha )^{2}-(\pi Lf)^{2}}}{\bigg )}}{I_{0}(\pi \alpha )\cdot {\sqrt {(\pi \alpha )^{2}-(\pi Lf)^{2}}}}}.}$

Рекомендации

1. "Окно Слепяна или DPSS" . ccrma.stanford.edu . Проверено 13 апреля 2016 г.
2. Оппенгейм, А.В.; Шафер, RW (2009). Дискретная обработка сигналов . Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 541. ИСБН 9780131988422.
3. Наттолл, Альберт Х. (февраль 1981 г.). «Некоторые окна с очень хорошим поведением боковых лепестков». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 29 (1): 89 (ур. 38). дои :10.1109/ТАССП.1981.1163506.
4. Смит, Джо (2011). «Окно Кайзера в спектральной обработке аудиосигнала, уравнения (4.40 и 4.42)». ccrma.stanford.edu . Проверено 1 января 2022 г.где ${\displaystyle \beta \triangleq \pi \alpha ,\ \omega \triangleq 2\pi f,\ M=L.}$
5. Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999). «7,2». Дискретная обработка сигналов (2-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 474. ИСБН 0-13-754920-2. окно, близкое к оптимальному, может быть сформировано с использованием модифицированной функции Бесселя нулевого порядка первого рода.

дальнейшее чтение

• Харрис, Фредрик Дж. (январь 1978 г.). «Об использовании Windows для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье» (PDF) . Труды IEEE . 66 (1): 73 (ур. 46b). CiteSeerX  10.1.1.649.9880 . дои : 10.1109/PROC.1978.10837.
• Кайзер, Джеймс Ф.; Шафер, Рональд В. (1980). «Об использовании окна I ₀ -sinh для спектрального анализа». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 28 : 105–107. дои :10.1109/ТАССП.1980.1163349.
• Смит, Дж.О. (2011). «Спектральная обработка аудиосигнала, сравнение Kaiser и DPSS Windows». ccrma.stanford.edu . Проверено 13 апреля 2016 г.
• «Окно Кайзера, R2018b». www.mathworks.com . Математические работы . Проверено 20 марта 2019 г.