Передискретизация Ланцоша

Применение математической формулы

Частичный график дискретного сигнала (черные точки) и его интерполяции Ланцоша (сплошная синяя кривая) с параметром размера a, равным 1 (вверху), 2 (в середине) и 3 (внизу). Также показаны две копии ядра Ланцоша, сдвинутые и масштабированные, соответствующие образцам 4 и 11 (пунктирные кривые).

Фильтрация Ланцоша и повторная выборка Ланцоша — это два применения математической формулы. Его можно использовать в качестве фильтра нижних частот или для плавной интерполяции значения цифрового сигнала между его выборками . В последнем случае он сопоставляет каждую выборку данного сигнала с преобразованной и масштабированной копией ядра Ланцоша , которое представляет собой функцию sinc , окруженную центральным лепестком второй, более длинной функции sinc. Сумма этих переведенных и масштабированных ядер затем оценивается в нужных точках.

Повторная дискретизация Ланцоша обычно используется для увеличения частоты дискретизации цифрового сигнала или для его смещения на часть интервала дискретизации. Он также часто используется для многомерной интерполяции , например, для изменения размера или поворота цифрового изображения . Для этой цели он считается «лучшим компромиссом» среди нескольких простых фильтров. ^[1]

Фильтр был изобретен Клодом Дюшоном, который назвал его в честь Корнелиуса Ланцоша из-за использования Дюшоном сигма-аппроксимации при построении фильтра - метода, созданного Ланцошем. ^[2]

Определение

Ядро Ланцоша

Окна Ланцоша для a = 1, 2, 3.

Ядра Ланцоша для случаев a = 2 и a = 3. Обратите внимание, что функция принимает отрицательные значения.

Влияние каждой входной выборки на интерполированные значения определяется ядром реконструкции фильтра L ( x ) , называемым ядром Ланцоша. Это нормализованная функция sinc sinc( x ) , оконная (умноженная) на окно Ланцоша ,или sinc window , которое является центральным лепестком горизонтально растянутой функции sinc sinc( x / a ) для − a ≤ x ≤ a .

${\displaystyle L(x)={\begin{cases}\operatorname {sinc} (x)\operatorname {sinc} (x/a)&{\text{if}}\ -a<x<a,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Эквивалентно,

${\displaystyle L(x)={\begin{cases}1&{\text{if}}\ x=0,\\{\dfrac {a\sin(\pi x)\sin(\pi x/a)}{\pi ^{2}x^{2}}}&{\text{if}}\ -a\leq x<a\ {\text{and}}\ x\neq 0,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Параметр a представляет собой целое положительное число, обычно 2 или 3, которое определяет размер ядра. Ядро Ланцоша имеет 2 a - 1 доли: положительную в центре и a - 1 чередующиеся отрицательные и положительные доли с каждой стороны.

Формула интерполяции

Учитывая одномерный сигнал с выборками s _i , для целых значений i значение S ( x ) , интерполированное при произвольном вещественном аргументе x, получается путем дискретной свертки этих выборок с ядром Ланцоша: ^[3]

${\displaystyle S(x)=\sum _{i=\lfloor x\rfloor -a+1}^{\lfloor x\rfloor +a}s_{i}L(x-i),}$

где a — параметр размера фильтра, а — нижняя функция . Границы этой суммы таковы, что вне их ядро ​​равно нулю. ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

Характеристики

Пока параметр a является целым положительным числом, ядро ​​Ланцоша непрерывно всюду, а его производная определена и непрерывна всюду (даже при x = ± a , где обе функции sinc обращаются к нулю). Следовательно, восстановленный сигнал S ( x ) тоже будет непрерывным, с непрерывной производной.

Ядро Ланцоша равно нулю для каждого целочисленного аргумента x , за исключением x = 0 , где оно имеет значение 1. Следовательно, восстановленный сигнал точно интерполирует заданные выборки: мы будем иметь S ( x ) = s _i для каждого целочисленного аргумента x = я .

Повторная выборка Ланцоша — это одна из форм общего метода, разработанного Ланцошем для противодействия феномену Гиббса путем умножения коэффициентов усеченного ряда Фурье на , где — индекс коэффициента и — сколько коэффициентов мы сохраняем. ^[4] Те же рассуждения применимы и в случае усеченных функций, если мы хотим удалить колебания Гиббса из их спектра. ${\displaystyle \mathrm {sinc} (\pi k/m)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$

Многомерная интерполяция

Начало черно-белого изображения . Оригинальное, некачественное расширение с артефактами JPEG.

То же изображение было преобразовано в пять раз больше образцов в каждом направлении с использованием повторной выборки Ланцоша. Артефакты пикселизации были удалены путем изменения передаточной функции изображения.

Ядро фильтра Ланцоша в двух измерениях:

${\displaystyle L(x,y)=L(x)L(y).}$

Оценка

Преимущества

Дискретное окно Ланцоша и его частотная характеристика ; см. функцию окна для сравнения с другими окнами.

Теоретически оптимальным фильтром восстановления для сигналов с ограниченной полосой пропускания является sinc-фильтр , имеющий бесконечную поддержку . Фильтр Ланцоша — одна из многих практических (конечно поддерживаемых) аппроксимаций фильтра sinc. Каждое интерполированное значение представляет собой взвешенную сумму двух последовательных входных выборок. Таким образом, изменяя параметр 2 a , можно обменять скорость вычислений на улучшение частотной характеристики. Параметр также позволяет выбирать между более плавной интерполяцией или сохранением резких переходных процессов в данных. При обработке изображений приходится искать компромисс между уменьшением артефактов сглаживания и сохранением резких краев. Также, как и при любой подобной обработке, границы изображения не получают результатов. Увеличение длины ядра увеличивает обрезку краев изображения.

Фильтр Ланцоша сравнивался с другими методами интерполяции дискретных сигналов, особенно с другими оконными версиями sinc-фильтра. Турковски и Габриэль утверждали, что фильтр Ланцоша (с a = 2 ) является «лучшим компромиссом с точки зрения уменьшения наложения спектров, резкости и минимального звона» по сравнению с усеченным sinc и sinc с окнами Бартлетта , косинуса и Ханна . для прореживания и интерполяции данных двумерного изображения. ^[1] По словам Джима Блинна , ядро ​​Ланцоша (с a = 3 ) «сохраняет низкие частоты и подавляет высокие частоты лучше, чем любой (достижимый) фильтр, который мы видели до сих пор». ^[5]

Интерполяция Ланцоша — популярный фильтр для «масштабирования» видео в различных медиа-утилитах, таких как AviSynth ^[6] и FFmpeg . ^[7]

Ограничения

Поскольку ядро ​​принимает отрицательные значения для a > 1 , интерполированный сигнал может быть отрицательным, даже если все выборки положительны. В более общем смысле, диапазон значений интерполированного сигнала может быть шире, чем диапазон, охватываемый значениями дискретных выборок. В частности, непосредственно перед и после резких изменений значений выборки могут возникать артефакты звона , что может привести к артефактам отсечения . Однако эти эффекты уменьшаются по сравнению с (неоконным) sinc-фильтром. При а  = 2 (трехлопастное ядро) звон < 1%.

При использовании фильтра Ланцоша для повторной выборки изображения эффект звона создаст светлые и темные ореолы вдоль любых резких краев. Хотя эти полосы могут раздражать визуально, они помогают повысить воспринимаемую резкость и, следовательно, обеспечивают своего рода усиление краев . Это может улучшить субъективное качество изображения, учитывая особую роль резкости краев в зрении . ^[8]

В некоторых приложениях артефакты отсечения нижних частот можно устранить путем преобразования данных в логарифмическую область перед фильтрацией. В этом случае интерполированные значения будут представлять собой среднее геометрическое, а не среднее арифметическое входных выборок.

Ядро Lanczos не имеет раздела со свойством единства . То есть сумма всех копий ядра, преобразованных в целые числа, не всегда равна 1. Следовательно, интерполяция Ланцоша дискретного сигнала с постоянными выборками не дает постоянной функции. Этот дефект наиболее очевиден при  a = 1 . Кроме того, для a = 1 интерполированный сигнал имеет нулевую производную для каждого целочисленного аргумента. Это довольно академично, поскольку использование однолепесткового ядра ( a  = 1) теряет все преимущества подхода Ланцоша и обеспечивает плохой фильтр. Существует много лучших однолепестковых колоколообразных оконных функций. ${\textstyle U(x)=\sum _{i\in \mathbb {Z} }L(x-i)}$

Смотрите также

• Бикубическая интерполяция
• Билинейная интерполяция
• Сплайн-интерполяция
• Интерполяция ближайшего соседа
• Синк-фильтр

Рекомендации

1. Турковски, Кен; Габриэль, Стив (1990). «Фильтры для распространенных задач повторной выборки». В Гласснере, Эндрю С. (ред.). Графические драгоценности I. Академическая пресса. стр. 147–165. CiteSeerX  10.1.1.116.7898 . ISBN 978-0-12-286165-9.
2. Клод, Дюшон (1 августа 1979). «Фильтрация Ланцоша в одном и двух измерениях». Журнал прикладной метеорологии . 18 (8): 1016–1022. Бибкод : 1979JApMe..18.1016D. doi : 10.1175/1520-0450(1979)018<1016:LFIOAT>2.0.CO;2 .
3. Бургер, Вильгельм; Бердж, Марк Дж. (2009). Принципы цифровой обработки изображений: основные алгоритмы. Спрингер. стр. 231–232. ISBN 978-1-84800-194-7.
4. Ланцос, Корнелиус (1988). Прикладной анализ. Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 219–221. ISBN 0-486-65656-Х. ОСЛК  17650089.
5. Блинн, Джим (1998). Уголок Джима Блинна: ​​грязные пиксели. Морган Кауфманн. стр. 26–27. ISBN 978-1-55860-455-1.
6. «Изменить размер». Ависинт. 01.01.2015 . Проверено 27 июля 2015 г.
7. «Практическое руководство: преобразование видео с повышением частоты с помощью FFDShow - Форумы Neowin» . Neowin.net. 18 апреля 2006 г. Проверено 31 июля 2012 г.
8. «IPOL: Линейные методы интерполяции изображений». Ипол.им. 27 сентября 2011 г. Проверено 31 июля 2012 г.

Внешние ссылки

• Примеры антизернистой геометрии: image_filters.cppпоказывает сравнение многократной повторной выборки изображения с различными ядрами.
• imageresampler: общедоступный класс передискретизации изображений на C++ с поддержкой нескольких оконных ядер фильтров Lanczos.