График цикла Четыре шестиугольных цикла имеют общую инверсию (черный узел сверху). Шестиугольники симметричны, поэтому, например, 3 и 4 находятся в одном цикле.
Правильный октаэдр имеет 24 вращательные (или сохраняющие ориентацию) симметрии и 48 симметрий в целом. Они включают преобразования, которые сочетают отражение и вращение. Куб имеет тот же набор симметрий, поскольку именно многогранник является двойственным октаэдру.
Группа симметрий, сохраняющих ориентацию, — это S4 , симметрическая группа или группа перестановок четырех объектов, поскольку для каждой перестановки четырех диагоналей куба существует ровно одна такая симметрия.
Как гипероктаэдрическая группа размерности 3 полная октаэдрическая группа является сплетением , и естественный способ идентифицировать ее элементы — как пары ( m , n ) с и . Но поскольку это также прямое произведение S 4 × S 2 , можно просто идентифицировать элементы тетраэдрической подгруппы T d как , а их инверсии — как a ′.
Так, например, тождество (0, 0) представлено как 0, а инверсия (7, 0) — как 0′. (3, 1) представлено как 6, а (4, 1) — как 6′.
Роторефлексия представляет собой комбинацию вращения и отражения.
Хиральная октаэдрическая симметрия
O , 432 , или [4,3] + порядка 24, является хиральной октаэдрической симметрией или вращательной октаэдрической симметрией . Эта группа похожа на хиральную тетраэдрическую симметрию T , но оси C 2 теперь являются осями C 4 , и дополнительно имеется 6 осей C 2 , проходящих через середины ребер куба. T d и O изоморфны как абстрактные группы: они обе соответствуют S 4 , симметрической группе на 4 объектах. T d является объединением T и множества, полученного путем объединения каждого элемента O \ T с инверсией. O является группой вращения куба и правильного октаэдра .
Полная октаэдрическая симметрия
Oh h , *432 , [4,3], или m3m порядка 48 – ахиральная октаэдрическая симметрия или полная октаэдрическая симметрия . Эта группа имеет те же оси вращения, что и O, но с зеркальными плоскостями, включающими как зеркальные плоскости T d , так и T h . Эта группа изоморфна S 4 .C 2 , и является полной группой симметрии куба и октаэдра . Это гипероктаэдрическая группа для n = 3 . См. также изометрии куба .
С осями 4-го порядка в качестве осей координат фундаментальная область O h задается как 0 ≤ x ≤ y ≤ z . Объект с этой симметрией характеризуется частью объекта в фундаментальной области, например куб задается как z = 1 , а октаэдр как x + y + z = 1 (или соответствующие неравенства, чтобы получить тело вместо поверхности). ax + by + cz = 1 дает многогранник с 48 гранями, например, дисдьякисдодекаэдр.
Грани 8 на 8 объединены в более крупные грани для a = b = 0 (куб) и 6 на 6 для a = b = c (октаэдр).
9 зеркальных линий полной октаэдрической симметрии можно разделить на две подгруппы по 3 и 6 (нарисованные фиолетовым и красным цветом), представляющие две ортогональные подсимметрии: D 2h и T d . Симметрию D 2h можно удвоить до D 4h , восстановив 2 зеркала из одной из трех ориентаций.
Матрицы вращения
Возьмите набор всех матриц перестановок 3×3 и присвойте знак + или − каждой из трех единиц. Всего имеется 48 перестановок и комбинаций знаков, что дает полную октаэдрическую группу. 24 из этих матриц имеют определитель +1; это матрицы вращения хиральной октаэдрической группы. Остальные 24 матрицы имеют определитель −1 и соответствуют отражению или инверсии.
Для октаэдрической симметрии необходимы три матрицы отражательного генератора, которые представляют собой три зеркала диаграммы Коксетера-Дынкина . Произведение отражений дает 3 вращательных генератора.
Подгруппы полной октаэдрической симметрии
Изометрии куба
48 элементов симметрии куба
Куб имеет 48 изометрий (элементов симметрии), образующих группу симметрии Oh , изоморфную S4 × Z2 . Их можно классифицировать следующим образом :
вращение вокруг оси из центра грани к центру противоположной грани на угол 90°: 3 оси, по 2 на ось, вместе 6 ((1 2 3 4) и т.д.; ((1 ± i )/ √ 2 и т.д.)
то же самое под углом 180°: 3 оси, по 1 на ось, вместе 3 ((1 2) (3 4) и т.д.; i , j , k )
вращение вокруг оси от центра ребра к центру противоположного ребра на угол 180°: 6 осей, по 1 на ось, вместе 6 ((1 2) и т.д.; (( i ± j )/ √ 2 и т.д.)
вращение вокруг диагонали тела на угол 120°: 4 оси, по 2 на ось, вместе 8 ((1 2 3) и т.д.; (1 ± i ± j ± k )/2)
То же самое с инверсией ( x отображается в − x ) (также 24 изометрии). Обратите внимание, что поворот на угол 180° вокруг оси в сочетании с инверсией — это просто отражение в перпендикулярной плоскости. Комбинация инверсии и поворота вокруг диагонали тела на угол 120° — это поворот вокруг диагонали тела на угол 60° в сочетании с отражением в перпендикулярной плоскости (сам поворот не отображает куб на себя; пересечение плоскости отражения с кубом — правильный шестиугольник ) .
Изометрию куба можно определить различными способами:
гранями три данные смежные грани (скажем, 1, 2 и 3 на игральной кости) отображаются в
по изображению куба с несимметричной маркировкой на одной из граней: грань с маркировкой, является ли она нормальной или зеркальным отражением, и ориентация
перестановкой четырех диагоналей тела (возможна каждая из 24 перестановок) в сочетании с переключением на инверсию куба, или нет
Для кубиков с цветами или маркировкой (как у игральных костей ) группа симметрии является подгруппой O h .
Примеры:
C 4v , [4], (*422): если одна грань имеет другой цвет (или две противоположные грани имеют цвета, отличные друг от друга и от остальных четырех), куб имеет 8 изометрий, как квадрат в 2D.
D 2h , [2,2], (*222): если противоположные грани имеют одинаковые цвета, разные для каждого набора из двух, то куб имеет 8 изометрий, как и прямоугольный параллелепипед .
D 4h , [4,2], (*422): если две противоположные грани имеют одинаковый цвет, а все остальные грани имеют один другой цвет, то куб имеет 16 изометрий, как квадратная призма (квадратный ящик).
С 2в , [2], (*22):
если две смежные грани имеют одинаковый цвет, а все остальные грани имеют один другой цвет, то куб имеет 4 изометрии.
если три грани, из которых две противоположны друг другу, имеют один цвет, а остальные три — другой, то куб имеет 4 изометрии.
если две противоположные грани имеют одинаковый цвет, а две другие противоположные грани также имеют разные цвета, то куб имеет 4 изометрии, как лист чистой бумаги с формой, обладающей зеркальной симметрией.
С s , [ ], (*):
если две смежные грани имеют цвета, отличающиеся друг от друга, а остальные четыре имеют третий цвет, то куб имеет 2 изометрии.
если две противоположные грани имеют одинаковый цвет, а все остальные грани имеют разные цвета, то куб имеет 2 изометрии, как асимметричный лист чистой бумаги.
C 3v , [3], (*33): если три грани, из которых ни одна не находится напротив друг друга, имеют один цвет, а остальные три — другой цвет, то куб имеет 6 изометрий.
Для некоторых более крупных подгрупп куб с этой группой в качестве группы симметрии невозможен с помощью простого окрашивания целых граней. Нужно нарисовать какой-то узор на гранях.
Примеры:
D 2d , [2 + ,4], (2*2): если одна грань имеет отрезок прямой, делящий грань на два равных прямоугольника, а противоположная имеет то же самое в перпендикулярном направлении, то куб имеет 8 изометрий; существует плоскость симметрии и 2-кратная вращательная симметрия с осью, расположенной под углом 45° к этой плоскости, и, как следствие, существует также другая плоскость симметрии, перпендикулярная первой, и другая ось 2-кратной вращательной симметрии, перпендикулярная первой.
T h , [3 + ,4], (3*2): если каждая грань имеет отрезок прямой, делящий грань на два равных прямоугольника, так что отрезки прямых соседних граней не встречаются на краю, то куб имеет 24 изометрии: четные перестановки диагоналей тела и то же самое в сочетании с инверсией ( x отображается в − x ).
T d , [3,3], (*332): если куб состоит из восьми меньших кубов, четырех белых и четырех черных, соединенных попеременно во всех трех стандартных направлениях, куб снова имеет 24 изометрии: на этот раз четные перестановки диагоналей тела и инверсии других собственных вращений.
T, [3,3] + , (332): если каждая грань имеет один и тот же рисунок с 2-кратной вращательной симметрией, скажем, букву S, такую, что на всех ребрах вершина одной S встречается со стороной другой S, то куб имеет 12 изометрий: четных перестановок диагоналей тела.
Полная симметрия куба при собственных вращениях, O, [4,3] + , (432), сохраняется тогда и только тогда, когда все грани имеют одинаковый рисунок с 4-кратной вращательной симметрией , Z 4 , [4] + .
Октаэдрическая симметрия поверхности Больца
В теории римановых поверхностей поверхность Больца , иногда называемая кривой Больца, получается как разветвленное двойное покрытие сферы Римана с локусом разветвления в множестве вершин правильного вписанного октаэдра. Ее группа автоморфизмов включает гиперэллиптическую инволюцию, которая переворачивает два листа покрытия. Фактор по подгруппе порядка 2, порожденной гиперэллиптической инволюцией, дает в точности группу симметрий октаэдра. Среди многих замечательных свойств поверхности Больца является тот факт, что она максимизирует систолу среди всех гиперболических поверхностей рода 2.
Твердые тела с октаэдрической хиральной симметрией
Учебные материалы по теме Полная октаэдрическая группа в Викиверситете
Ссылки
^ Джон Конвей, Симметрии вещей , рис. 20.8, стр. 280
Питер Р. Кромвель, Многогранники (1997), стр. 295
Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бергиел, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5
Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
NW Johnson : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера
Учебные материалы по теме Полная октаэдрическая группа в Викиверситете
