Центрированное октаэдрическое число или октаэдрическое число Гаюи — это фигурное число , которое подсчитывает точки трехмерной целочисленной решетки , которые лежат внутри октаэдра с центром в начале координат. [1] Эти же числа являются частными случаями чисел Деланнуа , которые подсчитывают определенные двумерные пути решетки. [2] Октаэдрические числа Гаюи названы в честь Рене Жюста Гаюи .
Название «октаэдрическое число Гаюи» происходит от работы Рене Жюста Гаюи , французского минералога, работавшего в конце 18-го и начале 19-го веков. Его «построение Гаюи» приближает октаэдр как поликуб , образованный путем наращивания концентрических слоев кубов на центральный куб. Центрированные октаэдрические числа подсчитывают кубы, используемые в этом построении. [3] Гаюи предложил это построение и несколько связанных с ним построений других многогранников в качестве модели для структуры кристаллических минералов . [4] [5]
Число точек трехмерной решетки в пределах n шагов от начала координат определяется по формуле
Первые несколько из этих чисел (для n = 0, 1, 2, ...) равны
Производящая функция центрированных октаэдрических чисел равна [6] [7]
Центрированные октаэдрические числа подчиняются рекуррентному соотношению [1]
Их также можно вычислить как суммы пар последовательных октаэдрических чисел .
Октаэдр в трехмерной целочисленной решетке, число точек решетки которого подсчитывается центрированным октаэдрическим числом, является метрическим шаром для трехмерной геометрии такси , геометрии, в которой расстояние измеряется суммой координатных расстояний, а не евклидовым расстоянием . По этой причине Лютер и Мертенс (2011) называют центрированные октаэдрические числа «объемом хрустального шара». [7]
Те же числа можно рассматривать как фигурные числа по-другому, как центрированные фигурные числа, порожденные пятиугольной пирамидой . То есть, если сформировать последовательность концентрических оболочек в трех измерениях, где первая оболочка состоит из одной точки, вторая оболочка состоит из шести вершин пятиугольной пирамиды, и каждая последующая оболочка образует большую пятиугольную пирамиду с треугольным числом точек на каждой треугольной грани и пятиугольным числом точек на пятиугольной грани, то общее число точек в этой конфигурации является центрированным октаэдрическим числом. [1]
Центрированные октаэдрические числа также являются числами Деланнуа в форме D (3, n ). Что касается чисел Деланнуа в более общем смысле, эти числа подсчитывают пути от юго-западного угла сетки 3 × n до северо-восточного угла, используя шаги, которые идут на одну единицу на восток, север или северо-восток. [2]
