Центрированное октаэдрическое число

Номер фигуры

Центрированное октаэдрическое число или октаэдрическое число Гаюи — это фигурное число , подсчитывающее точки трёхмерной целочисленной решётки , лежащие внутри октаэдра с центром в начале координат. ^[1] Эти же числа являются частными случаями чисел Деланной , которые подсчитывают определенные двумерные пути решетки. ^[2] Октаэдрические числа Гаюи названы в честь Рене Жюста Гаюи .

История

Название «октаэдрическое число Гаюи» происходит от работы Рене Жюста Гаюи , французского минералога , работавшего в конце 18 — начале 19 веков. Его «конструкция Гаюи» аппроксимирует октаэдр как поликуб , образованный путем сращивания концентрических слоев кубов на центральный куб. Центрированные октаэдрические числа подсчитывают количество кубов, использованных в этой конструкции. ^[3] Гаюи предложил эту конструкцию и несколько связанных с ней конструкций других многогранников в качестве модели структуры кристаллических минералов . ^{[4] [5]}

Формула

Число точек трехмерной решетки в пределах n шагов от начала координат определяется формулой

${\displaystyle {\frac {(2n+1)\left(2n^{2}+2n+3\right)}{3}}}$

Первые несколько из этих чисел (для n = 0, 1, 2,...) равны

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, ... ^[6]

Производящая функция центрированных октаэдрических чисел равна ^{[6] [7]}

${\displaystyle {\frac {(1+x)^{3}}{(1-x)^{4}}}.}$

Центрированные октаэдрические числа подчиняются рекуррентному соотношению ^[1]

${\displaystyle C(n)=C(n-1)+4n^{2}+2.}$

Они также могут быть вычислены как суммы пар последовательных октаэдрических чисел .

Альтернативные интерпретации

63 пути Деланной через сетку 3 × 3

Октаэдр в трехмерной целочисленной решетке, количество точек решетки которого подсчитывается по центрированному октаэдрическому числу, представляет собой метрический шар для трехмерной геометрии такси , геометрии, в которой расстояние измеряется суммой координатных расстояний, а не по евклидову расстоянию . По этой причине Лютер и Мертенс (2011) называют центрированные октаэдрические числа «объемом хрустального шара». ^[7]

Те же числа можно рассматривать как фигурные числа по-другому, как центрированные фигурные числа, порожденные пятиугольной пирамидой . То есть, если сформировать последовательность концентрических оболочек в трех измерениях, где первая оболочка состоит из одной точки, вторая оболочка состоит из шести вершин пятиугольной пирамиды, а каждая последующая оболочка образует большую пятиугольную пирамиду с треугольной вершиной . количество точек на каждой треугольной грани и пятиугольное количество точек на пятиугольной грани, то общее количество точек в этой конфигурации представляет собой центрированное октаэдрическое число. ^[1]

Центрированные октаэдрические числа также являются числами Деланной вида D (3, n ). Что касается чисел Деланнуа в более общем плане, эти числа подсчитывают пути от юго-западного угла сетки 3 ×  n до северо-восточного угла, используя шаги, которые идут на одну единицу востока, севера или северо-востока. ^[2]

Рекомендации

1. Деза, Елена ; Деза, Мишель (2012), Фигурные числа, World Scientific, стр. 107–109, 132, ISBN 9789814355483.
2. Суланке, Роберт А. (2003), «Объекты, подсчитанные центральными числами Деланного» (PDF) , Журнал целочисленных последовательностей , 6 (1), статья 03.1.5, Бибкод : 2003JIntS...6...15S , MR  1971435 , получено 8 сентября 2014 г..
3. Фатауэр, Роберт В. (2013), «Итеративное расположение многогранников - связь с классическими фракталами и конструкциями Гаюи», Proceedings of Bridges 2013: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture (PDF)
4. Мейт, Бернар (2013), «Построение теории групп в кристаллографии», в Барбине, Эвелин; Пизано, Раффаэле (ред.), Диалектическая связь между физикой и математикой в ​​XIX веке , История механизма и машиноведения, том. 16, Спрингер, стр. 1–30, номер документа : 10.1007/978-94-007-5380-8_1, ISBN. 9789400753808. См., в частности, стр. 10.
5. Гаюи, Рене-Жюст (1784), Essai d'une theorie sur la Structure des Crystaux (на французском языке). См., в частности, стр. 13–14. По словам Вайсштейна, Эрика В. «Haűy [sic] Construction». Математический мир .
6. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001845 (Центрированные октаэдрические числа (последовательность хрустального шара для кубической решетки))». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
7. Лютер, Себастьян; Мертенс, Стефан (2011), «Подсчет решетчатых животных в больших измерениях», Журнал статистической механики: теория и эксперимент , 2011 (9): P09026, arXiv : 1106.1078 , Bibcode : 2011JSMTE..09..026L, doi : 10.1088/ 1742-5468/2011/09/P09026, S2CID  119308823