Октаэдрическая симметрия

Правильный октаэдр имеет 24 вращательные (или сохраняющие ориентацию) симметрии, а всего 48 симметрий. К ним относятся преобразования, сочетающие в себе отражение и вращение. Тот же набор симметрий имеет и куб , поскольку именно многогранник двойственен октаэдру .

Группа симметрий, сохраняющих ориентацию, — это S ₄ , симметрическая группа или группа перестановок четырех объектов, поскольку для каждой перестановки четырех диагоналей куба существует ровно одна такая симметрия.

Подробности

Киральная и полная (или ахиральная ) октаэдрическая симметрия — это дискретные точечные симметрии (или, что то же самое, симметрии на сфере ) с наибольшими группами симметрии, совместимыми с трансляционной симметрией . Они относятся к кристаллографическим точечным группам кубической кристаллической системы .

Как гипероктаэдрическая группа размерности 3, полная октаэдрическая группа является сплетением , и естественный способ идентифицировать ее элементы - это пары ( m , n ) с и . Но поскольку это также прямое произведение S ₄ × S ₂ , можно просто идентифицировать элементы тетраэдрической подгруппы T _d как и их инверсии как a ′. $\mathrm {S} _{2}\wr \mathrm {S} _{3}\simeq \mathrm {S} _{2}^{3}\rtimes \mathrm {S} _{3}$
$м\in [0,2^{3})$ ${\ displaystyle n \ in [0,3!)}$
$a\in [0,4!)$

Так, например, тождество (0, 0) представляется как 0, а инверсия (7, 0) — как 0'.
(3, 1) обозначается как 6, а (4, 1) — как 6′.

Роторное отражение представляет собой комбинацию вращения и отражения.

Киральная октаэдрическая симметрия

O , 432 или [4,3] ⁺ порядка 24 — это киральная октаэдрическая симметрия или вращательная октаэдрическая симметрия . Эта группа подобна киральной тетраэдральной симметрии T, но оси C ₂ теперь являются осями C ₄ , и дополнительно имеется 6 осей C ₂ , проходящих через середины ребер куба. T _d и O изоморфны как абстрактные группы: они обе соответствуют S ₄ , симметричной группе из 4 объектов. T _d — объединение T и множества, полученного объединением каждого элемента O \ T с инверсией. О — группа вращения куба и правильного октаэдра .

Полная октаэдрическая симметрия

Oh _, *432 , [4,3] или m3m порядка 48 – ахиральная октаэдрическая симметрия или полная октаэдрическая симметрия . Эта группа имеет те же оси вращения, что и O, но с зеркальными плоскостями, содержащими обе зеркальные плоскости T _d и _Th . Эта группа изоморфна S ₄ .C ₂ и является полной группой симметрии куба и октаэдра . Это гипероктаэдрическая группа для n = 3 . См. также изометрии куба .

С 4-кратными осями в качестве осей координат фундаментальная область O _h задается формулой 0 ≤ x ≤ y ≤ z . Объект с этой симметрией характеризуется частью объекта в фундаментальной области, например, куб задается z = 1 , а октаэдр - x + y + z = 1 (или соответствующими неравенствами, чтобы получить твердое тело вместо поверхности). ax + by + cz = 1 дает многогранник с 48 гранями, например додекаэдр Дисдякиса.

Грани размером 8х8 объединяются в более крупные грани для a = b = 0 (куб) и 6х6 для a = b = c (октаэдр).

9 зеркальных линий полной октаэдрической симметрии можно разделить на две подгруппы по 3 и 6 (нарисованы фиолетовым и красным), представляющие две ортогональные подсимметрии: D 2h и T d . Симметрию D _2h можно удвоить до D _4h , восстановив два зеркала в одной из трех ориентаций.

Матрицы вращения

Возьмите набор всех матриц перестановок 3×3 и присвойте знак + или – каждой из трех единиц. Всего существуют перестановки и комбинации знаков для 48 матриц, дающих полную октаэдрическую группу. 24 из этих матриц имеют определитель +1; это матрицы вращения хиральной октаэдрической группы. Остальные 24 матрицы имеют определитель -1 и соответствуют отражению или инверсии. $3!=6$ $2^{3}=8$

Для октаэдрической симметрии необходимы три матрицы отражательного генератора, которые представляют собой три зеркала диаграммы Кокстера-Динкина . Продукт отражений создают 3 генератора вращения.

Подгруппы полной октаэдрической симметрии

Изометрия куба

Куб имеет 48 изометрий (элементов симметрии), образующих группу симметрии Oh _h , изоморфную S 4 × Z ₂ . Их можно классифицировать следующим образом:

O (тождество и 23 собственных вращения) со следующими классами сопряженности (в скобках указаны перестановки диагоналей тела и представление единичного кватерниона ):
- личность (личность; 1)
- вращение вокруг оси от центра грани к центру противоположной грани на угол 90°: 3 оси, по 2 на ось, вместе 6 ((1 2 3 4) и т. д.; ((1 ± i ) / √ 2 и т. д.)
- то же под углом 180°: 3 оси, по 1 на ось, вместе 3 ((1 2) (3 4) и т. д.; i , j , k )
- поворот вокруг оси от центра ребра к центру противоположного ребра на угол 180°: 6 осей, по 1 на ось, вместе 6 ((1 2) и т. д.; (( i ± j )/ √ 2 и т. д.)
- вращение вокруг диагонали тела на угол 120°: 4 оси, по 2 на ось, вместе 8 ((1 2 3) и т. д.; (1 ± i ± j ± k )/2)
То же самое с инверсией ( x отображается в − x ) (также 24 изометрии). Обратите внимание, что поворот на угол 180° вокруг оси в сочетании с инверсией — это всего лишь отражение в перпендикулярной плоскости. Сочетание инверсии и поворота вокруг диагонали тела на угол 120° есть поворот вокруг диагонали тела на угол 60°, совмещенный с отражением в перпендикулярной плоскости (сам поворот не отображает куб сам на себя; пересечение плоскости отражения кубом является правильный шестиугольник ).

Изометрию куба можно определить различными способами:

гранями три заданных соседних грани (скажем, 1, 2 и 3 на кубике) отображаются на
по изображению куба с несимметричной маркировкой на одной грани: грань с маркировкой, нормальная она или зеркальная, и ориентация
перестановкой четырех диагоналей тела (возможна каждая из 24 перестановок), в сочетании с переключателем инверсии куба или нет

Для кубиков с цветами или маркировкой (например, игральных костей ) группа симметрии является подгруппой _Oh .

Примеры:

C _4v , [4], (*422): если одна грань имеет разный цвет (или две противоположные грани имеют цвета, отличающиеся друг от друга и от остальных четырех), куб имеет 8 изометрий, как квадрат в 2D.
D _2h , [2,2], (*222): если противоположные грани имеют одинаковые цвета, разные для каждого набора из двух, куб имеет 8 изометрий, как кубоид .
D _4h , [4,2], (*422): если две противоположные грани имеют одинаковый цвет, а все остальные грани имеют один иной цвет, куб имеет 16 изометрий, как квадратная призма (квадратный ящик).
С _2в , [2], (*22):
- Если две соседние грани имеют один и тот же цвет, а все остальные грани имеют один иной цвет, то куб имеет 4 изометрии.
- Если три грани, из которых две противоположные друг другу, имеют один цвет, а три другие — другого цвета, то куб имеет 4 изометрии.
- если две противоположные грани имеют одинаковый цвет, а также две другие противоположные грани, причем две последние имеют разные цвета, то куб имеет 4 изометрии, как лист чистой бумаги с формой зеркальной симметрии.
C _s , [ ], (*):
- если две соседние грани имеют отличающийся друг от друга цвет, а остальные четыре имеют третий цвет, то куб имеет 2 изометрии.
- если две противоположные грани имеют одинаковый цвет, а все остальные грани имеют разные цвета, куб имеет 2 изометрии, как асимметричный лист чистой бумаги.
C _3v , [3], (*33): если три грани, из которых ни одна не противоположна друг другу, имеют один цвет, а три другие — другого цвета, то куб имеет 6 изометрий.

Для некоторых более крупных подгрупп невозможно построить куб с этой группой в качестве группы симметрии, просто раскрасив целые грани. На лицах нужно нарисовать какой-то узор.

Примеры:

D _2d , [2 ⁺ ,4], (2*2): если одна грань имеет отрезок, разделяющий грань на два равных прямоугольника, а противоположная имеет то же самое в перпендикулярном направлении, куб имеет 8 изометрий; существует плоскость симметрии и 2-кратной вращательной симметрии с осью, расположенной под углом 45° к этой плоскости, и, как следствие, существует еще одна плоскость симметрии, перпендикулярная первой, и еще одна ось 2-кратной вращательной симметрии. перпендикулярно первому.
T h , [3 ⁺ ,4], (3*2): если каждая грань имеет отрезок, разделяющий грань на два равных прямоугольника, такой, что отрезки соседних граней не пересекаются на ребре, куб имеет 24 изометрии: четные перестановки диагоналей тела и то же самое в сочетании с инверсией ( x отображается в − x ).
T _d , [3,3], (*332): если куб состоит из восьми кубиков меньшего размера, четырех белых и четырех черных, сложенных поочередно во всех трех стандартных направлениях, куб снова имеет 24 изометрии: на этот раз четные перестановки диагоналей тела и инверсий других собственных вращений.
T, [3,3] ⁺ , (332): если каждая грань имеет одинаковый рисунок с 2-кратной вращательной симметрией, скажем, букву S, такую, что на всех краях вершина одной S пересекается со стороной другой S, куб имеет 12 изометрий: четные перестановки диагоналей тела.

Полная симметрия куба Oh _, [4,3], (*432) сохраняется тогда и только тогда, когда все грани имеют одинаковый рисунок, так что сохраняется полная симметрия квадрата , причем для квадрата сохраняется симметрия группа Dih ₄ , [4] порядка 8.

Полная симметрия куба при собственных вращениях O, [4,3] ⁺ , (432) сохраняется тогда и только тогда, когда все грани имеют одинаковый рисунок с 4-кратной вращательной симметрией Z ₄ , [4] ⁺ .