Конечноранговый оператор

В функциональном анализе , разделе математики, оператор конечного ранга — это ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами , область значений которого конечномерна. ^[1]

Конечноранговые операторы в гильбертовом пространстве

Каноническая форма

Конечно-ранговые операторы — это матрицы (конечного размера), перенесенные в бесконечномерную среду. Таким образом, эти операторы могут быть описаны с помощью методов линейной алгебры.

Из линейной алгебры мы знаем, что прямоугольная матрица с комплексными элементами имеет ранг тогда и только тогда, когда она имеет вид ${\displaystyle M\in \mathbb {C} ^{n\times m}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M=\alpha \cdot uv^{*},\quad {\mbox{where}}\quad \|u\|=\|v\|=1\quad {\mbox{and}}\quad \alpha \geq 0.}$

Точно такой же аргумент показывает, что оператор в гильбертовом пространстве имеет ранг тогда и только тогда, когда ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle Th=\alpha \langle h,v\rangle u\quad {\mbox{for all}}\quad h\in H,}$

где условия те же, что и в конечномерном случае. ${\displaystyle \alpha ,u,v}$

Поэтому по индукции оператор конечного ранга принимает вид ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle Th=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\mbox{for all}}\quad h\in H,}$

где и — ортонормированные базисы. Обратите внимание, что это по сути переформулировка сингулярного разложения . Можно сказать, что это каноническая форма операторов конечного ранга. ${\displaystyle \{u_{i}\}}$ ${\displaystyle \{v_{i}\}}$

Немного обобщая, если теперь счетно бесконечно и последовательность положительных чисел накапливается только в , то является компактным оператором и имеет каноническую форму для компактных операторов. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle T}$

Компактные операторы являются трассовыми только в том случае, если ряд сходится; это свойство автоматически выполняется для всех операторов конечного ранга. ^[2] ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}}$

Алгебраическое свойство

Семейство операторов конечного ранга в гильбертовом пространстве образует двусторонний *-идеал в , алгебру ограниченных операторов в . Фактически это минимальный элемент среди таких идеалов, то есть любой двусторонний *-идеал в должен содержать операторы конечного ранга. Это несложно доказать. Возьмем ненулевой оператор , тогда для некоторого . Достаточно иметь, что для любого , оператор ранга 1 , отображающийся в , лежит в . Определим как оператор ранга 1, отображающийся в , и аналогично. Тогда ${\displaystyle F(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L(H)}$ ${\displaystyle T\in I}$ ${\displaystyle Tf=g}$ ${\displaystyle f,g\neq 0}$ ${\displaystyle h,k\in H}$ ${\displaystyle S_{h,k}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S_{h,f}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{g,k}}$

${\displaystyle S_{h,k}=S_{g,k}TS_{h,f},\,}$

что означает, что находится внутри , и это подтверждает утверждение. ${\displaystyle S_{h,k}}$ ${\displaystyle I}$

Примерами двусторонних *-идеалов в являются операторы класса следов , операторы Гильберта–Шмидта и компактные операторы . плотно во всех трех этих идеалах в их соответствующих нормах. ${\displaystyle L(H)}$ ${\displaystyle F(H)}$

Поскольку любой двусторонний идеал в должен содержать , алгебра проста тогда и только тогда , когда она конечномерна. ${\displaystyle L(H)}$ ${\displaystyle F(H)}$ ${\displaystyle L(H)}$

Конечноранговые операторы в банаховом пространстве

Конечномерный оператор между банаховыми пространствами — это ограниченный оператор , область значений которого конечномерна. Как и в случае гильбертова пространства, его можно записать в виде ${\displaystyle T:U\to V}$

${\displaystyle Th=\sum _{i=1}^{n}\langle u_{i},h\rangle v_{i}\quad {\mbox{for all}}\quad h\in U,}$

где теперь , и являются ограниченными линейными функционалами на пространстве . ${\displaystyle v_{i}\in V}$ ${\displaystyle u_{i}\in U'}$ ${\displaystyle U}$

Ограниченный линейный функционал является частным случаем оператора конечного ранга, а именно ранга один.

Ссылки

1. "Оператор конечного ранга - обзор". 2004.
2. Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 267–268. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.