Оператор (физика)

Функция, действующая на пространстве физических состояний в физике

Оператор — это функция пространства физических состояний в другое пространство состояний. Простейшим примером полезности операторов является изучение симметрии (что делает концепцию группы полезной в этом контексте). Благодаря этому они являются полезными инструментами в классической механике . Операторы еще более важны в квантовой механике , где они образуют неотъемлемую часть формулировки теории.

Операторы в классической механике

В классической механике движение частицы (или системы частиц) полностью определяется лагранжианом или , что эквивалентно, гамильтонианом , функцией обобщенных координат q , обобщенных скоростей и сопряженных им импульсов : ${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)}$ ${\displaystyle H(q,p,t)}$ ${\displaystyle {\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t}$

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

Если L или H не зависят от обобщенной координаты q , то есть L и H не изменяются при изменении q , что, в свою очередь, означает, что динамика частицы остается той же самой даже при изменении q , соответствующие импульсы, сопряженные с этими координатами, будут сохраняться (это часть теоремы Нётер , а инвариантность движения относительно координаты q является симметрией ). Операторы в классической механике связаны с этими симметриями.

Более технически, когда H инвариантен относительно действия определенной группы преобразований G :

${\displaystyle S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)}$.

Элементами G являются физические операторы, которые отображают физические состояния между собой.

Таблица операторов классической механики

где — матрица вращения вокруг оси, определяемой единичным вектором и углом θ . ${\displaystyle R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}$

Генераторы

Если преобразование бесконечно мало , то действие оператора должно иметь вид

${\displaystyle I+\epsilon A,}$

где — оператор тождества, — параметр с малым значением, который будет зависеть от рассматриваемого преобразования, и называется генератором группы . Опять же, в качестве простого примера, мы выведем генератор пространственных трансляций на одномерных функциях. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A}$

Как было сказано, . Если бесконечно мало, то можно записать ${\displaystyle T_{a}f(x)=f(x-a)}$ ${\displaystyle a=\epsilon }$

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x).}$

Эту формулу можно переписать как

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon D)f(x)}$

где — генератор группы трансляций, который в данном случае оказывается оператором производной . Таким образом, говорят, что генератор трансляций — это производная. ${\displaystyle D}$

Экспоненциальная карта

Вся группа может быть восстановлена, при нормальных обстоятельствах, из генераторов, через экспоненциальную карту . В случае переводов идея работает следующим образом.

Перевод для конечного значения может быть получен путем повторного применения бесконечно малого перевода: ${\displaystyle a}$

${\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)}$

со стоянием для времени применения . Если велико, то каждый из факторов можно считать бесконечно малым: ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {a}{N}}D\right)^{N}f(x).}$

Но этот предел можно переписать в виде экспоненты:

${\displaystyle T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).}$

Чтобы убедиться в справедливости этого формального выражения, можно разложить экспоненту в степенной ряд :

${\displaystyle T_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!}-{a^{3}D^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x).}$

Правую часть можно переписать как

${\displaystyle f(x)-af'(x)+{\frac {a^{2}}{2!}}f''(x)-{\frac {a^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+\cdots }$

что является просто расширением Тейлора для , которое было нашим исходным значением для . ${\displaystyle f(x-a)}$ ${\displaystyle T_{a}f(x)}$

Математические свойства физических операторов сами по себе являются темой большой важности. Для получения дополнительной информации см. C*-алгебра и теорема Гельфанда–Наймарка .

Операторы в квантовой механике

Математическая формулировка квантовой механики (КМ) построена на концепции оператора.

Физические чистые состояния в квантовой механике представляются как единично-нормированные векторы (вероятности нормированы на единицу) в специальном комплексном гильбертовом пространстве . Временная эволюция в этом векторном пространстве задается применением оператора эволюции .

Любая наблюдаемая величина , т. е. любая величина, которая может быть измерена в физическом эксперименте, должна быть связана с самосопряженным линейным оператором . Операторы должны давать действительные собственные значения , поскольку они являются значениями, которые могут возникнуть в результате эксперимента. Математически это означает, что операторы должны быть эрмитовыми . ^[1] Вероятность каждого собственного значения связана с проекцией физического состояния на подпространство, связанное с этим собственным значением. Ниже приведены математические подробности об эрмитовых операторах.

В волновой механике квантовой механики волновая функция изменяется в зависимости от пространства и времени или, что эквивалентно, импульса и времени ( подробнее см. в разделе о пространстве положения и импульса ), поэтому наблюдаемые величины являются дифференциальными операторами .

В формулировке матричной механики норма физического состояния должна оставаться фиксированной, поэтому оператор эволюции должен быть унитарным , а операторы могут быть представлены в виде матриц. Любая другая симметрия, отображающая одно физическое состояние в другое, должна сохранять это ограничение.

Волновая функция

Волновая функция должна быть квадратично интегрируемой (см. пространства L p ), что означает:

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty }$

и нормализуемы, так что:

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1}$

Два случая собственных состояний (и собственных значений):

• для дискретных собственных состояний, образующих дискретный базис, поэтому любое состояние является суммой , где c _i — комплексные числа, такие что | c _i | ² = c _i ^* c _i — вероятность измерения состояния , а соответствующий набор собственных значений a _i также является дискретным — либо конечным , либо счетно бесконечным . В этом случае внутреннее произведение двух собственных состояний задается как , где обозначает символ Кронекера . Однако, ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ $${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle }$$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi _{i}\vert \phi _{j}\rangle =\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{mn}}$
• для континуума собственных состояний, образующих непрерывный базис, любое состояние является интегралом , где c ( φ ) — комплексная функция, такая что | c (φ)| ² = c (φ) ^* c (φ) — вероятность измерения состояния , и существует несчетное бесконечное множество собственных значений a . В этом случае внутреннее произведение двух собственных состояний определяется как , где здесь обозначает дельту Дирака . ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ $${\displaystyle |\psi \rangle =\int c(\phi )\,d\phi |\phi \rangle }$$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi '\vert \phi \rangle =\delta (\phi -\phi ')}$ ${\displaystyle \delta (x-y)}$

Линейные операторы в волновой механике

Пусть ψ — волновая функция квантовой системы, а — любой линейный оператор для некоторой наблюдаемой величины A (такой как положение, импульс, энергия, момент импульса и т. д.). Если ψ — собственная функция оператора , то ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi ,}$

где a — собственное значение оператора, соответствующее измеренному значению наблюдаемой, т.е. наблюдаемая A имеет измеренное значение a .

Если ψ является собственной функцией данного оператора , то определенная величина (собственное значение a ) будет наблюдаться, если измерение наблюдаемой A выполняется на состоянии ψ . Наоборот, если ψ не является собственной функцией , то она не имеет собственного значения для , и наблюдаемая не имеет единственного определенного значения в этом случае. Вместо этого измерения наблюдаемой A дадут каждое собственное значение с определенной вероятностью (связанной с разложением ψ относительно ортонормированного собственного базиса ). ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

В скобочной нотации вышесказанное можно записать:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}}$

которые равны, если является собственным вектором или собственным кетом наблюдаемой A. ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$

Из-за линейности векторы могут быть определены в любом количестве измерений, поскольку каждый компонент вектора действует на функцию отдельно. Одним из математических примеров является оператор del , который сам по себе является вектором (полезным в квантовых операторах, связанных с импульсом, в таблице ниже).

Оператор в n -мерном пространстве можно записать:

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}}$

где e _j — базисные векторы, соответствующие каждому компоненту оператора A _j . Каждый компонент даст соответствующее собственное значение . Действуя этим на волновую функцию ψ : ${\displaystyle a_{j}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)}$

в котором мы использовали ${\displaystyle {\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi .}$

В скобочной записи:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}}$

Коммутация операторов наΨ

Если две наблюдаемые величины A и B имеют линейные операторы и , коммутатор определяется как, ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$

Коммутатор сам по себе является (составным) оператором. Действие коммутатора на ψ дает:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .}$

Если ψ является собственной функцией с собственными значениями a и b для наблюдаемых A и B соответственно, и если операторы коммутируют:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,}$

тогда наблюдаемые величины A и B могут быть измерены одновременно с бесконечной точностью, т.е. неопределенности , одновременно. Тогда говорят, что ψ является одновременной собственной функцией A и B. Чтобы проиллюстрировать это: ${\displaystyle \Delta A=0}$ ${\displaystyle \Delta B=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}}$

Это показывает, что измерение A и B не вызывает никакого сдвига состояния, т. е. начальное и конечное состояния одинаковы (нет возмущения из-за измерения). Предположим, мы измеряем A, чтобы получить значение a. Затем мы измеряем B, чтобы получить значение b. Мы снова измеряем A. Мы по-прежнему получаем то же самое значение a. Очевидно, что состояние ( ψ ) системы не разрушается, и поэтому мы можем измерить A и B одновременно с бесконечной точностью.

Если операторы не ездят на работу:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,}$

их нельзя приготовить одновременно с произвольной точностью, и между наблюдаемыми величинами существует соотношение неопределенности

${\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|}$

даже если ψ является собственной функцией, указанное выше соотношение сохраняется. Известными парами являются соотношения неопределенности положения и импульса и энергии и времени, а также угловые моменты (спиновые, орбитальные и полные) относительно любых двух ортогональных осей (таких как L _x и L _y , или s _y и s _z , и т. д.). ^[2]

Ожидаемые значения операторов наΨ

Ожидаемое значение (эквивалентно среднему значению) — это среднее измерение наблюдаемой величины для частицы в области R. Ожидаемое значение оператора вычисляется из: ^[3] ${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right\rangle .}$

Это можно обобщить на любую функцию F оператора:

${\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,}$

Примером F является 2-кратное действие A на ψ , т.е. возведение оператора в квадрат или выполнение его дважды:

${\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \left\langle {\hat {A}}^{2}\right\rangle &=\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!}$

Эрмитовы операторы

Определение эрмитова оператора : ^[1]

${\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }}$

Из этого следует, в скобочной записи:

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle =\left\langle \phi _{j}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{i}\right\rangle ^{*}.}$

Важные свойства эрмитовых операторов включают в себя:

• действительные собственные значения,
• Собственные векторы с разными собственными значениями ортогональны ,
• Собственные векторы могут быть выбраны так, чтобы они представляли собой полный ортонормированный базис ,

Операторы в матричной механике

Оператор может быть записан в матричной форме для отображения одного базисного вектора в другой. Поскольку операторы линейны, матрица является линейным преобразованием (также известной как матрица перехода) между базисами. Каждый базисный элемент может быть связан с другим, ^[3] с помощью выражения: ${\displaystyle \phi _{j}}$

${\displaystyle A_{ij}=\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle ,}$

который является матричным элементом:

${\displaystyle {\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

Еще одним свойством эрмитова оператора является то, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, являются ортогональными. ^[1] В матричной форме операторы позволяют находить действительные собственные значения, соответствующие измерениям. Ортогональность позволяет использовать подходящий базисный набор векторов для представления состояния квантовой системы. Собственные значения оператора также оцениваются таким же образом, как и для квадратной матрицы, путем решения характеристического полинома :

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0,}$

где I — единичная матрица n × n , как оператор она соответствует единичному оператору. Для дискретного базиса:

${\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$

в то время как на постоянной основе:

${\displaystyle {\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi }$

Обратный оператор

Несингулярный оператор имеет обратный оператор, определяемый следующим образом: ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}}$

Если оператор не имеет обратного, то он является сингулярным оператором. В конечномерном пространстве оператор является несингулярным тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля:

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}\right)\neq 0}$

и, следовательно, для сингулярного оператора определитель равен нулю.

Таблица операторов QM

Операторы, используемые в квантовой механике, собраны в таблице ниже (см., например, ^{[1] [4]} ). Векторы, выделенные жирным шрифтом с циркумфлексами, не являются единичными векторами , это 3-векторные операторы; все три пространственных компонента взяты вместе.

Примеры применения квантовых операторов

Процедура извлечения информации из волновой функции следующая. Рассмотрим импульс p частицы в качестве примера. Оператор импульса в базисе положения в одном измерении имеет вид:

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$

Позволяя этому действовать на ψ, получаем:

${\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi ,}$

если ψ является собственной функцией , то собственное значение импульса p является значением импульса частицы, найденным по формуле: ${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .}$

Для трех измерений оператор импульса использует оператор набла и принимает вид:

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla .}$

В декартовых координатах (используя стандартные декартовы базисные векторы e _x , ey , e _{z )} это можно записать:

${\displaystyle \mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}$

то есть:

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!}$

Процесс нахождения собственных значений тот же самый. Поскольку это векторное и операторное уравнение, если ψ является собственной функцией, то каждый компонент оператора импульса будет иметь собственное значение, соответствующее этому компоненту импульса. Действуя на ψ , получаем: ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!}$

Смотрите также

• Ограниченный линейный оператор
• Теория представления

Ссылки

1. Молекулярная квантовая механика, части I и II: Введение в квантовую химию (том 1), PW Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN  0-19-855129-0
2. Баллентайн, Л. Э. (1970), «Статистическая интерпретация квантовой механики», Reviews of Modern Physics , 42 (4): 358–381, Bibcode : 1970RvMP...42..358B, doi : 10.1103/RevModPhys.42.358
3. Quantum Mechanics Demystified, Д. Макмахон, McGraw Hill (США), 2006, ISBN 0-07-145546-9 
4. Операторы - Фейнмановские лекции по физике