Идеал оператора

В функциональном анализе , разделе математики , операторный идеал — это особый вид класса непрерывных линейных операторов между банаховыми пространствами . Если оператор принадлежит операторному идеалу , то для любых операторов и, которые могут быть составлены с помощью as , то также является классом . Кроме того, чтобы быть операторным идеалом, он должен содержать класс всех операторов банахова пространства конечного ранга. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle BTA}$ ${\displaystyle BTA}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$

Формальное определение

Обозначим через класс непрерывных линейных операторов, действующих между произвольными банаховыми пространствами. Для любого подкласса и любых двух банаховых пространств и над одним и тем же полем обозначим через множество непрерывных линейных операторов вида таких, что . В этом случае мы говорим, что это компонент . Идеал оператора — это подкласс класса , содержащий каждый тождественный оператор, действующий в одномерном банаховом пространстве, такой, что для любых двух банаховых пространств и над одним и тем же полем выполняются следующие два условия : ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}(X,Y)}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}(X,Y)}$

(1) Если тогда ; и ${\displaystyle S,T\in {\mathcal {J}}(X,Y)}$ ${\displaystyle S+T\in {\mathcal {J}}(X,Y)}$

(2) если и являются банаховыми пространствами над с и , и если , то . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(W,X)}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {L}}(Y,Z)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {J}}(X,Y)}$ ${\displaystyle BTA\in {\mathcal {J}}(W,Z)}$

Свойства и примеры

Операторные идеалы обладают следующими замечательными свойствами.

• Каждая компонента операторного идеала образует линейное подпространство в , хотя, вообще говоря, оно не обязательно должно быть замкнутым по норме. ${\displaystyle {\mathcal {J}}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$
• Каждый операторный идеал содержит все операторы конечного ранга. В частности, операторы конечного ранга образуют наименьший операторный идеал.
• Для каждого операторного идеала каждая компонента формы образует идеал в алгебраическом смысле. ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}(X):={\mathcal {J}}(X,X)}$

Более того, некоторые очень известные классы представляют собой операторные идеалы, замкнутые по норме, т. е. операторные идеалы, компоненты которых всегда замкнуты по норме. Они включают, помимо прочего, следующее.

• Компактные операторы
• Слабо компактные операторы
• Конечно строго сингулярные операторы
• Строго сингулярные операторы
• Полностью непрерывные операторы

Рекомендации

• Питш, Альбрехт: Операторские идеалы , Том 16 Mathematische Monographien , Deutscher Verlag d. Висс., ВЭБ, 1978.