Линейная карта

Математическая функция в линейной алгебре

В математике , а точнее в линейной алгебре , линейное отображение (также называемое линейным отображением , линейным преобразованием , гомоморфизмом векторного пространства или в некоторых контекстах линейной функцией ) — это отображение между двумя векторными пространствами , которое сохраняет операции сложения векторов и скалярного умножения . Те же названия и то же определение используются также для более общего случая модулей над кольцом ; см. Гомоморфизм модулей . ${\displaystyle V\to W}$

Если линейное отображение является биекцией , то оно называетсялинейный изоморфизм . В случае , когда, линейное отображение называетсялинейным эндоморфизмом. Иногда термин ${\displaystyle V=W}$Линейный оператор относится к этому случаю,^[1]но термин «линейный оператор» может иметь разные значения для разных соглашений: например, его можно использовать, чтобы подчеркнуть, чтоиявляютсядействительнымивекторными пространствами (не обязательно с),^{[ необходима ссылка ]}или его можно использовать, чтобы подчеркнуть, чтоявляетсяфункциональным пространством, что является общим соглашением вфункциональном анализе.^[2]Иногда термин линейная функция имеет то же значение, что илинейное отображение, в то время как ванализеэто не так. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle V}$

Линейное отображение из в всегда отображает начало координат в начало координат . Более того, оно отображает линейные подпространства в на линейные подпространства в (возможно, меньшей размерности ); ^[3] например, оно отображает плоскость , проходящую через начало координат в , либо в плоскость, проходящую через начало координат в , либо в прямую, проходящую через начало координат в , либо просто в начало координат в . Линейные отображения часто можно представить в виде матриц , и простые примеры включают линейные преобразования вращения и отражения . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

На языке теории категорий линейные отображения являются морфизмами векторных пространств и образуют категорию, эквивалентную категории матриц .

Определение и первые последствия

Пусть и — векторные пространства над одним и тем же полем . Функция называется линейным отображением , если для любых двух векторов и любого скаляра выполняются следующие два условия: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle c\in K}$

• Аддитивность / операция сложения $${\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}$$
• Однородность степени 1 / операция скалярного умножения $${\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}$$

Таким образом, говорят, что линейное отображение сохраняет операции . Другими словами, не имеет значения, применяется ли линейное отображение до (правые стороны приведенных выше примеров) или после (левые стороны примеров) операций сложения и скалярного умножения.

В силу ассоциативности операции сложения, обозначаемой как +, для любых векторов и скаляров выполняется следующее равенство: ^{[4] [5]} Таким образом, линейное отображение — это отображение, сохраняющее линейные комбинации . ${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$ ${\textstyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K,}$ $${\displaystyle f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).}$$

Обозначая нулевые элементы векторных пространств и через и соответственно, получаем, что Пусть и в уравнении однородности степени 1: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\textstyle \mathbf {0} _{V}}$ ${\textstyle \mathbf {0} _{W}}$ ${\textstyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}.}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\textstyle \mathbf {v} \in V}$ $${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}$$

Линейное отображение , рассматриваемое как одномерное векторное пространство над собой, называется линейным функционалом . ^[6] ${\displaystyle V\to K}$ ${\displaystyle K}$

Эти утверждения обобщаются на любой левый модуль над кольцом без изменений и на любой правый модуль при обращении скалярного умножения. ${\textstyle {}_{R}M}$ ${\displaystyle R}$

Примеры

• Типичным примером, давшим название линейным отображениям, является функция , график которой представляет собой линию, проходящую через начало координат. ^[7] ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto cx}$
• В более общем смысле любая гомотетия с центром в начале координат векторного пространства является линейным отображением (здесь c — скаляр). ${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$
• Нулевое отображение между двумя векторными пространствами (над одним и тем же полем ) является линейным. ${\textstyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {0} }$
• Тождественное отображение на любом модуле является линейным оператором.
• Для действительных чисел отображение нелинейно. ${\textstyle x\mapsto x^{2}}$
• Для действительных чисел отображение не является линейным (но представляет собой аффинное преобразование ). ${\textstyle x\mapsto x+1}$
• Если — вещественная матрица , то определяет линейное отображение из в путем отправки вектора-столбца в вектор-столбец . Наоборот, любое линейное отображение между конечномерными векторными пространствами может быть представлено таким образом; см. § Матрицы ниже. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}}$
• Если — изометрия между вещественными нормированными пространствами, такая, что — линейное отображение. Этот результат не обязательно верен для комплексного нормированного пространства. ^[8] ${\textstyle f:V\to W}$ ${\textstyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f}$
• Дифференцирование определяет линейное отображение из пространства всех дифференцируемых функций в пространство всех функций. Оно также определяет линейный оператор в пространстве всех гладких функций (линейный оператор — это линейный эндоморфизм , то есть линейное отображение с той же областью определения и областью определения ). Действительно, $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(af(x)+bg(x)\right)=a{\frac {df(x)}{dx}}+b{\frac {dg(x)}{dx}}.}$$
• Определенный интеграл на некотором интервале I — это линейное отображение из пространства всех действительнозначных интегрируемых функций на I в . Действительно, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \int _{u}^{v}\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int _{u}^{v}f(x)dx+b\int _{u}^{v}g(x)dx.}$$
• Неопределенный интеграл (или первообразная ) с фиксированной начальной точкой интегрирования определяет линейное отображение из пространства всех действительнозначных интегрируемых функций на в пространство всех действительнозначных дифференцируемых функций на . Без фиксированной начальной точки первообразная отображается в факторпространство дифференцируемых функций по линейному пространству постоянных функций. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Если и являются конечномерными векторными пространствами над полем F , размерностей m и n соответственно , то функция, которая отображает линейные отображения в матрицы размера n × m способом, описанным в § Матрицы (ниже), является линейным отображением и даже линейным изоморфизмом . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\textstyle f:V\to W}$
• Ожидаемое значение случайной величины ( которая на самом деле является функцией и, как таковая, элементом векторного пространства) является линейным, так как для случайных величин и мы имеем и , но дисперсия случайной величины не является линейной. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]}$ ${\displaystyle E[aX]=aE[X]}$

• 
  Функция с является линейным отображением. Эта функция масштабирует компонент вектора на коэффициент . ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle 2}$
• 
  Функция является аддитивной: не имеет значения, сначала ли векторы складываются, а затем отображаются или они отображаются, а затем добавляются: ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ ${\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$
• 
  Функция однородна: не имеет значения, был ли вектор сначала масштабирован, а затем отображен или сначала отображен, а затем масштабирован: ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ ${\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

Линейные расширения

Часто линейная карта строится путем ее определения на подмножестве векторного пространства, а затемрасширяющийся по линейности долинейной оболочкиобласти. Предположим,что иявляются векторными пространствами, аявляетсяфункцией,определенной на некотором подмножестве Тогда ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$линейное расширение до ,если ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$оно существует, является линейным отображением,определенным на, котороерасширяет^{[примечание 1]}(имея в виду, чтодля всех) и принимает свои значения из области значений^[9] Когда подмножествоявляется векторным подпространством ,то (-значное) линейное расширениедо всехгарантированно существует, если (и только если)является линейным отображением.^[9]В частности, еслиимеет линейное расширение до, то оно имеет линейное расширение до всех ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(s)=f(s)}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {span} S,}$ ${\displaystyle X.}$

Отображение может быть расширено до линейного отображения тогда и только тогда, когда является целым числом, являются скалярами и являются векторами, такими что тогда обязательно ^[10] Если линейное расширение существует, то линейное расширение является единственным и выполняется для всех и , как указано выше. ^[10] Если является линейно независимым, то каждая функция в любом векторном пространстве имеет линейное расширение до (линейного) отображения (обратное также верно). ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$ ${\displaystyle 0=c_{1}s_{1}+\cdots +c_{n}s_{n},}$ ${\displaystyle 0=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right).}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$ $${\displaystyle F\left(c_{1}s_{1}+\cdots c_{n}s_{n}\right)=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right)}$$ ${\displaystyle n,c_{1},\ldots ,c_{n},}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle \;\operatorname {span} S\to Y}$

Например, если и тогда задание и может быть линейно расширено с линейно независимого набора векторов до линейного отображения на Уникальным линейным расширением является отображение, которое отправляет в ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle (1,0)\to -1}$ ${\displaystyle (0,1)\to 2}$ ${\displaystyle S:=\{(1,0),(0,1)\}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{(1,0),(0,1)\}=\mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (x,y)=x(1,0)+y(0,1)\in \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle F(x,y)=x(-1)+y(2)=-x+2y.}$$

Каждый (скалярнозначный) линейный функционал, определенный на векторном подпространстве действительного или комплексного векторного пространства, имеет линейное расширение на все Действительно , теорема Хана–Банаха о доминируемом расширении даже гарантирует, что когда этот линейный функционал доминируется некоторой заданной полунормой (что означает, что справедливо для всех в области ), то существует линейное расширение на , которое также доминируется ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$

Матрицы

Если и являются конечномерными векторными пространствами и для каждого векторного пространства определен базис , то каждое линейное отображение из в может быть представлено матрицей . [ ^11] Это полезно, поскольку позволяет выполнять конкретные вычисления. Матрицы дают примеры линейных отображений: если является вещественной матрицей, то описывает линейное отображение (см. Евклидово пространство ). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

Пусть будет базисом для . Тогда каждый вектор однозначно определяется коэффициентами в поле : ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}$$

Если — линейное отображение, ${\textstyle f:V\to W}$ $${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),}$$

что подразумевает, что функция f полностью определяется векторами . Теперь пусть будет базисом для . Тогда мы можем представить каждый вектор как ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$ $${\displaystyle f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}$$

Таким образом, функция полностью определяется значениями . Если мы поместим эти значения в матрицу , то мы можем удобно использовать ее для вычисления векторного вывода для любого вектора в . Чтобы получить , каждый столбец из является вектором, соответствующим , как определено выше. Чтобы определить это более четко, для некоторого столбца , соответствующего отображению , где — матрица из . Другими словами, каждому столбцу соответствует вектор , координаты которого являются элементами столбца . Одна линейная карта может быть представлена ​​многими матрицами. Это происходит потому, что значения элементов матрицы зависят от выбранных оснований. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$ $${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$ ${\displaystyle a_{1j},\cdots ,a_{mj}}$ ${\displaystyle j}$

Матрицы линейного преобразования можно представить визуально:

1. Матрица для относительно : ${\textstyle T}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle A}$
2. Матрица для относительно : ${\textstyle T}$ ${\textstyle B'}$ ${\textstyle A'}$
3. Матрица перехода от к : ${\textstyle B'}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle P}$
4. Матрица перехода от к : ${\textstyle B}$ ${\textstyle B'}$ ${\textstyle P^{-1}}$

Связь между матрицами в линейном преобразовании

Таким образом, начиная с нижнего левого угла и ища нижний правый угол , можно было бы умножить слева — то есть, . Эквивалентным методом был бы «более длинный» метод, идущий по часовой стрелке от той же точки, так что умножается слева на , или . ${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$ ${\textstyle \left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$ ${\textstyle A'\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$ ${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$ ${\textstyle P^{-1}AP}$ ${\textstyle P^{-1}AP\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$

Примеры в двух измерениях

В двумерном пространстве R2 линейные отображения описываются матрицами 2 × 2. Вот несколько примеров ^:

• вращение
  • на 90 градусов против часовой стрелки: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$$
  • на угол θ против часовой стрелки: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• отражение
  • через ось x : $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$
  • по оси Y : $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$$
  • через линию, составляющую угол θ с началом координат: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}}$$
• масштабирование на 2 во всех направлениях: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}=2\mathbf {I} }$$
• Картографирование горизонтального сдвига : $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}}$$
• наклон оси y на угол θ : $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&-\sin \theta \\0&\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• картирование сжатия : $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}}$$
• проекция на ось Y : $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$$

Если линейная карта состоит только из поворота, отражения и/или равномерного масштабирования, то линейная карта является конформным линейным преобразованием .

Вектор пространства линейных отображений

Композиция линейных отображений линейна: если и линейны, то линейна и их композиция . Из этого следует, что класс всех векторных пространств над заданным полем K вместе с K -линейными отображениями как морфизмами образует категорию . ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\textstyle g:W\to Z}$ ${\textstyle g\circ f:V\to Z}$

Обратное линейному отображению, если оно определено, снова является линейным отображением .

Если и линейны, то линейна и их поточечная сумма , которая определяется как . ${\textstyle f_{1}:V\to W}$ ${\textstyle f_{2}:V\to W}$ ${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$ ${\displaystyle (f_{1}+f_{2})(\mathbf {x} )=f_{1}(\mathbf {x} )+f_{2}(\mathbf {x} )}$

Если является линейным и является элементом основного поля , то отображение , определяемое , также является линейным. ${\textstyle f:V\to W}$ ${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \alpha f}$ ${\textstyle (\alpha f)(\mathbf {x} )=\alpha (f(\mathbf {x} ))}$

Таким образом, множество линейных отображений из в себя образует векторное пространство над , ^[12] иногда обозначаемое . ^[13] Более того, в случае, когда , это векторное пространство, обозначаемое , является ассоциативной алгеброй относительно композиции отображений , поскольку композиция двух линейных отображений снова является линейным отображением, а композиция отображений всегда ассоциативна. Этот случай более подробно обсуждается ниже. ${\textstyle {\mathcal {L}}(V,W)}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\textstyle V=W}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

Снова учитывая конечномерный случай, если были выбраны базисы, то композиция линейных отображений соответствует умножению матриц , сложение линейных отображений соответствует сложению матриц , а умножение линейных отображений на скаляры соответствует умножению матриц на скаляры.

Эндоморфизмы и автоморфизмы

Линейное преобразование является эндоморфизмом ; множество всех таких эндоморфизмов вместе с сложением, композицией и скалярным умножением, как определено выше, образует ассоциативную алгебру с единичным элементом над полем (и, в частности, кольцом ). Мультипликативный единичный элемент этой алгебры является тождественным отображением . ${\textstyle f:V\to V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \operatorname {id} :V\to V}$

Эндоморфизм , который также является изоморфизмом , называется автоморфизмом . Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, а множество всех автоморфизмов образует группу , группа автоморфизмов которой обозначается через или . Поскольку автоморфизмы — это в точности те эндоморфизмы , которые обладают обратными относительно композиции, — это группа единиц в кольце . ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$ ${\textstyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

Если имеет конечную размерность , то изоморфна ассоциативной алгебре всех матриц с элементами из . Группа автоморфизмов изоморфна полной линейной группе всех обратимых матриц с элементами из . ${\textstyle V}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {GL} (n,K)}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle K}$

Ядро, образ и теорема о ранге–нуле

Если линейно, мы определяем ядро ​​и изображение или диапазон по ${\textstyle f:V\to W}$ ${\textstyle f}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ker(f)&=\{\,\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=\mathbf {0} \,\}\\\operatorname {im} (f)&=\{\,\mathbf {w} \in W:\mathbf {w} =f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in V\,\}\end{aligned}}}$$

${\textstyle \ker(f)}$является подпространством и является подпространством . Следующая формула размерности известна как теорема ранга–ничтожности : ^[14] ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {im} (f)}$ ${\textstyle W}$ $${\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V).}$$

Число также называется рангом и записывается как , или иногда, ; ^{[15] [16]} число называется нулем и записывается как или . [ ^{15] [16]} Если и являются конечномерными, были выбраны основания и представлены матрицей , то ранг и нуль равны рангу и нулю матрицы соответственно. ${\textstyle \dim(\operatorname {im} (f))}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle \operatorname {rank} (f)}$ ${\textstyle \rho (f)}$ ${\textstyle \dim(\ker(f))}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle \operatorname {null} (f)}$ ${\textstyle \nu (f)}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle A}$

Козерог

Более тонким инвариантом линейного преобразования является ко- ядро , которое определяется как ${\textstyle f:V\to W}$ $${\displaystyle \operatorname {coker} (f):=W/f(V)=W/\operatorname {im} (f).}$$

Это двойственное понятие к ядру: так же, как ядро ​​является подпространством домена , соядро является факторпространством цели . Формально , имеется точная последовательность $${\displaystyle 0\to \ker(f)\to V\to W\to \operatorname {coker} (f)\to 0.}$$

Их можно интерпретировать следующим образом: дано линейное уравнение f ( v ) = w для решения,

• ядро — это пространство решений однородного уравнения f ( v ) = 0, а его размерность — это число степеней свободы в пространстве решений, если оно не пусто;
• Коядро — это пространство ограничений, которым должны удовлетворять решения, а его размерность — это максимальное число независимых ограничений.

Размерность соядра и размерность образа (ранг) в сумме дают размерность целевого пространства. Для конечных размерностей это означает, что размерность факторпространства W / f ( V ) равна размерности целевого пространства за вычетом размерности образа.

В качестве простого примера рассмотрим отображение f : R ² → R ² , заданное как f ( x , y ) = (0, y ). Тогда для того, чтобы уравнение f ( x , y ) = ( a , b ) имело решение, мы должны иметь a = 0 (одно ограничение), и в этом случае пространство решений равно ( x , b ) или, что эквивалентно, (0, b ) + ( x , 0), (одна степень свободы). Ядро может быть выражено как подпространство ( x , 0) < V : значение x является свободой в решении – в то время как коядро может быть выражено через отображение W → R , : задан вектор ( a , b ), значение a является препятствием к существованию решения. ${\textstyle (a,b)\mapsto (a)}$

Пример, иллюстрирующий бесконечномерный случай, дает отображение f : R ^∞ → R ^∞ , где b ₁ = 0 и b _{n + 1} = a _n для n > 0. Его образ состоит из всех последовательностей с первым элементом 0, и, таким образом, его коядро состоит из классов последовательностей с идентичным первым элементом. Таким образом, в то время как его ядро ​​имеет размерность 0 (оно отображает только нулевую последовательность в нулевую последовательность), его коядро имеет размерность 1. Поскольку область определения и целевое пространство одинаковы, ранг и размерность ядра складываются в ту же сумму , что и ранг и размерность коядра ( ), но в бесконечномерном случае нельзя сделать вывод, что ядро ​​и коядро эндоморфизма имеют одинаковую размерность (0 ≠ 1). Обратная ситуация получается для отображения h : R ^∞ → R ^∞ , где c _n = a _{n + 1} . Его образом является все целевое пространство, и, следовательно, его соядро имеет размерность 0, но поскольку оно отображает все последовательности, в которых только первый элемент не равен нулю, в нулевую последовательность, его ядро ​​имеет размерность 1. ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{b_{n}\right\}}$ ${\textstyle \aleph _{0}+0=\aleph _{0}+1}$ ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{c_{n}\right\}}$

Индекс

Для линейного оператора с конечномерным ядром и соядром можно определить индекс как: а именно, степени свободы за вычетом числа ограничений. $${\displaystyle \operatorname {ind} (f):=\dim(\ker(f))-\dim(\operatorname {coker} (f)),}$$

Для преобразования между конечномерными векторными пространствами это просто разность dim( V ) − dim( W ), по рангу–нулевости. Это дает указание на то, сколько решений или сколько ограничений имеется: если отображение из большего пространства в меньшее, отображение может быть на и, таким образом, будет иметь степени свободы даже без ограничений. И наоборот, если отображение из меньшего пространства в большее, отображение не может быть на и, таким образом, будет иметь ограничения даже без степеней свободы.

Индекс оператора — это в точности эйлерова характеристика 2-членного комплекса 0 → V → W → 0. В теории операторов индекс фредгольмовых операторов является объектом изучения, а основным результатом является теорема Атьи–Зингера об индексе . ^[17]

Алгебраические классификации линейных преобразований

Ни одна классификация линейных отображений не может быть исчерпывающей. Следующий неполный список перечисляет некоторые важные классификации, которые не требуют никакой дополнительной структуры в векторном пространстве.

Пусть V и W обозначают векторные пространства над полем F , а T : V → W — линейное отображение.

Мономорфизм

Говорят, что T является инъективным или мономорфизмом, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. T является взаимно-однозначным как отображение множеств .
2. кер Т = {0 _В }
3. dim(ker T ) = 0
4. T является моническим или левосократимым, то есть для любого векторного пространства U и любой пары линейных отображений R : U → V и S : U → V уравнение TR = TS влечет R = S.
5. T является левообратимым , то есть существует линейное отображение S : W → V такое, что ST является тождественным отображением на V .

Эпиморфизм

Говорят, что T является сюръективным или эпиморфным, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. T рассматривается как карта множеств.
2. коксование T = {0 _W }
3. T является эпическим или сократимым справа, то есть для любого векторного пространства U и любой пары линейных отображений R : W → U и S : W → U уравнение RT = ST влечет R = S.
4. T является обратимым справа , то есть существует линейное отображение S : W → V такое, что TS является тождественным отображением на W .

Изоморфизм

Говорят, что T является изоморфизмом , если он является как обратимым слева, так и обратим справа. Это эквивалентно тому, что T является как взаимно-однозначным, так и на ( биекция множеств) или также тому, что T является как эпическим, так и моническим, и, таким образом, является биморфизмом .

Если T : V → V — эндоморфизм, то:

• Если для некоторого положительного целого числа n n -я итерация T , T n ^, тождественно равна нулю, то T называется нильпотентной .
• Если T ² = T , то T называется идемпотентом.
• Если T = kI , где k — некоторый скаляр, то говорят, что T является масштабирующим преобразованием или скалярным умножением; см. скалярная матрица .

Изменение основы

Дано линейное отображение, которое является эндоморфизмом , матрица которого есть A , в базисе B пространства оно преобразует векторные координаты [u] как [v] = A [u]. Поскольку векторы изменяются с инверсией B (векторные координаты контравариантны ), его обратное преобразование есть [v] = B [v'].

Подставляя это в первое выражение, получаем $${\displaystyle B\left[v'\right]=AB\left[u'\right]}$$ $${\displaystyle \left[v'\right]=B^{-1}AB\left[u'\right]=A'\left[u'\right].}$$

Следовательно, матрица в новом базисе имеет вид A′ = B ⁻¹ AB , где B — матрица данного базиса.

Поэтому линейные отображения называются 1-ко-1-контравариантными объектами или тензорами типа (1, 1) .

Непрерывность

Линейное преобразование между топологическими векторными пространствами , например, нормированными пространствами , может быть непрерывным . Если его область определения и область определения совпадают, то оно будет непрерывным линейным оператором . Линейный оператор в нормированном линейном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен , например, когда область определения конечномерна. ^[18] Бесконечномерная область может иметь разрывные линейные операторы .

Примером неограниченного, а значит, разрывного линейного преобразования является дифференцирование на пространстве гладких функций, снабженном супремум-нормой (функция с малыми значениями может иметь производную с большими значениями, в то время как производная 0 равна 0). Для конкретного примера, sin( nx )/ n сходится к 0, но ее производная cos( nx ) не сходится, поэтому дифференцирование не является непрерывным в 0 (и, согласно вариации этого аргумента, оно не является непрерывным нигде).

Приложения

Конкретное применение линейных отображений — геометрические преобразования , например, те, которые выполняются в компьютерной графике , где перемещение, вращение и масштабирование 2D- или 3D-объектов выполняется с использованием матрицы преобразования . Линейные отображения также используются в качестве механизма описания изменений: например, в исчислении соответствуют производным; или в теории относительности используются в качестве устройства для отслеживания локальных преобразований систем отсчета.

Другое применение этих преобразований — оптимизация компилятором кода вложенных циклов и методы распараллеливания компилятора .

Смотрите также

• Аддитивное отображение  – гомоморфизм Z-модуля
• Антилинейное отображение  – Сопряженное однородное аддитивное отображение
• Бент-функция  – специальный тип булевой функции
• Ограниченный оператор  – Линейное преобразование между топологическими векторными пространствами
• Функциональное уравнение Коши  – Функциональное уравнение
• Непрерывный линейный оператор
• Линейный функционал  – линейное отображение векторного пространства в его скалярное поле.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Линейная изометрия  – Математическое преобразование, сохраняющее расстояниеPages displaying short descriptions of redirect targets
• Категория матриц
• Квазилинеаризация

Примечания

1. "Линейные преобразования V в V часто называются линейными операторами на V ". Рудин 1976, стр. 207
2. Пусть V и W — два действительных векторных пространства. Отображение a из V в W называется «линейным отображением» или «линейным преобразованием» или «линейным оператором» [...] из V в W , если для всех , для всех и всех действительных λ . Бронштейн и Семендяев 2004, стр. 316
   ${\textstyle a(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=a\mathbf {u} +a\mathbf {v} }$ ${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$
   ${\textstyle a(\lambda \mathbf {u} )=\lambda a\mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} \in V}$
3. Рудин 1991, стр. 14
   Вот некоторые свойства линейных отображений, доказательства которых настолько просты, что мы их опускаем; предполагается, что и : ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ ${\textstyle A\subset X}$ ${\textstyle B\subset Y}$
   1. ${\textstyle \Lambda 0=0.}$
   2. Если A является подпространством (или выпуклым множеством , или сбалансированным множеством ), то же самое верно и для ${\textstyle \Lambda (A)}$
   3. Если B — подпространство (или выпуклое множество, или сбалансированное множество), то же самое верно и для ${\textstyle \Lambda ^{-1}(B)}$
   4. В частности, множество: является подпространством X , называемым нулевым пространством . $${\displaystyle \Lambda ^{-1}(\{0\})=\{\mathbf {x} \in X:\Lambda \mathbf {x} =0\}={N}(\Lambda )}$$ ${\textstyle \Lambda }$
4. Рудин 1991, стр. 14. Предположим теперь, что X и Y — векторные пространства над одним и тем же скалярным полем . Отображение называется линейным, если для всех и всех скаляров и . Обратите внимание, что часто пишут , а не , когда линейно. ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ ${\textstyle \Lambda (\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} )=\alpha \Lambda \mathbf {x} +\beta \Lambda \mathbf {y} }$ ${\textstyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X}$ ${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle \beta }$ ${\textstyle \Lambda \mathbf {x} }$ ${\textstyle \Lambda (\mathbf {x} )}$ ${\textstyle \Lambda }$
5. Рудин 1976, стр. 206. Отображение A векторного пространства X в векторное пространство Y называется линейным преобразованием , если: для всех и всех скаляров c . Обратите внимание, что часто пишут вместо , если A линейно. ${\textstyle A\left(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}\right)=A\mathbf {x} _{1}+A\mathbf {x} _{2},\ A(c\mathbf {x} )=cA\mathbf {x} }$ ${\textstyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\in X}$ ${\textstyle A\mathbf {x} }$ ${\textstyle A(\mathbf {x} )}$
6. Рудин 1991, стр. 14. Линейные отображения X на его скалярное поле называются линейными функционалами .
7. "терминология - Что означает 'linear' в линейной алгебре?". Mathematics Stack Exchange . Получено 2021-02-17 .
8. Виланский 2013, стр. 21–26.
9. Kubrusly 2001, стр. 57.
10. Шехтер 1996, стр. 277–280.
11. Рудин 1976, стр. 210 Предположим, что и являются базисами векторных пространств X и Y соответственно. Тогда каждый определяет набор чисел, такой что Удобно представлять эти числа в прямоугольном массиве из m строк и n столбцов, называемом матрицей m на n : Заметим, что координаты вектора (относительно базиса ) появляются в j ^-м столбце . Поэтому векторы иногда называют векторами-столбцами . С этой терминологией диапазон A охватывается векторами-столбцами . ${\textstyle \left\{\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\right\}}$ ${\textstyle \left\{\mathbf {y} _{1},\ldots ,\mathbf {y} _{m}\right\}}$ ${\textstyle A\in L(X,Y)}$ ${\textstyle a_{i,j}}$ $${\displaystyle A\mathbf {x} _{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {y} _{i}\quad (1\leq j\leq n).}$$ $${\displaystyle [A]={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\ldots &a_{m,n}\end{bmatrix}}}$$ ${\textstyle a_{i,j}}$ ${\textstyle A\mathbf {x} _{j}}$ ${\textstyle \{\mathbf {y} _{1},\ldots ,\mathbf {y} _{m}\}}$ ${\textstyle [A]}$ ${\textstyle A\mathbf {x} _{j}}$ ${\textstyle [A]}$ ${\textstyle [A]}$
12. Акслер (2015) стр. 52, § 3.3
13. Ту (2011), стр. 19, § 3.1
14. Хорн и Джонсон 2013, 0.2.3 Векторные пространства, связанные с матричным или линейным преобразованием, стр. 6
15. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 52, § 2.5.1
16. Халмош (1974) с. 90, § 50
17. Нистор, Виктор (2001) [1994], «Теория индексов», Энциклопедия математики , EMS Press: «Главный вопрос в теории индекса — предоставить формулы индекса для классов фредгольмовых операторов... Теория индекса стала самостоятельным предметом только после того, как М. Ф. Атья и И. Зингер опубликовали свои теоремы об индексе»
18. Рудин 1991, стр. 15 1.18 Теорема Пусть — линейный функционал на топологическом векторном пространстве X . Предположим для некоторого . Тогда каждое из следующих четырех свойств влечет остальные три: ${\textstyle \Lambda }$ ${\textstyle \Lambda \mathbf {x} \neq 0}$ ${\textstyle \mathbf {x} \in X}$
    1. ${\textstyle \Lambda }$является непрерывным
    2. Нулевое пространство закрыто. ${\textstyle N(\Lambda )}$
    3. ${\textstyle N(\Lambda )}$не плотно в X.
    4. ${\textstyle \Lambda }$ограничено в некоторой окрестности V нуля.

1. Говорят, что одна карта расширяет другую карту, если когда определено в точке , то также и ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(s)=f(s).}$

Библиография

• Axler, Sheldon Jay (2015). Линейная алгебра, сделанная правильно (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Бронштейн, И.Н.; Семендяев, К.А. (2004). Справочник по математике (4-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43491-7.
• Халмош, Пол Ричард (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (второе изд.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-83940-2.
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Кубрусли, Карлос (2001). Элементы теории операторов . Бостон: Birkhäuser. ISBN 978-1-4757-3328-0. OCLC  754555941.
• Ланг, Серж (1987), Линейная алгебра (третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-96412-6
• Рудин, Уолтер (1973). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 25 (первое издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 9780070542259.
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа. Студенческая серия Уолтера Рудина по высшей математике (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Springer . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.