Самосопряженный

Элемент алгебры, где x* равно x

В математике элемент *-алгебры называется самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным (т. е. ). ${\displaystyle a=a^{*}}$

Определение

Пусть — *-алгебра. Элемент называется самосопряженным, если . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a=a^{*}}$

Совокупность самосопряженных элементов называется . ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$

Подмножество , замкнутое относительно инволюции *, т.е. , называется самосопряженным. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{*}}$

Особым случаем особой важности является случай, когда – полная нормированная *-алгебра , удовлетворяющая C*-тождеству ( ), которая называется C*-алгеброй . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$

Такие элементы часто называют эрмитовыми, особенно в старой литературе по *-алгебрам и C*-алгебрам. ^[1] По этой причине даже в новейшей литературе иногда используются обозначения , или для множества самосопряженных элементов. ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{h}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}}$ ${\displaystyle H({\mathcal {A}})}$

Примеры

• Каждый положительный элемент С*-алгебры самосопряжён . ^[3]
• Для каждого элемента *-алгебры элементы и самосопряжены, поскольку * — инволютивный антиавтоморфизм . ^[4] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle aa^{*}}$ ${\displaystyle a^{*}a}$
• Для каждого элемента *-алгебры действительная и мнимая части и самосопряжены, где обозначает мнимую единицу . ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\textstyle \operatorname {Re} (a)={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$ ${\textstyle \operatorname {Im} (a)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}$ ${\displaystyle \mathrm {i} }$
• Если - нормальный элемент C*-алгебры , то для каждой действительнозначной функции , непрерывной в спектре , непрерывное функциональное исчисление определяет самосопряженный элемент . ^[5] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a)}$

Критерии

Пусть — *-алгебра. Затем: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Пусть , то самосопряжено, так как . Аналогичное вычисление дает то, что оно также является самосопряженным. ^[6] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a^{*}a}$ ${\displaystyle (a^{*}a)^{*}=a^{*}(a^{*})^{*}=a^{*}a}$ ${\displaystyle aa^{*}}$
• Пусть – произведение двух самосопряженных элементов . Тогда является самосопряженным, если и коммутировать , поскольку всегда выполняется. ^[1] ${\displaystyle a=a_{1}a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle (a_{1}a_{2})^{*}=a_{2}^{*}a_{1}^{*}=a_{2}a_{1}}$
• Если - C*-алгебра, то нормальный элемент самосопряжен тогда и только тогда, когда его спектр веществен, т. е . . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$

Характеристики

В *-алгебрах

Пусть — *-алгебра. Затем: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Каждый элемент можно однозначно разложить на действительную и мнимую части, т. е. существуют однозначно определенные элементы , так что это справедливо. Где и . ^[1] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}}$ ${\textstyle a_{1}={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$ ${\textstyle a_{2}={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}$
• Множество самосопряженных элементов является вещественным линейным подпространством в . Из предыдущего свойства следует, что является прямой суммой двух вещественных линейных подпространств, т. е . . ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{sa}\oplus \mathrm {i} {\mathcal {A}}_{sa}}$
• Если самосопряжено, то нормально . ^[1] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a}$
• *-алгебра называется эрмитовой *-алгеброй, если каждый самосопряженный элемент имеет вещественный спектр . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$

В C*-алгебрах

Пусть — C*-алгебра и . Затем: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$

• Для спектра или выполняется, поскольку действительно и справедливо для спектрального радиуса , поскольку нормально . ^[9] ${\displaystyle \left\|a\right\|\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle -\left\|a\right\|\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle r(a)=\left\|a\right\|}$ ${\displaystyle a}$
• Согласно непрерывному функциональному исчислению существуют однозначно определенные положительные элементы такие, что при . Для нормы держится. ^[10] Элементы и также называются положительными и отрицательными частями . Кроме того, справедливо для абсолютного значения, определенного для каждого элемента . ^[11] ${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$ ${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$ ${\displaystyle \left\|a\right\|=\max(\left\|a_{+}\right\|,\left\|a_{-}\right\|)}$ ${\displaystyle a_{+}}$ ${\displaystyle a_{-}}$ ${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$ ${\textstyle |a|=(a^{*}a)^{\frac {1}{2}}}$
• Для каждого и нечетного существует однозначно определенный, который удовлетворяет , т.е. уникальный корень -й степени , как можно показать с помощью непрерывного функционального исчисления. ^[12] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle b^{n}=a}$ ${\displaystyle n}$

Смотрите также

• Самосопряженная матрица
• Самосопряженный оператор

Примечания

1. Диксмье 1977, с. 4.
2. Диксмье 1977, с. 3.
3. Палмер 1977, с. 800.ошибка sfn: нет цели: CITEREFPalmer1977 ( справка )
4. Диксмье 1977, стр. 3–4.
5. Кадисон 1983, с. 271.ошибка sfn: нет цели: CITEREFKadison1983 ( справка )
6. Палмер 1977, стр. 798–800.ошибка sfn: нет цели: CITEREFPalmer1977 ( справка )
7. Палмер 1977, с. 798.ошибка sfn: нет цели: CITEREFPalmer1977 ( справка )
8. Палмер 1977, с. 1008.ошибка sfn: нет цели: CITEREFPalmer1977 ( справка )
9. Кэдисон 1983, с. 238.ошибка sfn: нет цели: CITEREFKadison1983 ( справка )
10. Кэдисон 1983, с. 246.ошибка sfn: нет цели: CITEREFKadison1983 ( справка )
11. Диксмье 1977, с. 15.
12. Блэкадар 2006, с. 63.

Рекомендации

• Блэкадар, Брюс (2006). Операторные алгебры. Теория С*-алгебр и алгебры фон Неймана . Берлин/Гейдельберг: Springer. п. 63. ИСБН 3-540-28486-9.
• Диксмье, Жак (1977). С*-алгебры . Перевод Джеллетта, Фрэнсиса. Амстердам/Нью-Йорк/Оксфорд: Северная Голландия. ISBN 0-7204-0762-1.Английский перевод Les C*-algèbres et leurs représentations (на французском языке). Готье-Виллар. 1969.
• Кэдисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1983). Основы теории операторных алгебр. Том 1. Элементарная теория . Нью-Йорк/Лондон: Академическая пресса. ISBN 0-12-393301-3.
• Палмер, Теодор В. (1994). Банаховы алгебры и общая теория*-алгебр: Том 2, *-алгебры . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36638-0.