Идентичность (математика)

Уравнение, которое удовлетворяется для всех значений переменных

Наглядное доказательство тождества Пифагора : для любого угла точка лежит на единичной окружности , которая удовлетворяет уравнению . Таким образом, . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$

В математике тождество — это равенство , связывающее одно математическое выражение A  с другим математическим выражением  B , такое, что A и B (которые могут содержать некоторые переменные ) дают одно и то же значение для всех значений переменных в определенном диапазоне допустимости. ^[1] Другими словами, A  =  B является тождеством, если A и B определяют одни и те же функции , а тождество — это равенство между функциями, которые определены по-разному. Например, и являются тождествами. ^[1] Идентичность иногда обозначается тройной чертой ≡ вместо знака равенства = . ^[2] Формально тождество — это универсально определенное равенство. ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$

Общие идентичности

Алгебраические тождества

Некоторые тождества, такие как и , составляют основу алгебры ^[3] , в то время как другие тождества, такие как и , могут быть полезны для упрощения алгебраических выражений и их расширения. ^[4] ${\displaystyle a+0=a}$ ${\displaystyle a+(-a)=0}$ ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

Тригонометрические тождества

Геометрически тригонометрические тождества — это тождества, включающие в себя определенные функции одного или нескольких углов . ^[5] Они отличаются от тождеств треугольника , которые включают в себя как углы, так и длины сторон треугольника . В этой статье рассматриваются только первые.

Эти тождества полезны всякий раз, когда необходимо упростить выражения, включающие тригонометрические функции. Еще одним важным применением является интегрирование нетригонометрических функций: распространенный метод, который включает сначала использование правила замены тригонометрической функцией , а затем упрощение полученного интеграла с помощью тригонометрического тождества.

Один из наиболее ярких примеров тригонометрических тождеств включает уравнение , верное для всех действительных значений . С другой стороны, уравнение ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \cos \theta =1}$

верно только для определенных значений , а не для всех. Например, это уравнение истинно, когда и неверно, когда . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =0,}$ ${\displaystyle \theta =2}$

Другая группа тригонометрических тождеств касается так называемых формул сложения/вычитания (например, тождество двойного угла , формула сложения для ), ^[2] которые можно использовать для разложения выражений больших углов на выражения с меньшими составляющими. ${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$ ${\displaystyle \tan(x+y)}$

Экспоненциальные тождества

Следующие тождества справедливы для всех целочисленных показателей при условии, что основание не равно нулю:

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}$

В отличие от сложения и умножения, возведение в степень не является коммутативным . Например, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 и 2 · 3 = 3 · 2 = 6 , но 2 ³ = 8 тогда как 3 ² = 9 .

Кроме того, в отличие от сложения и умножения, возведение в степень не является ассоциативным . Например, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 и (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 , но 2 ³ к 4 равно 8 ⁴ (или 4096), тогда как 2 к 3 ⁴ равно 2 ⁸¹ (или 2 417 851 639 229 258 349 412 352). Если круглые скобки не написаны, по соглашению порядок будет сверху вниз, а не снизу вверх:

${\displaystyle b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},}$   тогда как   ${\displaystyle (b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.}$

Логарифмические тождества

Несколько важных формул, иногда называемых логарифмическими тождествами или логарифмическими законами , связывают логарифмы друг с другом: ^[a]

Произведение, частное, степень и корень

Логарифм произведения — это сумма логарифмов умножаемых чисел; логарифм отношения двух чисел — это разность логарифмов. Логарифм p- й степени числа в p раз больше логарифма самого числа; логарифм корня p -й степени равен логарифму числа, разделенного на p . В следующей таблице перечислены эти личности с примерами. Каждое из тождеств может быть получено после подстановки определений логарифмов и/или в левых частях. ${\displaystyle x=b^{\log _{b}x},}$ ${\displaystyle y=b^{\log _{b}y},}$

Смена базы

Логарифм log _b ( x ) можно вычислить из логарифмов x и b по произвольному основанию k , используя следующую формулу:

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.}$

Типичные научные калькуляторы вычисляют логарифмы по основаниям 10 и e . ^[6] Логарифмы по любому основанию b можно определить, используя любой из этих двух логарифмов по предыдущей формуле:

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.}$

Учитывая число x и его логарифм log _b ( x ) по неизвестной базе b , база определяется следующим образом:

${\displaystyle b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.}$

Гиперболические функциональные тождества

Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все из которых по форме аналогичны тригонометрическим тождествам . Фактически, правило Осборна ^[7] гласит, что можно преобразовать любое тригонометрическое тождество в гиперболическое тождество, полностью разложив его с точки зрения целых степеней синусов и косинусов, заменив синус на sinh и косинус на cosh и поменяв знак каждого члена. который содержит произведение четного числа гиперболических синусов. ^[8]

Функция Гудермана дает прямую связь между тригонометрическими функциями и гиперболическими, не использующими комплексные числа .

Логика и универсальная алгебра

Формально тождество - это истинная универсально квантифицированная формула вида , где s и t - термины , не содержащие других свободных переменных, кроме префикса квантора. Префикс квантора часто остается неявным, когда утверждается, что формула является тождеством. Например, аксиомы моноида часто задаются в виде формул ${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{n}:s=t,}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}.}$ ${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle \forall x,y,z:x*(y*z)=(x*y)*z,\quad \forall x:x*1=x,\quad \forall x:1*x=x,}$

или, короче,

${\displaystyle x*(y*z)=(x*y)*z,\qquad x*1=x,\qquad 1*x=x.}$

Итак, эти формулы являются тождествами в каждом моноиде. Что касается всякого равенства, то формулы без квантора часто называют уравнениями . Другими словами, тождество — это уравнение, истинное для всех значений переменных. ^{[9] [10]}

Смотрите также

• Бухгалтерская идентичность
• Список математических тождеств

Рекомендации

Примечания

1. Все утверждения в этом разделе можно найти в Shirali 2002, раздел 4, Downing 2003, p. 275, или Кейт и Бхапкар 2009, с. Например, 1-1.

Цитаты

1. «Математические слова: идентичность». www.mathwords.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
2. «Идентичность - определение математического слова - Открытый справочник по математике» . www.mathopenref.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
3. «Основные личности». www.math.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
4. «Алгебраические тождества». www.sosmath.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
5. Стапель, Элизабет. «Тригонометрические тождества». Фиолетовая математика . Проверено 1 декабря 2019 г.
6. Бернштейн, Стивен; Бернштейн, Рут (1999), Очерк теории и проблем элементов статистики Шаума. I, Описательная статистика и вероятность , серия очерков Шаума, Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-005023-5, п. 21
7. Осборн, Г. (1 января 1902 г.). «109. Мнемоника для гиперболических формул». Математический вестник . 2 (34): 189. дои : 10.2307/3602492. JSTOR  3602492.
8. Петерсон, Джон Чарльз (2003). Техническая математика с исчислением (3-е изд.). Cengage Обучение. п. 1155. ИСБН 0-7668-6189-9., глава 26, стр. 1155
9. Нахум Дершовиц ; Жан-Пьер Жуанно (1990). «Переписать системы». Ян ван Леувен (ред.). Формальные модели и семантика . Справочник по теоретической информатике. Том. Б. Эльзевир. стр. 243–320.
10. Вольфганг Векслер (1992). Вильфрид Брауэр ; Гжегож Розенберг ; Арто Саломаа (ред.). Универсальная алгебра для компьютерщиков . Монографии EATCS по теоретической информатике. Том. 25. Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-54280-9.Здесь: Опр.1 п.3.2.1, стр.160.

Источники

• Даунинг, Дуглас (2003). Алгебра простой путь. Образовательная серия Бэрронса. ISBN 978-0-7641-1972-9.
• Кейт, СК; Бхапкар, HR (2009). Основы математики. Технические публикации. ISBN 978-81-8431-755-8.
• Ширали, С. (2002). Приключения в решении проблем. Университетская пресса. ISBN 978-81-7371-413-9.

Внешние ссылки

• Энциклопедия уравнений Онлайн-энциклопедия математических тождеств (в архиве)
• Коллекция алгебраических тождеств