stringtranslate.com

Кодомен

Функция f от X до Y. Синий овал Y область значений f . Желтый овал внутри Yизображение f , а красный овал Xобласть значений f .

В математике область значений или множество назначения функции — это множество , в которое ограничены все выходные данные функции. Это множество Y в записи f : XY . Термин диапазон иногда неоднозначно используется для обозначения области значений или образа функции.

Область значений является частью функции f, если f определяется как тройка ( X , Y , G ) , где X называется областью значений f , Y ее областью значений , а G — ее графиком . [1] Множество всех элементов формы f ( x ) , где x пробегает элементы области значений X , называется образом функции f . Образ функции является подмножеством ее области значений, поэтому он может с ней не совпадать. А именно, функция, которая не является сюръективной, имеет элементы y в своей области значений, для которых уравнение f ( x ) = y не имеет решения.

Область значений не является частью функции f, если f определяется просто как график. [2] [3] Например, в теории множеств желательно разрешить области значений функции быть собственным классом X , в этом случае формально не существует такой вещи, как тройка ( X , Y , G ) . При таком определении функции не имеют области значений, хотя некоторые авторы все еще используют ее неформально после введения функции в форме f : XY. [4 ]

Примеры

Для функции

определяется

или эквивалентно

область значений f равна , но f не отображается ни в одно отрицательное число. Таким образом, образ f — это множество ; т.е. интервал [0, ∞) .

Альтернативная функция g определяется следующим образом:

Хотя f и g отображают заданный x в одно и то же число, с этой точки зрения они не являются одной и той же функцией, поскольку имеют разные области значений. Можно определить третью функцию h , чтобы продемонстрировать, почему:

Область определения h не может быть определена как :

Композиции обозначены ​

При осмотре hf бесполезен. Верно, если не определено иное, что изображение f неизвестно; известно только, что оно является подмножеством . По этой причине возможно, что h , будучи составленным с f , может получить аргумент, для которого не определен выход — отрицательные числа не являются элементами области определения h , которая является функцией квадратного корня .

Таким образом, функциональная композиция является полезным понятием только тогда, когда область значений функции в правой части композиции (а не ее изображение , которое является следствием функции и может быть неизвестно на уровне композиции) является подмножеством области значений функции в левой части.

Область значений влияет на то, является ли функция сюръекцией , то есть функция сюръективна тогда и только тогда, когда ее область значений равна ее образу. В этом примере g является сюръекцией, а f — нет. Область значений не влияет на то, является ли функция инъекцией .

Второй пример разницы между областью значений и изображением демонстрируется линейными преобразованиями между двумя векторными пространствами — в частности, всеми линейными преобразованиями из в себя, которые могут быть представлены матрицами 2 ×2 с действительными коэффициентами. Каждая матрица представляет собой карту с областью значений и областью значений . Однако изображение является неопределенным. Некоторые преобразования могут иметь изображение, равное всей области значений (в данном случае матрицы с рангом 2 ), но многие этого не делают, вместо этого отображаясь в некоторое меньшее подпространство (матрицы с рангом 1 или 0 ). Возьмем, к примеру, матрицу T , заданную как

что представляет собой линейное преобразование, которое отображает точку ( x , y ) в ( x , x ) . Точка (2, 3) не находится в образе T , но все еще находится в кодомене, поскольку линейные преобразования из в имеют явное значение. Как и все матрицы 2×2 , T представляет собой член этого множества. Изучение различий между образом и кодоменом часто может быть полезным для обнаружения свойств рассматриваемой функции. Например, можно сделать вывод, что T не имеет полного ранга, поскольку его образ меньше всей кодомены.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Бурбаки 1970, стр. 76
  2. ^ Бурбаки 1970, стр. 77
  3. ^ Форстер 2003, стр. 10–11
  4. ^ Eccles 1997, стр. 91 (цитата 1, цитата 2); Mac Lane 1998, стр. 8; Mac Lane, в Scott & Jech 1967, стр. 232; Sharma 2004, стр. 91; Stewart & Tall 1977, стр. 89

Ссылки