Конкретная точечная топология

В математике топология частной точки ( или топология включенной точки ) — это топология , в которой множество открыто , если оно содержит конкретную точку топологического пространства . Формально, пусть X — любое непустое множество и p ∈ X. Совокупность

${\displaystyle T=\{S\subseteq X\mid p\in S\}\cup \{\emptyset \}}$

подмножеств X — это конкретная точечная топология на X. Существует множество случаев, которые имеют индивидуальные названия:

• Если X имеет две точки, то частной топологией точек на X является пространство Серпинского .
• Если X конечно (имеет не менее 3 точек), топология на X называется топологией конечной частной точки .
• Если X счетно бесконечно , то топология на X называется счетной топологией частной точки .
• Если X несчетно , то топология на X называется несчетной топологией частной точки .

Обобщением топологии частной точки является топология замкнутого расширения . В случае, когда X \ { p } имеет дискретную топологию , топология замкнутого расширения совпадает с топологией частной точки.

Эта топология используется для предоставления интересных примеров и контрпримеров.

Характеристики

Закрытые наборы имеют пустое внутреннее пространство.

При наличии непустого открытого множества каждое является предельной точкой A . Так что замыкание любого открытого множества, отличного от , есть . Никакое замкнутое множество , отличное от , не содержит p , так что внутренность каждого замкнутого множества , отличного от , есть . ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\neq p}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \emptyset }$

Свойства связности

Путь и локально связаны, но не связаны дугой

Для любых x ,  y ∈ X функция f : [0, 1] → X задается формулой

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}x&t=0\\p&t\in (0,1)\\y&t=1\end{cases}}}$

является путем. Однако, поскольку p открыто, прообраз p при непрерывной инъекции из [ 0,1 ] будет открытой единственной точкой [0,1], что является противоречием.

Точка дисперсии, пример набора с

p — точка дисперсии для X. То есть X \ { p } полностью несвязно .

Гиперсвязанный, но не ультрасвязанный

Каждое непустое открытое множество содержит p , и, следовательно, X является гиперсвязным . Но если a и b находятся в X, так что p , a и b являются тремя различными точками, то { a } и { b } являются непересекающимися замкнутыми множествами, и, таким образом, X не является ультрасвязным . Обратите внимание, что если X является пространством Серпинского, то таких a и b не существует, и X фактически является ультрасвязным.

Свойства компактности

Компактен, только если конечен. Линделёфов, только если счетен.

Если X конечно, то оно компактно ; а если X бесконечно, то оно некомпактно, поскольку семейство всех открытых множеств образует открытое покрытие без конечного подпокрытия. ${\displaystyle \{p,x\}\;(x\in X)}$

По аналогичным причинам, если X счетно, то оно является пространством Линделёфа ; а если X несчетно, то оно не является пространством Линделёфа.

Закрытие компактного некомпактного

Множество { p } компактно. Однако его замыкание (замыкание компактного множества) — это всё пространство X , и если X бесконечно, то оно некомпактно. По аналогичным причинам, если X несчетно, то мы имеем пример, когда замыкание компактного множества не является пространством Линделёфа.

Псевдокомпактный, но не слабо счетно компактный

Во-первых, не существует непересекающихся непустых открытых множеств (поскольку все открытые множества содержат p ). Следовательно, каждая непрерывная функция на действительной прямой должна быть постоянной , а значит, ограниченной, что доказывает, что X является псевдокомпактным пространством . Любое множество, не содержащее p, не имеет предельной точки, поэтому если X бесконечно, то оно не является слабо счетно компактным .

Локально компактен, но не локально относительно компактен.

Если , то множество является компактной окрестностью x . Однако замыкание этой окрестности — это все X , и, следовательно, если X бесконечно, x не имеет замкнутой компактной окрестности, и X не является локально относительно компактным . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x,p\}}$

Ограничение, связанное с

Накопительные баллы наборов

Если не содержит p , Y не имеет точки накопления (поскольку Y замкнуто в X и дискретно в топологии подпространства). ${\displaystyle Y\subseteq X}$

Если содержит p , каждая точка является точкой накопления Y , поскольку (наименьшая окрестность ) пересекает Y . Y не имеет точки ω-накопления . Обратите внимание, что p никогда не является точкой накопления какого-либо множества, поскольку она изолирована в X . ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle x\neq p}$ ${\displaystyle \{x,p\}}$ ${\displaystyle x}$

Точка накопления как набор, а не как последовательность

Возьмем последовательность различных элементов, которая также содержит p . Базовый набор имеет любой в качестве точки накопления. Однако сама последовательность не имеет точки накопления как последовательность , так как окрестность любого y не может содержать бесконечно много различных . ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle x\neq p}$ ${\displaystyle \{y,p\}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

Разделение, связанное с

Т ₀

X является T 0 (поскольку { x ,  p } открыто для каждого x ), но не удовлетворяет никаким высшим аксиомам разделения (поскольку все непустые открытые множества должны содержать p ).

Не регулярно

Поскольку каждое непустое открытое множество содержит p , никакое замкнутое множество, не содержащее p (такое как X \ { p }), не может быть отделено окрестностями от { p }, и, таким образом , X не является регулярным . Поскольку полная регулярность подразумевает регулярность, X не является полностью регулярным.

Не нормально

Поскольку каждое непустое открытое множество содержит p , никакие непустые замкнутые множества не могут быть отделены друг от друга окрестностями , и, таким образом, X не является нормальным . Исключение: топология Серпинского нормальна и даже полностью нормальна, поскольку она не содержит нетривиальных разделенных множеств.

Другие свойства

Разделимость

{ p } плотно , и, следовательно, X является сепарабельным пространством . Однако, если X несчетно , то X \ { p } не является сепарабельным. Это пример подпространства сепарабельного пространства, которое не является сепарабельным.

Исчисляемость (первая, но не вторая)

Если X неисчислимо, то X поддается счету в первую очередь , но не во вторую .

Александров-дискретный

Топология — топология Александрова . Наименьшая окрестность точки — это ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x,p\}.}$

Сравнимые (гомеоморфные топологии на одном и том же множестве, которые не являются сравнимыми)

Пусть с . Пусть и . То есть t _q — это частная точечная топология на X , где q — выделенная точка. Тогда ( X , t _p ) и ( X , t _q ) — гомеоморфные несравнимые топологии на одном и том же множестве. ${\displaystyle p,q\in X}$ ${\displaystyle p\neq q}$ ${\displaystyle t_{p}=\{S\subseteq X\mid p\in S\}}$ ${\displaystyle t_{q}=\{S\subseteq X\mid q\in S\}}$

Нет непустого плотного в себе подмножества

Пусть S — непустое подмножество X. Если S содержит p , то p изолировано в S ( так как это изолированная точка X ). Если S не содержит p , то любой x из S изолирован в S.

Не первая категория

Любое множество, содержащее p , плотно в X. Следовательно, X не является объединением нигде не плотных подмножеств .

Подпространства

Каждое подпространство множества, заданного конкретной точечной топологией, которое не содержит данную конкретную точку, имеет дискретную топологию.

Смотрите также

• топология Александрова
• Исключенная точечная топология
• Конечное топологическое пространство
• Список топологий
• Компактификация одной точки
• Топология перекрывающихся интервалов

Ссылки

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446