Определенность

Подотрасль теории множеств

Определенность — это подраздел теории множеств , раздела математики , который изучает условия, при которых тот или иной игрок в игре имеет выигрышную стратегию, и последствия существования таких стратегий. Альтернативно и аналогично, «определенность» — это свойство игры, при котором такая стратегия существует. Определенность была введена Гейлом и Стюартом в 1950 году под названием «определенность». ^[1]

Игры, изучаемые в теории множеств, обычно являются играми Гейла –Стюарта — двухпользовательскими играми с полной информацией , в которых игроки делают бесконечную последовательность ходов и нет ничьих. Область теории игр изучает более общие виды игр, включая игры с ничьими, такие как крестики-нолики , шахматы или бесконечные шахматы , или игры с неполной информацией, такие как покер .

Основные понятия

Игры

Первый вид игры, который мы рассмотрим, — это игра двух игроков с полной информацией длины ω , в которой игроки играют натуральными числами . Эти игры часто называют играми Гейла–Стюарта. ^[2]

В этой игре есть два игрока, часто называемые I и II , которые по очереди играют натуральными числами, причем I ходит первым. Они играют «вечно»; то есть их ходы индексируются натуральными числами. Когда они заканчивают, предопределенное условие решает, какой игрок выиграл. Это условие не обязательно должно быть указано каким-либо определяемым правилом ; это может быть просто произвольная (бесконечно длинная) таблица поиска, говорящая, кто выиграл, учитывая определенную последовательность ходов.

Более формально рассмотрим подмножество A пространства Бэра ; напомним, что последнее состоит из всех ω-последовательностей натуральных чисел. Тогда в игре G _A I играет натуральным числом a ₀ , затем II играет a ₁ , затем I играет a ₂ и так далее. Тогда I выигрывает игру тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \langle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots \rangle \in A}$

и в противном случае выигрывает II . Тогда A называется выигрышным множеством G _A .

Предполагается, что каждый игрок видит все ходы, предшествующие каждому его ходу, а также знает условие победы.

Стратегии

Неформально, стратегия для игрока - это способ игры, в котором его ходы полностью определяются предшествующими ходами. Опять же, такой "способ" не обязательно должен быть поддающимся описанию каким-либо объяснимым "правилом", но может быть просто таблицей поиска.

Более формально, стратегия для игрока I (для игры в смысле предыдущего подраздела) — это функция, которая принимает в качестве аргумента любую конечную последовательность натуральных чисел четной длины и возвращает натуральное число. Если σ — такая стратегия, а <a 0 ,...,a 2n-1 > _{— последовательность ходов, то} σ ( <a 0 ,...,a 2n-1 > _{) — это следующий ход, который} я сделаю, если я следую стратегии σ . Стратегии для II точно такие же, заменяя «чет» на «нечет».

Обратите внимание, что мы пока ничего не сказали о том, хороша ли стратегия в каком-либо смысле . Стратегия может заставить игрока делать агрессивно плохие ходы, и это все равно будет стратегией. На самом деле, не обязательно даже знать условие выигрыша для игры, чтобы знать, какие стратегии существуют для игры.

Выигрышные стратегии

Стратегия выигрышная, если игрок, следующий ей, обязательно должен выиграть, независимо от того, что играет его противник. Например, если σ является стратегией для I , то σ является выигрышной стратегией для I в игре G _A , если для любой последовательности натуральных чисел, которую должен сыграть II , скажем, <a 1 ,a 3 ,a 5 ,...> _{, последовательность ходов, произведенных} σ, когда II играет таким образом, а именно

${\displaystyle \langle \sigma (\langle \rangle ),a_{1},\sigma (\langle \sigma (\langle \rangle ),a_{1}\rangle ),a_{3},\ldots \rangle }$

является элементом A.

Решительные игры

(Класс) игры(игр) определяется , если для всех случаев игры существует выигрышная стратегия для одного из игроков (не обязательно одного и того же игрока для каждого случая). ^[3] Не может быть выигрышной стратегии для обоих игроков для одной и той же игры, поскольку если бы они были, то две стратегии могли бы быть сыграны друг против друга. Тогда конечный результат, по гипотезе, был бы выигрышем для обоих игроков, что невозможно. ^[4]

Определенность из элементарных соображений

Определены все конечные игры с полной информацией, в которых не происходит ничьих.

Реальные игры с полной информацией, такие как крестики-нолики , шахматы или бесконечные шахматы , всегда заканчиваются за конечное число ходов (в бесконечных шахматных играх это предполагает применение правила 50 ходов). Если такая игра модифицируется так, что определенный игрок выигрывает при любых условиях, при которых игра была бы названа ничьей, то это всегда определено. ^[4] Условие, что игра всегда заканчивается (т. е. все возможные расширения конечной позиции приводят к победе одного и того же игрока) за конечное число ходов, соответствует топологическому условию, что множество A , дающее условие выигрыша для G _A, является открыто-замкнутым в топологии пространства Бэра .

Например, изменение правил шахмат, делающее ничью выигрышной для черных, делает шахматы предопределенной игрой. ^[5] Как это часто бывает, в шахматах есть конечное число позиций и правило ничьей путем повторения, поэтому с этими измененными правилами, если игра продолжается достаточно долго без победы белых, то черные могут в конечном итоге добиться победы (из-за изменения правила ничья = победа черных).

Доказательство того, что такие игры детерминированы, довольно простое: Игрок I просто играет, чтобы не проиграть ; то есть игрок I играет, чтобы убедиться, что у игрока II нет выигрышной стратегии после хода I. Если игрок I не может этого сделать, то это значит, что у игрока II была выигрышная стратегия с самого начала. С другой стороны, если игрок I может играть таким образом, то я должен победить, потому что игра закончится через некоторое конечное число ходов, и игрок I не мог проиграть в этот момент.

Это доказательство на самом деле не требует, чтобы игра всегда заканчивалась за конечное число ходов, а только того, чтобы она заканчивалась за конечное число ходов всякий раз, когда выигрывает II . Топологически это условие заключается в том, что множество A замкнуто . Этот факт — что все закрытые игры определены — называется теоремой Гейла–Стюарта . Обратите внимание, что по симметрии все открытые игры также определены. (Игра открыта , если я могу выиграть, только выиграв за конечное число ходов.)

Определенность отЗФК

Дэвид Гейл и Ф. М. Стюарт доказали, что открытые и закрытые игры определены. Определенность для второго уровня игр иерархии Бореля была показана Вулфом в 1955 году. В течение следующих 20 лет дополнительные исследования с использованием все более сложных аргументов установили, что третий и четвертый уровни иерархии Бореля определены. ^{[ указать ]}

В 1975 году Дональд А. Мартин доказал, что все игры Бореля детерминированы; ^[6] то есть, если A — подмножество Бореля пространства Бэра, то определено G _A. Этот результат, известный как детерминированность Бореля , является наилучшим возможным результатом детерминированности, доказуемым в ZFC, в том смысле, что детерминированность следующего более высокого класса Вэджа не доказуема в ZFC.

В 1971 году, до того как Мартин получил свое доказательство, Харви Фридман показал, что любое доказательство определенности Бореля должно использовать аксиому замены существенным образом, чтобы итерировать аксиому powerset трансфинитно часто. Работа Фридмана дает поуровневый результат, подробно описывающий, сколько итераций аксиомы powerset необходимо для гарантии определенности на каждом уровне иерархии Бореля .

Для каждого целого числа n ZFC\P доказывает определенность на n- м уровне иерархии разностей множеств, но ZFC\P не доказывает, что для каждого целого числа n n- й уровень иерархии разностей множеств определен. См. обратную математику для других соотношений между определенностью и подсистемами арифметики второго порядка . ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{3}^{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{3}^{0}}$

Определенность и большие кардиналы

Существует тесная связь между определенностью и большими кардиналами . В общем, более сильные большие кардинальные аксиомы доказывают определенность больших точечных классов , расположенных выше в иерархии Вэджа , а определенность таких точечных классов, в свою очередь, доказывает существование внутренних моделей немного более слабых больших кардинальных аксиом, чем те, которые использовались для доказательства определенности точечного класса в первую очередь.

Измеримые кардиналы

Из существования измеримого кардинала следует, что каждая аналитическая игра (также называемая игрой Σ ¹ ₁ ) определена, или, что эквивалентно, каждая коаналитическая (или Π ¹ ₁ ) игра определена. ( Определения см. в разделе Проективная иерархия .)

На самом деле измеримого кардинала более чем достаточно. Более слабый принцип — существование 0 # достаточно для доказательства коаналитической определенности, и немного больше: Точный результат состоит в том, что существование 0 ^# эквивалентно определенности всех уровней иерархии разностей ниже уровня ω ² , т.е. определенности ω·n- Π ¹ ₁ для любого . ${\displaystyle n}$

Из измеримого кардинала мы можем улучшить это совсем немного до определенности ω ² - Π ¹ _1. Из существования большего количества измеримых кардиналов можно доказать определенность большего количества уровней иерархии разностей над Π ¹ ₁ .

Доказательство определенности от диезов

Для каждого действительного числа r определенность эквивалентна существованию r ^# . Чтобы проиллюстрировать , как большие кардиналы приводят к определенности, вот доказательство определенности при наличии r ^# . ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(r)}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(r)}$

Пусть A — подмножество пространства Бэра. A = p[ T ] для некоторого дерева T (построенного из r ) на (ω, ω). (То есть x∈A тогда и только тогда , когда из некоторого y есть путь через T .) ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(r)}$ ${\displaystyle ((x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...)}$

При наличии частичной игры s пусть будет поддеревом T, согласованным с s при условии max(y ₀ ,y ₁ ,...,y _len(s)-1 )<len(s). Дополнительное условие гарантирует, что является конечным. Согласованность означает, что каждый путь через имеет вид, где — начальный сегмент s . ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle ((x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i}))}$ ${\displaystyle (x_{0},x_{1},...,x_{i})}$

Чтобы доказать, что A определено, определим вспомогательную игру следующим образом:
в дополнение к обычным ходам игрок 2 должен сыграть отображение в ординалы (ниже достаточно большого ординала κ ) таким образом, что ${\displaystyle T_{s}}$

• каждый новый ход расширяет предыдущее отображение и
• порядок порядковых чисел соответствует порядку Клини–Брауэра . ${\displaystyle T_{s}}$

Напомним, что порядок Клини–Брауэра похож на лексикографический порядок, за исключением того, что если s должным образом расширяет t, то s < t . Это вполне упорядоченное дерево, если и только если оно хорошо обосновано.

Вспомогательная игра открыта. Доказательство: Если игрок 2 не проигрывает на конечном этапе, то объединение всех (которое является деревом, соответствующим игре) является обоснованным, и поэтому результат невспомогательной игры не содержится в A. ${\displaystyle T_{s}}$

Таким образом, вспомогательная игра определена. Доказательство: С помощью трансфинитной индукции для каждого ординала α вычислите множество позиций, где игрок 1 может добиться победы за α шагов, где позиция с ходом игрока 2 является проигрышной (для игрока 2) за α шагов, если и только если для каждого хода результирующая позиция является проигрышной менее чем за α шагов. Одна стратегия для игрока 1 — уменьшать α с каждой позицией (например, выбирать наименьшее α и прерывать ничьи, выбирая наименьший ход), а одна стратегия для игрока 2 — выбирать наименьший (на самом деле любой подойдет) ход, который не приводит к позиции с назначенным α. Обратите внимание, что L ( r ) содержит множество выигрышных позиций, а также выигрышные стратегии, приведенные выше.

Выигрышная стратегия для игрока 2 в исходной игре приводит к выигрышной стратегии во вспомогательной игре: Поддерево T, соответствующее выигрышной стратегии, хорошо обосновано, поэтому игрок 2 может выбирать порядковые номера на основе порядка Клини–Брауэра дерева. Кроме того, тривиально, выигрышная стратегия для игрока 2 во вспомогательной игре дает выигрышную стратегию для игрока 2 в исходной игре.

Осталось показать, что с помощью r ^# вышеупомянутая выигрышная стратегия для игрока 1 во вспомогательной игре может быть преобразована в выигрышную стратегию в исходной игре. r ^# дает правильный класс I ( L ( r ),∈, r ) неразличимых ординалов. По неразличимости, если κ и ординалы во вспомогательном ответе находятся в I , то ходы игрока 1 не зависят от вспомогательных ходов (или от κ ), и поэтому стратегия может быть преобразована в стратегию для исходной игры (поскольку игрок 2 может продержаться с неразличимыми в течение любого конечного числа шагов). Предположим, что игрок 1 проигрывает в исходной игре. Тогда дерево, соответствующее игре, является обоснованным. Следовательно, игрок 2 может выиграть вспомогательную игру, используя вспомогательные ходы, основанные на неразличимых (поскольку тип порядка неразличимых превышает порядок Клини–Брауэра дерева), что противоречит победе игрока 1 во вспомогательной игре.

Кардиналы Вудина

Если существует кардинал Вудина с измеримым кардиналом над ним, то имеет место определенность Π ¹ _2. В более общем случае, если существует n кардиналов Вудина с измеримым кардиналом над ними всеми, то имеет место определенность Π ¹ _n+1 . Из определенности Π ¹ _n+1 следует, что существует транзитивная внутренняя модель, содержащая n кардиналов Вудина.

${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$(lightface) определенность равносогласована с кардиналом Вудина. Если определенность имеет место, то для конуса Тьюринга x (то есть для каждого действительного x достаточно высокой степени Тьюринга ) L[ x ] удовлетворяет OD-определенности (то есть определенности игр на целых числах длины ω и ординально определяемом выигрыше), а в HOD ^{L[ x ]} является кардиналом Вудина. ${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}^{L[x]}}$

Проективная определенность

Если существует бесконечно много кардиналов Вудина, то проективная определенность имеет место; то есть, каждая игра, условием выигрыша которой является проективное множество, определена. Из проективной определенности следует, что для каждого натурального числа n существует транзитивная внутренняя модель, которая удовлетворяет условию, что существует n кардиналов Вудина.

Аксиома определенности

Аксиома детерминированности , или ОД , утверждает, что любая игра двух игроков с полной информацией длины ω, в которой игроки играют натуральными ставками, детерминирована.

AD доказуемо ложно из ZFC; используя аксиому выбора , можно доказать существование неопределенной игры. Однако, если существует бесконечно много кардиналов Вудина с измеримой величиной выше их всех, то L(R) является моделью ZF, которая удовлетворяет AD.

Последствия детерминированности

Свойства регулярности для множеств действительных чисел

Если A является подмножеством пространства Бэра, таким образом, что игра Банаха–Мазура для A определена, то либо у II есть выигрышная стратегия, и в этом случае A является тощим , либо у I есть выигрышная стратегия, и в этом случае A является соседом в некоторой открытой окрестности ^[1] .

Это не совсем означает, что A обладает свойством Бэра , но это близко к нему: простая модификация рассуждения показывает, что если Γ является адекватным точечным классом, таким, что каждая игра в Γ определена, то каждый набор действительных чисел в Γ обладает свойством Бэра.

На самом деле этот результат не является оптимальным; рассматривая развернутую игру Банаха–Мазура, мы можем показать, что определенность Γ (для Γ с достаточными свойствами замыкания) подразумевает, что каждый набор вещественных чисел, который является проекцией набора в Γ, обладает свойством Бэра. Так, например, существование измеримого кардинала подразумевает определенность Π ¹ ₁ , которая, в свою очередь, подразумевает, что каждый набор вещественных чисел Σ ¹ ₂ обладает свойством Бэра.

Рассматривая другие игры, мы можем показать, что определенность Π ¹ _n подразумевает, что каждое множество Σ ¹ _{n +1} действительных чисел обладает свойством Бэра, измеримо по Лебегу (фактически универсально измеримо ) и имеет свойство совершенного множества .

Теоремы периодичности

• Первая теорема о периодичности подразумевает, что для каждого натурального числа n , если выполняется определенность Δ ¹ _{2 n +1 , то} Π ¹ _{2 n +1} и Σ ¹ _{2 n +2} обладают свойством предупорядочения (и что Σ ¹ _{2 n +1} и Π ¹ _{2 n +2} не обладают свойством предупорядочения, но обладают свойством разделения ).
• Вторая теорема периодичности подразумевает, что для каждого натурального числа n , если имеет место определенность Δ ¹ _{2 n +1 , то} Π ¹ _{2 n +1} и Σ ¹ _{2 n} обладают свойством масштаба . ^[7] В частности, если имеет место проективная определенность, то каждое проективное отношение имеет проективную униформизацию .
• Третья теорема периодичности дает достаточное условие для того, чтобы в игре существовала определяемая выигрышная стратегия.

Приложения к разрешимости некоторых теорий второго порядка

В 1969 году Майкл О. Рабин доказал, что монадическая теория второго порядка n последователей ( S2S для n = 2) разрешима . ^[8] Ключевой компонент доказательства требует демонстрации определенности игр на четность , которые лежат на третьем уровне иерархии Бореля .

Определенность Вэджа

Определенность Вэджа — это утверждение, что для всех пар A , B подмножеств пространства Бэра определена игра Вэджа G( A , B ). Аналогично для точечного класса Γ , Γ определенность Вэджа — это утверждение, что для всех множеств A , B в Γ определена игра Вэджа G( A , B ).

Определенность Вэджа подразумевает полулинейный принцип упорядочения для порядка Вэджа . Другим следствием определенности Вэджа является свойство совершенного множества .

В общем случае , Γ-определенность Вэджа является следствием определенности булевых комбинаций множеств в Γ. В проективной иерархии Π ¹ _1- определенность Вэджа эквивалентна Π ¹ ₁ -определенности, как доказал Лео Харрингтон . Этот результат был расширен Хьортом, чтобы доказать, что Π ¹ _2- определенность Вэджа (и фактически полулинейный принцип упорядочения для Π ¹ ₂ ) уже влечет Π ¹ _2- определенность.

Более общие игры

Игры, в которых игровые объекты не являются натуральными числами.

Определенность игр на ординалах с ординально определимым платежом и длиной ω подразумевает, что для любого регулярного кардинала κ >ω не существует ординально определимых непересекающихся стационарных подмножеств κ, состоящих из ординалов конфинальности ω. Сила согласованности гипотезы о детерминированности неизвестна, но ожидается, что она будет очень высокой.

Игры, в которые играют надеревья

Длинные игры

Существование ω ₁ кардиналов Вудина подразумевает, что для любого счетного ординала α определены все игры на целых числах длины α и проективной выплатой. Грубо говоря, α кардиналов Вудина соответствует определенности игр на действительных числах длины α (с простым множеством выплат). Предполагая предел кардиналов Вудина κ с o( κ )= κ ⁺⁺ и ω кардиналов Вудина выше κ , определяются игры переменной счетной длины, в которых игра заканчивается, как только ее длина становится допустимой относительно линии игры, и с проективной выплатой. Предполагая, что некоторая гипотеза итеративности доказуема, существование измеримого кардинала Вудина подразумевает определенность открытых игр длины ω ₁ и проективной выплатой. (В этих играх условие выигрыша для первого игрока срабатывает на счетном этапе, поэтому выигрыш можно закодировать как набор действительных чисел.)

Относительно предела Вудина кардиналов Вудина и измеримой величины над ними, согласованно, что каждая игра на целых числах длины ω ₁ и порядково определимой выплатой определена. Предполагается, что гипотеза о детерминированности равносогласована с пределом Вудина кардиналов Вудина. ω ₁ является максимальным в том, что существуют неопределенные игры на целых числах длины ω ₁ +ω и порядково определимой выплатой.

Игры несовершенной информации

В любой интересной игре с несовершенной информацией выигрышная стратегия будет смешанной стратегией : то есть она даст некоторую вероятность различных ответов на одну и ту же ситуацию. Если оптимальные стратегии обоих игроков являются смешанными стратегиями, то результат игры не может быть определенно детерминированным (как это может быть для чистых стратегий , поскольку они являются детерминированными ). Но распределение вероятностей результатов для противостоящих смешанных стратегий может быть рассчитано. Игра, требующая смешанных стратегий, определяется как определенная , если существует стратегия, которая дает минимальное ожидаемое значение (по возможным контрстратегиям), которое превышает заданное значение. В отличие от этого определения, все конечные игры с нулевой суммой для двух игроков четко определены. Однако детерминированность бесконечных игр с несовершенной информацией (игры Блэквелла) менее ясна. ^[9]

В 1969 году Дэвид Блэквелл доказал, что некоторые «бесконечные игры с несовершенной информацией» (теперь называемые «играми Блэквелла») определены, а в 1998 году Дональд А. Мартин доказал, что обычная (игры с полной информацией) определенность для жирного точечного класса влечет определенность Блэквелла для точечного класса. Это, в сочетании с теоремой Мартина о детерминированности Бореля , означает, что все игры Блэквелла с борелевскими функциями выигрыша определены. ^{[10] [11]} Мартин предположил, что обычная определенность и определенность Блэквелла для бесконечных игр эквивалентны в сильном смысле (то есть, что определенность Блэквелла для жирного точечного класса в свою очередь влечет обычную определенность для этого точечного класса), но по состоянию на 2010 год не было доказано, что определенность Блэквелла влечет определенность игры с полной информацией. ^[12]

Квазистратегии и квазидетерминированность

Смотрите также

• ω-автомат
• Решенная игра
• Строго определенная игра
• Топологическая игра

Сноски

1. Фридман, Харви М. (2003). «Теория высших множеств и математическая практика». В Сакс, Джеральд Э. (ред.). Математическая логика в 20 веке . совместно опубликовано в World Scientific и Singapore University Press. стр. 49–81. doi :10.1142/9789812564894_0005. ISBN 978-981-02-4736-2.
2. Soare, Robert I. (2016). Вычислимость Тьюринга: теория и приложения . Springer. стр. 217 и далее. ISBN 978-3-6423-1932-7.
3. Кехрис, Александр С. (1995). Классическая описательная теория множеств. Graduate Texts in Mathematics. Т. 156. Springer-Verlag. С. 52. ISBN 978-0-387-94374-9.
4. https://www.math.uni-hamburg.de/Бесконечные игры, Юрий Хомский (2010) Бесконечные игры, Юрий Хомский (2010)
5. «Бесконечные шахматы, PBS Infinite Series» PBS Infinite Series, с источниками, включая научные статьи Дж. Хэмкинса (бесконечные шахматы:: https://arxiv.org/abs/1302.4377 и https://arxiv.org/abs/1510.08155).
6. Мартин, Дональд А. (1975). «Борелевская определенность». Annals of Mathematics . Вторая серия. 102 (2): 363–371. doi :10.2307/1971035. JSTOR  1971035.
7. "Максимум определенности". mit.edu .
8. Рабин, Майкл О. (1969). «Разрешимость теорий второго порядка и автоматов на бесконечных деревьях» (PDF) . Труды Американского математического общества . 141 : 1–35. doi :10.2307/1995086. JSTOR  1995086. Архивировано из оригинала (PDF) 1 мая 2016 г.
9. Vervoort, MR (1996), "Blackwell games" (PDF) , Статистика, вероятность и теория игр , Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series, т. 30, стр. 369–390, doi : 10.1214/lnms/1215453583 , ISBN 978-0-940600-42-3
10. Мартин, ДА (декабрь 1998 г.). «Определенность игр Блэквелла». Журнал символической логики . 63 (4): 1565–1581. doi :10.2307/2586667. JSTOR  2586667. S2CID  42107522.
11. Шмая, Э. (2011). «Определенность бесконечных игр с возможным идеальным мониторингом». Proc. Amer. Math. Soc . 30 (10): 3665–3678. arXiv : 0902.2254 . Bibcode :2009arXiv0902.2254S. doi :10.1090/S0002-9939-2011-10987-0. S2CID  14647957.
12. Löwe, Benedikt (2005). "Теория множеств бесконечных несовершенных информационных игр". В Andretta, Alessandro (ред.). Теория множеств: последние тенденции и приложения . Roma: Aracne Ed. стр. 137–181. ISBN  978-88-548-0982-6.

1. ^ Это предполагает, что I пытается сделать пересечение сыгранных окрестностей синглтоном, уникальным элементом которого является элемент A. Некоторые авторы вместо этого делают это целью для игрока II ; такое использование требует соответствующей модификации приведенных выше замечаний.

Ссылки

• Гейл, Дэвид ; Стюарт, FM (1953). «Бесконечные игры с полной информацией». В Kuhn, Гарольд Уильям; Такер, Альберт Уильям (ред.). Вклад в теорию игр . Annals of Mathematics Studies. Том 28. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. С. 245–266. ISBN 978-0-691-07935-6.
• Харрингтон, Лео (январь 1978). «Аналитическая определенность и 0#». Журнал символической логики . 43 (4): 685–693. doi :10.2307/2273508. JSTOR  2273508. S2CID  46061318.
• Хьорт, Грег (январь 1996 г.). «Π12 степеней Вэджа». Annals of Pure and Applied Logic . 77 : 53–74. doi : 10.1016/0168-0072(95)00011-9 .
• Jech, Thomas (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и расширенное) . Springer. ISBN 978-3-540-44085-7.
• Мартин, Дональд А. (1975). «Определенность Бореля». Annals of Mathematics . Вторая серия. 102 (2): 363–371. doi :10.2307/1971035. JSTOR  1971035.
• Мартин, Дональд А. и Джон Р. Стил (январь 1989 г.). «Доказательство проективной определенности». Журнал Американского математического общества . 2 (1): 71–125. doi : 10.2307/1990913 . JSTOR  1990913.
• Мошовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств . Северная Голландия. ISBN 978-0-444-70199-2.
• Woodin, W. Hugh (1988). «Суперкомпактные кардиналы, множества вещественных чисел и слабооднородные деревья». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 85 (18): 6587–6591. Bibcode :1988PNAS...85.6587W. doi : 10.1073/pnas.85.18.6587 . PMC  282022 . PMID  16593979.
• Мартин, Дональд А. (2003). «Простое доказательство того, что определенность подразумевает измеримость по Лебегу». Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino . 61 (4): 393–399. (PDF-файл)
• Вулф, П. (1955). «Строгая определенность некоторых бесконечных игр». Pacific J. Math . 5 (5): Приложение I:841–847. doi : 10.2140/pjm.1955.5.841 .

Внешние ссылки

• «Большие кардиналы и детерминированность» в Стэнфордской энциклопедии философии