определитель Гурвица

В математике определители Гурвица были введены Адольфом Гурвицем  (1895), который использовал их для того, чтобы дать критерий того, что все корни многочлена имеют отрицательную действительную часть.

Определение

Рассмотрим характеристический многочлен P по переменной λ вида:

${\displaystyle P(\lambda )=a_{0}\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_{n}}$

где , , являются действительными. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n}$

Квадратная матрица Гурвица, связанная с P, приведена ниже:

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

i- й определитель Гурвица — это i- й ведущий главный минор (минор — это определитель) указанной выше матрицы Гурвица  H. Для характеристического многочлена степени  n имеется n определителей Гурвица .

Смотрите также

• Матрица переноса

Ссылки

• Гурвиц, А. (1895), «Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negnetn reellen Theilen besitzt», Mathematische Annalen , 46 (2): 273–284, doi : 10.1007/BF01446812, S2CID  121036103
• Уолл, Х.С. (1945), «Многочлены, нули которых имеют отрицательные действительные части», The American Mathematical Monthly , 52 (6): 308–322, doi : 10.1080/00029890.1945.11991574, ISSN  0002-9890, JSTOR  2305291, MR  0012709