Личность Вайнштейна – Ароншайна

Для двух подходящих матриц A и B I+AB и I+BA имеют один и тот же определитель.

В математике тождество Вайнштейна -Ароншайна гласит, что если и являются матрицами размера m × n и n × m соответственно (любая из которых или обе могут быть бесконечными), то при условии (и, следовательно, также ) имеет ядерный класс , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BA}$

${\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det(I_{n}+BA),}$

где – единичная матрица размера k × k . ${\displaystyle I_{k}}$

Она тесно связана с леммой об определителе матрицы и ее обобщением. Это детерминантный аналог матричного тождества Вудбери для обратных матриц.

Доказательство

Тождество можно доказать следующим образом. ^[1] Пусть – матрица, состоящая из четырех блоков , , и : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I_{m}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I_{n}}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}.}$

Поскольку I _m обратимо , формула для определителя блочной матрицы дает

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{m})\det \left(I_{n}-BI_{m}^{-1}A\right)=\det(I_{n}-BA).}$

Поскольку I _n обратимо, формула для определителя блочной матрицы дает

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{n})\det \left(I_{m}-AI_{n}^{-1}B\right)=\det(I_{m}-AB).}$

Таким образом

${\displaystyle \det(I_{n}-BA)=\det(I_{m}-AB).}$

Замена then дает тождество Вайнштейна – Ароншайна. ${\displaystyle -A}$ ${\displaystyle A}$

Приложения

Позволять . Тождество можно использовать, чтобы показать несколько более общее утверждение, что ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle \det(AB-\lambda I_{m})=(-\lambda )^{m-n}\det(BA-\lambda I_{n}).}$

Отсюда следует, что ненулевые собственные значения и совпадают . ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BA}$

Это тождество полезно при разработке байесовской оценки для многомерных гауссовских распределений .

Тождество также находит применение в теории случайных матриц , связывая определители больших матриц с определителями меньших. ^[2]

Рекомендации

1. Позрикидис, К. (2014), Введение в сетки, графики и сети, Oxford University Press, стр. 271, ISBN 9780199996735
2. «Мезоскопическая структура собственных значений GUE | Что нового» . Terrytao.wordpress.com . Проверено 16 января 2016 г.