В прикладной статистике оптимальной оценкой является метод обратной регуляризованной матрицы, основанный на теореме Байеса . Он очень часто используется в науках о Земле , в частности, для зондирования атмосферы . Обратная задача матрицы выглядит следующим образом:
Основная концепция заключается в преобразовании матрицы A в условную вероятность , а переменных — в распределения вероятностей, предполагая гауссовскую статистику и используя эмпирически определенные ковариационные матрицы.
Вывод
Обычно ожидается, что статистика большинства измерений будет гауссовой . Так, например , для мы можем написать:
где m и n — это количество элементов в и соответственно — это матрица, которую нужно решить (линейная или линеаризованная прямая модель), а — ковариационная матрица вектора . Это можно сделать аналогичным образом для :
Здесь принимается так называемое «априорное» распределение: обозначает априорные значения для , а — его ковариационная матрица.
Прелесть гауссовых распределений в том, что для их описания нужны только два параметра, и поэтому всю задачу можно снова преобразовать в матрицы. Предположим, что это принимает следующий вид:
можно пренебречь, поскольку для заданного значения это просто постоянный член масштабирования. Теперь можно решить как для ожидаемого значения , , так и для его ковариационной матрицы, приравняв и . Это дает следующие уравнения:
Поскольку мы используем гауссовы функции, ожидаемое значение эквивалентно максимально вероятному значению, и поэтому это также является формой оценки максимального правдоподобия .
Обычно при оптимальной оценке, в дополнение к вектору извлеченных величин, возвращается одна дополнительная матрица вместе с матрицей ковариации. Иногда ее называют матрицей разрешения или ядром усреднения и она вычисляется следующим образом:
Это говорит нам, для данного элемента извлеченного вектора, сколько других элементов вектора смешано. В случае извлечения информации о профиле, это обычно указывает на разрешение высоты для данной высоты. Например, если векторы разрешения для всех высот содержат ненулевые элементы (с численным допуском) в своих четырех ближайших соседях, то разрешение высоты составляет всего одну четвертую от фактического размера сетки.
Ссылки
- Клайв Д. Роджерс (1976). «Получение температуры и состава атмосферы по дистанционным измерениям теплового излучения». Обзоры геофизики и космической физики . 14 (4): 609. doi :10.1029/RG014i004p00609.
- Клайв Д. Роджерс (2000). Обратные методы зондирования атмосферы: теория и практика . World Scientific.
- Клайв Д. Роджерс (2002). «Дистанционное зондирование атмосферы: обратная задача». Труды Четвертой весенней школы Оксфорда/RAL по количественному наблюдению за Землей . Оксфордский университет.
![{\displaystyle P({\vec {y}}|{\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi)^{mn/2}|{\boldsymbol {S_ {y}} }|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}({\boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})\right ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f191f37ccb7c58571658ce7baa6aa772b8d300)
![{\displaystyle P({\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{m/2}|{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x_{a}}})^{T}{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x_{a}}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b771725bb9ca3d58a99621e5561eef14d9bfbe99)
![{\displaystyle P({\vec {x}}|{\vec {y}})={\frac {1}{(2\pi )^{mn/2}|{\boldsymbol {S_{x}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x}})^{T}{\boldsymbol {S_{x}}}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51116a3995d5c9920e45ccdabae128f8c9c6e67a)
