Оптимальное решение

Решение, которое приводит к наилучшему результату в теории принятия решений

Оптимальное решение — это решение, которое приводит как минимум к такому же хорошему известному или ожидаемому результату, как и все другие доступные варианты решения. Это важное понятие в теории принятия решений . Чтобы сравнить различные результаты решений, обычно каждому из них присваивается значение полезности .

Если существует неопределенность относительно того, каким будет результат, но есть знание о распределении неопределенности, то согласно аксиомам фон Неймана-Моргенштерна оптимальное решение максимизирует ожидаемую полезность ( среднее значение полезности, взвешенное по вероятности, по всем возможным результатам решения). ). Иногда рассматривается эквивалентная задача минимизации ожидаемой величины потерь , где потеря равна (–1)-кратной полезности. Другая аналогичная проблема – минимизация ожидаемого сожаления .

«Полезность» — это всего лишь произвольный термин для количественной оценки желательности конкретного результата решения, который не обязательно связан с «полезностью». Например, для кого-то вполне может быть оптимальным решением купить спортивный автомобиль, а не универсал, если результат по другому критерию (например, влияние на личный имидж) является более желательным, даже с учетом более высокой стоимости и отсутствия универсальности спортивного автомобиля.

Проблема поиска оптимального решения является задачей математической оптимизации . На практике лишь немногие люди проверяют, являются ли их решения оптимальными, а вместо этого используют эвристику для принятия «достаточно хороших» решений, то есть они занимаются удовлетворением .

Более формальный подход может использоваться, когда решение достаточно важно, чтобы мотивировать время, необходимое для его анализа, или когда его слишком сложно решить с помощью более простых интуитивных подходов, таких как множество доступных вариантов решения и сложная взаимосвязь между решением и результатом. .

Формальное математическое описание

Каждое решение в наборе доступных вариантов решения приведет к определенному результату . Все возможные исходы образуют множество . Приписывая полезность каждому результату, мы можем определить полезность конкретного решения как ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle o=f(d)}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle U_{O}(o)}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle U_{D}(d)\ =\ U_{O}(f(d)).\,}$

Затем мы можем определить оптимальное решение как решение, которое максимизирует  : ${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }}$ ${\displaystyle U_{D}(d)}$

${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}U_{D}(d).\,}$

Таким образом, решение проблемы можно разделить на три этапа:

1. прогнозирование результата каждого решения ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle d;}$
2. присвоение полезности каждому результату ${\displaystyle U_{O}(o)}$ ${\displaystyle o;}$
3. найти решение , которое максимизирует ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle U_{D}(d).}$

В условиях неопределенности в результате

В случае, когда невозможно с уверенностью предсказать, каким будет результат того или иного решения, необходим вероятностный подход. В самом общем виде это можно выразить следующим образом:

Приняв решение , мы знаем распределение вероятностей возможных результатов, описываемое условной плотностью вероятности . Рассматривая случайную величину (при условии ), мы можем рассчитать ожидаемую полезность решения как ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p(o|d)}$ ${\displaystyle U_{D}(d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\text{E}}U_{D}(d)=\int {p(o|d)U(o)do}\,}$ ,

где интеграл берется по всему множеству (ДеГрут, стр. 121). ${\displaystyle O}$

Оптимальным решением является решение, которое максимизирует , как указано выше: ${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }}$ ${\displaystyle {\text{E}}U_{D}(d)}$

${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}{\text{E}}U_{D}(d).\,}$

Примером может служить задача Монти Холла .

Смотрите также

• Принятие решений
• Программное обеспечение для принятия решений
• Двухальтернативный вынужденный выбор

Рекомендации

• Моррис ДеГрут Оптимальные статистические решения . МакГроу-Хилл. Нью-Йорк. 1970. ISBN  0-07-016242-5 .
• Джеймс О. Бергер Статистическая теория принятия решений и байесовский анализ . Второе издание. 1980. Серия Springer по статистике. ISBN 0-387-96098-8 .