Оптимизация топологии

Математический метод оптимизации размещения материалов в заданных условиях

Оптимизация топологии — это математический метод, который оптимизирует размещение материалов в заданном пространстве проектирования для заданного набора нагрузок , граничных условий и ограничений с целью максимизации производительности системы. Оптимизация топологии отличается от оптимизации формы и оптимизации размеров в том смысле, что проект может достичь любой формы в пространстве проектирования, вместо того, чтобы иметь дело с предопределенными конфигурациями.

Традиционная формулировка оптимизации топологии использует метод конечных элементов (FEM) для оценки производительности конструкции. Конструкция оптимизируется с использованием либо градиентных методов математического программирования , таких как алгоритм критериев оптимальности и метод движущихся асимптот , либо неградиентных алгоритмов, таких как генетические алгоритмы .

Оптимизация топологии имеет широкий спектр применения в аэрокосмической, машиностроительной, биохимической и гражданской инженерии. В настоящее время инженеры в основном используют оптимизацию топологии на уровне концепции процесса проектирования . Из-за свободных форм, которые возникают естественным образом, результат часто бывает трудно изготовить. По этой причине результат, возникающий в результате оптимизации топологии, часто дорабатывается для технологичности. Добавление ограничений в формулу с целью повышения технологичности является активной областью исследований. В некоторых случаях результаты оптимизации топологии могут быть непосредственно изготовлены с использованием аддитивного производства ; таким образом, оптимизация топологии является ключевой частью проектирования для аддитивного производства .

Постановка проблемы

Задачу оптимизации топологии можно записать в общем виде задачи оптимизации как:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {\rho }{\operatorname {minimize} }}&&F=F(\mathbf {u(\rho ),\rho } )=\int _{\Omega }f(\mathbf {u(\rho ),\rho } )\mathrm {d} V\\&\operatorname {subject\;to} &&G_{0}(\rho )=\int _{\Omega }\rho \mathrm {d} V-V_{0}\leq 0\\&&&G_{j}(\mathbf {u} (\rho ),\rho )\leq 0{\text{ with }}j=1,...,m\end{aligned}}}$

Постановка задачи включает в себя следующее:

• Целевая функция . Эта функция представляет собой величину, которая минимизируется для лучшей производительности. Наиболее распространенной целевой функцией является податливость, где минимизация податливости приводит к максимизации жесткости конструкции. ${\displaystyle F(\mathbf {u(\rho ),\rho } )}$
• Распределение материала как проблемная переменная. Это описывается плотностью материала в каждом месте . Материал либо присутствует, обозначено 1, либо отсутствует, обозначено 0. — это поле состояния, которое удовлетворяет линейному или нелинейному уравнению состояния в зависимости от . ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} (\mathbf {\rho } )}$ ${\displaystyle \rho }$
• Пространство проектирования . Это указывает допустимый объем, в котором может существовать проект. Требования к сборке и упаковке, доступность для человека и инструмента — вот некоторые из факторов, которые необходимо учитывать при определении этого пространства. При определении пространства проектирования области или компоненты в модели, которые не могут быть изменены в ходе оптимизации, считаются непроектными областями. ${\displaystyle (\Omega )}$
• ${\displaystyle \scriptstyle m}$ ограничения характеристика, которой должно удовлетворять решение. Примерами являются максимальное количество материала, которое должно быть распределено (ограничение объема) или максимальные значения напряжения. ${\displaystyle G_{j}(\mathbf {u} (\rho ),\rho )\leq 0}$

Оценка часто включает решение дифференциального уравнения. Чаще всего это делается с помощью метода конечных элементов, поскольку эти уравнения не имеют известного аналитического решения. ${\displaystyle \mathbf {u(\rho )} }$

Методологии внедрения

Существуют различные методологии реализации, которые используются для решения задач оптимизации топологии.

Решение с дискретными/бинарными переменными

Решение задач оптимизации топологии в дискретном смысле выполняется путем дискретизации области проектирования на конечные элементы. Плотности материалов внутри этих элементов затем рассматриваются как переменные проблемы. В этом случае плотность материала, равная единице, указывает на наличие материала, а ноль указывает на отсутствие материала. Из-за того, что достижимая топологическая сложность конструкции зависит от количества элементов, предпочтительнее большое количество. Большое количество конечных элементов увеличивает достижимую топологическую сложность, но имеет свою цену. Во-первых, решение системы FEM становится более дорогим. Во-вторых, алгоритмы, которые могут обрабатывать большое количество (нередко несколько тысяч элементов) дискретных переменных с множественными ограничениями, недоступны. Более того, они непрактично чувствительны к изменениям параметров. ^[1] В литературе сообщалось о задачах с количеством переменных до 30000. ^[2]

Решение задачи с непрерывными переменными

Ранее заявленные сложности с решением задач оптимизации топологии с использованием двоичных переменных заставили сообщество искать другие варианты. Одним из них является моделирование плотностей с непрерывными переменными. Плотности материалов теперь также могут достигать значений от нуля до единицы. Доступны основанные на градиенте алгоритмы, которые обрабатывают большое количество непрерывных переменных и множественные ограничения. Но свойства материалов должны моделироваться в непрерывной обстановке. Это делается с помощью интерполяции. Одной из наиболее реализованных методологий интерполяции является метод твердого изотропного материала со штрафованием (SIMP). ^{[3] [4]} Эта интерполяция по сути является степенным законом . Она интерполирует модуль Юнга материала в скалярное поле выбора. Значение параметра штрафования обычно берется между . Было показано, что это подтверждает микроструктуру материалов. ^[5] В методе SIMP добавляется нижняя граница модуля Юнга, , чтобы убедиться, что производные целевой функции не равны нулю, когда плотность становится нулевой. Чем выше фактор штрафования, тем больше SIMP штрафует алгоритм при использовании недвоичных плотностей. К сожалению, параметр штрафования также вносит невыпуклости. ^[6] ${\displaystyle E\;=\;E_{0}\,+\,\rho ^{p}(E_{1}-E_{0})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,\,3]}$ ${\displaystyle E_{0}}$

Коммерческое программное обеспечение

На рынке есть несколько коммерческих программ для оптимизации топологии. Большинство из них используют оптимизацию топологии как подсказку о том, как должна выглядеть оптимальная конструкция, и требуется ручная реконструкция геометрии. Есть несколько решений, которые производят оптимальные конструкции, готовые для аддитивного производства.

Примеры

В этом результате показаны образцы шахматной доски.

Результат оптимизации топологии при использовании фильтрации

Оптимизация топологии проблемы соответствия

Структурное соответствие

Жесткая структура — это структура, которая имеет наименьшее возможное смещение при заданном наборе граничных условий. Глобальной мерой смещений является энергия деформации (также называемая податливостью ) структуры при заданных граничных условиях. Чем ниже энергия деформации, тем выше жесткость структуры. Таким образом, целевая функция задачи — минимизировать энергию деформации.

На широком уровне можно визуализировать, что чем больше материала, тем меньше прогиб, поскольку будет больше материала для сопротивления нагрузкам. Таким образом, оптимизация требует противодействующего ограничения, ограничения объема. Это на самом деле фактор стоимости, так как мы не хотели бы тратить много денег на материал. Чтобы получить общий используемый материал, можно выполнить интеграцию поля выбора по объему.

Наконец, дифференциальные уравнения, определяющие упругость, подставляются таким образом, чтобы получить окончательную постановку задачи.

${\displaystyle \min _{\rho }\;\int _{\Omega }{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } :\mathbf {\varepsilon } \,\mathrm {d} \Omega }$

при условии:

• ${\displaystyle \rho \,\in \,[0,\,1]}$
• ${\displaystyle \int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} \Omega \;\leq \;V^{*}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\sigma } \,+\,\mathbf {F} \;=\;{\mathbf {0} }}$
• ${\displaystyle \mathbf {\sigma } \;=\;{\mathsf {C}}:\mathbf {\varepsilon } }$

Однако прямое решение такой задачи в рамках метода конечных элементов все еще невозможно из-за таких проблем, как:

1. Зависимость от сетки — Зависимость от сетки означает, что дизайн, полученный на одной сетке, не является тем, который будет получен на другой сетке. Особенности дизайна становятся более сложными по мере уточнения сетки. ^[7]
2. Числовые нестабильности — Выбор области в виде шахматной доски. ^[8]

Некоторые методы, такие как фильтрация на основе обработки изображений ^[9] , в настоящее время используются для смягчения некоторых из этих проблем. Хотя долгое время казалось, что это был чисто эвристический подход, были сделаны теоретические связи с нелокальной упругостью для поддержки физического смысла этих методов. ^[10]

Мультифизические проблемы

Взаимодействие жидкости и структуры

Взаимодействие жидкости и конструкции является сильно связанным явлением и касается взаимодействия между неподвижной или движущейся жидкостью и упругой конструкцией. Многие инженерные приложения и природные явления подвержены взаимодействию жидкости и конструкции, и поэтому учет таких эффектов имеет решающее значение при проектировании многих инженерных приложений. Оптимизация топологии для проблем взаимодействия жидкости и конструкции изучалась, например, в ^{[11] [12] [13]} и. ^[14] Проектные решения, решенные для различных чисел Рейнольдса, показаны ниже. Проектные решения зависят от потока жидкости, что указывает на то, что связь между жидкостью и конструкцией решается в проектных задачах.

Проектные решения для различных чисел Рейнольдса для стенки, вставленной в канал с движущейся жидкостью.

Эскиз известной проблемы стены. Целью проблемы проектирования является минимизация структурной податливости.

Эволюция дизайна для проблемы взаимодействия жидкости и конструкции из ссылки. ^[14] Целью проблемы дизайна является минимизация структурной податливости. Проблема взаимодействия жидкости и конструкции моделируется с помощью уравнений Навье-Коши и Навье-Стокса.

Термоэлектрическое преобразование энергии

Эскиз проблемы проектирования. Целью проблемы проектирования является пространственное распределение двух материалов, Материала А и Материала В, для максимизации показателя производительности, например, мощности охлаждения или выходной электрической мощности.

Эволюция дизайна недиагонального термоэлектрического генератора. Проектное решение задачи оптимизации, решенной для выходной электрической мощности. Производительность устройства была оптимизирована путем распределения скуттерудита (желтый) и теллурида висмута (синий) с использованием методологии оптимизации топологии на основе плотности. Целью задачи оптимизации является максимизация выходной электрической мощности термоэлектрического генератора.

Эволюция дизайна термоэлектрического охладителя. Целью проблемы проектирования является максимизация охлаждающей способности термоэлектрического охладителя.

Термоэлектричество — это многофизическая проблема, которая касается взаимодействия и связи между электрической и тепловой энергией в полупроводниковых материалах. Термоэлектрическое преобразование энергии можно описать двумя отдельно идентифицированными эффектами: эффектом Зеебека и эффектом Пельтье. Эффект Зеебека касается преобразования тепловой энергии в электрическую энергию, а эффект Пельтье касается преобразования электрической энергии в тепловую энергию. ^[15] Пространственно распределяя два термоэлектрических материала в двумерном пространстве проектирования с помощью методологии оптимизации топологии, ^[16] можно превзойти производительность основных термоэлектрических материалов для термоэлектрических охладителей и термоэлектрических генераторов . ^[17]

Форма 3F3D следует силовой 3D-печати

Текущее распространение технологии 3D-принтеров позволило дизайнерам и инженерам использовать методы оптимизации топологии при проектировании новых продуктов. Оптимизация топологии в сочетании с 3D-печатью может привести к снижению веса, улучшению структурных характеристик и сокращению цикла проектирования и производства. Поскольку проекты, хотя и эффективны, могут быть нереализуемы с использованием более традиционных методов производства. ^{[ необходима цитата ]}

Внутренний контакт

Внутренний контакт может быть включен в оптимизацию топологии путем применения метода третьего среднего контакта . ^{[18] [19] [20]} Метод третьего среднего контакта (TMC) представляет собой неявную формулировку контакта, которая является непрерывной и дифференцируемой. Это делает TMC подходящим для использования с подходами на основе градиента для оптимизации топологии.

Разработка конструкции и деформация самозацепляющихся крючков, полученных в результате топологической оптимизации контактной задачи с использованием метода ТМК ^[18] .

Ссылки

1. Зигмунд, Оле; Мауте, Курт (2013). «Подходы к оптимизации топологии». Структурная и многопрофильная оптимизация . 48 (6): 1031–1055. doi :10.1007/s00158-013-0978-6. S2CID  124426387.
2. Беккерс, М. (1999). «Оптимизация топологии с использованием двойственного метода с дискретными переменными» (PDF) . Структурная оптимизация . 17 : 14–24. doi :10.1007/BF01197709. S2CID  122845784.
3. Бендсё, МП (1989). «Оптимальное проектирование формы как проблема распределения материалов». Structural Optimization . 1 (4): 193–202. doi :10.1007/BF01650949. S2CID  18253872.
4. [1], монография по теме.
5. Бендсё, М. П.; Зигмунд, О. (1999). "Схемы интерполяции материалов в оптимизации топологии" (PDF) . Архив прикладной механики . 69 (9–10): 635–654. Bibcode :1999AAM....69..635B. doi :10.1007/s004190050248. S2CID  11368603.
6. ван Дейк, Н. П. Лангелаар, М. ван Кейлен, Ф. Критическое исследование параметризации дизайна в оптимизации топологии; Влияние параметризации дизайна на локальные минимумы. 2-я Международная конференция по инженерной оптимизации, 2010 г.
7. Алер, Грегуар; Анро, Антуан (май 2001 г.). «О некоторых последних достижениях в оптимизации формы». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . Серия IIB - Механика. 329 (5). Эльзевир: 383–396. Бибкод : 2001CRASB.329..383A. дои : 10.1016/S1620-7742(01)01349-6. ISSN  1620-7742 . Проверено 12 сентября 2021 г.
8. Шукла, Авинаш; Мисра, Анади; Кумар, Сунил (сентябрь 2013 г.). «Проблема шахматной доски в оптимизации топологии на основе конечных элементов». International Journal of Advances in Engineering & Technology . 6 (4). CiteSeer: 1769–1774. CiteSeerX 10.1.1.670.6771 . ISSN  2231-1963 . Получено 14.02.2022 . 
9. Бурден, Блез (2001-03-30). «Фильтры в оптимизации топологии». Международный журнал численных методов в машиностроении . 50 (9). Wiley: 2143–2158. Bibcode : 2001IJNME..50.2143B. doi : 10.1002/nme.116. ISSN  1097-0207. S2CID  38860291. Получено 2020-08-02 .
10. Sigmund, Ole; Maute, Kurt (октябрь 2012 г.). «Фильтрация чувствительности с точки зрения механики сплошной среды». Structural and Multidisciplinary Optimization . 46 (4). Springer: 471–475. doi :10.1007/s00158-012-0814-4. ISSN  1615-1488. S2CID  253680268. Получено 17 июня 2021 г.
11. Юн, Гил Хо (2010). «Оптимизация топологии для задач взаимодействия стационарной жидкости и конструкции с использованием новой монолитной формулировки». Международный журнал численных методов в машиностроении . 82 (5): 591–616. Bibcode : 2010IJNME..82..591Y. doi : 10.1002/nme.2777. S2CID  122993997.
12. Picelli, R.; Vicente, WM; Pavanello, R. (2017). «Оптимизация эволюционной топологии для минимизации структурной податливости с учетом нагрузок FSI, зависящих от конструкции». Конечные элементы в анализе и проектировании . 135 : 44–55. doi :10.1016/j.finel.2017.07.005.
13. Дженкинс, Николас; Мауте, Курт (2016). «Подход с погруженной границей для оптимизации формы и топологии стационарных задач взаимодействия жидкости и конструкции». Structural and Multidisciplinary Optimization . 54 (5): 1191–1208. doi :10.1007/s00158-016-1467-5. S2CID  124632210.
14. Lundgaard, Christian; Alexandersen, Joe; Zhou, Mingdong; Andreasen, Casper Schousboe; Sigmund, Ole (2018). «Пересмотр оптимизации топологии на основе плотности для задач взаимодействия жидкости и конструкции» (PDF) . Structural and Multidisciplinary Optimization . 58 (3): 969–995. doi :10.1007/s00158-018-1940-4. S2CID  125798826.
15. Роу, Дэвид Майкл. Справочник по термоэлектричеству: от макро до нано. CRC press, 2005.
16. Лундгаард, Кристиан; Зигмунд, Оле (2018). «Методология оптимизации топологии на основе плотности для задач термоэлектрического преобразования энергии» (PDF) . Структурная и многопрофильная оптимизация . 57 (4): 1427–1442. doi :10.1007/s00158-018-1919-1. S2CID  126031362.
17. Лундгаард, Кристиан; Зигмунд, Оле; Бьорк, Расмус (2018). «Оптимизация топологии сегментированных термоэлектрических генераторов». Журнал электронных материалов . 47 (12): 6959–6971. Bibcode : 2018JEMat..47.6959L. doi : 10.1007/s11664-018-6606-x. S2CID  105113187.
18. Frederiksen, Andreas Henrik; Sigmund, Ole; Poulios, Konstantinos (2023-10-07). "Оптимизация топологии самоконтактирующих структур". Computational Mechanics . 73 (4): 967–981. arXiv : 2305.06750 . Bibcode :2023CompM..73..967F. doi :10.1007/s00466-023-02396-7. ISSN  1432-0924.
19. Bluhm, Gore Lukas; Sigmund, Ole; Poulios, Konstantinos (2021-03-04). «Моделирование внутренних контактов для оптимизации топологии конечных деформаций». Computational Mechanics . 67 (4): 1099–1114. arXiv : 2010.14277 . Bibcode : 2021CompM..67.1099B. doi : 10.1007/s00466-021-01974-x. ISSN  0178-7675. S2CID  225076340.
20. Wriggers, P.; Schröder, J.; Schwarz, A. (2013-03-30). «Метод конечных элементов для контакта с использованием третьей среды». Computational Mechanics . 52 (4): 837–847. Bibcode : 2013CompM..52..837W. doi : 10.1007/s00466-013-0848-5. ISSN  0178-7675. S2CID  254032357.

Дальнейшее чтение

• Pedersen, Claus BW; Allinger, Peter (2006). "Промышленное внедрение и применение топологической оптимизации и будущие потребности". Симпозиум IUTAM по топологической оптимизации проектирования конструкций, машин и материалов . Механика твердого тела и ее применение. Том 137. Springer. С. 229–238. doi :10.1007/1-4020-4752-5_23. ISBN 978-1-4020-4729-9.
• Шрамм, Уве; Чжоу, Мин (2006). «Последние разработки в коммерческой реализации оптимизации топологии». Симпозиум IUTAM по оптимизации топологического проектирования конструкций, машин и материалов . Механика твердого тела и ее приложения. Том 137. Springer. С. 239–248. doi :10.1007/1-4020-4752-5_24. ISBN 978-1-4020-4729-9.
• Махдави, А.; Баладжи, Р.; Фрекер, М.; Мокенштурм, Э.М. (2006). «Оптимизация топологии двумерных континуумов для минимального соответствия с использованием параллельных вычислений». Структурная и многопрофильная оптимизация . 32 (2): 121–132. doi :10.1007/s00158-006-0006-1. S2CID  61564700.
• Лейва, Хуан; Уотсон, Брайан; Косака, Ику (1999). «Современные концепции структурной оптимизации, применяемые к оптимизации топологии». 40-я конференция и выставка по конструкциям, структурной динамике и материалам . Американский институт аэронавтики и астронавтики. doi :10.2514/6.1999-1388.

Внешние ссылки

• Анимации оптимизации топологии