Оптическое уравнение

Уравнение вида 1/a + 1/b = 1/c

Целочисленные решения оптического уравнения ⁠1/а⁠ + ⁠1/б⁠ = ⁠1/с⁠ для 1 ≤ a,b ​​≤ 99. Число в круге — c . В файле SVG наведите курсор на круг, чтобы увидеть его решение.

В теории чисел оптическое уравнение — это уравнение, требующее, чтобы сумма обратных величин двух положительных целых чисел a и b равнялась обратной величине третьего положительного целого числа c : ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {1}{c}}.}$

Умножение обеих частей на abc показывает, что оптическое уравнение эквивалентно диофантову уравнению ( полиномиальному уравнению с несколькими целыми переменными).

Решение

Все решения в целых числах a, b, c даются через положительные целые параметры m, n, k по ^[1]

$${\displaystyle a=km(m+n),\quad b=kn(m+n),\quad c=kmn}$$

где m, n взаимно просты .

Появления в геометрии

Оптическое уравнение с квадратами появляется в обратной теореме Пифагора (красный)

Оптическое уравнение, допускающее, но не требующее целочисленных решений, появляется в нескольких контекстах в геометрии .

В вписанно-описанном четырехугольнике радиус вписанной окружности r , радиус описанной окружности R и расстояние x между центром вписанной окружности и центром описанной окружности связаны теоремой Фуса следующим образом:

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

а расстояния инцентра I от вершин A, B, C, D связаны с радиусом вписанной окружности согласно

${\displaystyle {\frac {1}{IA^{2}}}+{\frac {1}{IC^{2}}}={\frac {1}{IB^{2}}}+{\frac {1}{ID^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}.}$

Скрещенные лестницы. ${\displaystyle {\tfrac {1}{h}}={\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}.}$

В задаче о скрещенных лестницах ^[2] две лестницы, закрепленные у основания вертикальных стен, пересекаются на высоте h и опираются на противоположные стены на высотах A и B. Имеем Более того, формула продолжает действовать, если стены наклонные и все три измерения производятся параллельно стенам. ${\displaystyle {\tfrac {1}{h}}={\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}.}$

Пусть P — точка на описанной окружности равностороннего треугольника △ ABC , на меньшей дуге AB . Пусть a — расстояние от P до A , а b — расстояние от P до B. На прямой, проходящей через P и дальнюю вершину C , пусть c — расстояние от P до стороны треугольника AB . Тогда ^{[3] : стр. 172} ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}+{\tfrac {1}{b}}={\tfrac {1}{c}}.}$

В трапеции начертите отрезок, параллельный двум параллельным сторонам, проходящий через пересечение диагоналей и имеющий концы на непараллельных сторонах. Тогда, если мы обозначим длины параллельных сторон как a и b , а половину длины отрезка через пересечение диагоналей как c , сумма обратных величин a и b будет равна обратной величине c . ^[4]

Особый случай, в котором целые числа, обратные которым берутся, должны быть квадратными числами, появляется двумя способами в контексте прямоугольных треугольников . Во-первых, сумма обратных величин квадратов высот из катетов (эквивалентно, квадратов самих катетов) равна обратной величине квадрата высоты из гипотенузы. Это справедливо независимо от того, являются ли числа целыми числами или нет; существует формула (см. здесь ), которая генерирует все целые случаи. ^{[5] [6]} Во-вторых, также в прямоугольном треугольнике сумма квадрата обратной величины стороны одного из двух вписанных квадратов и квадрата обратной величины гипотенузы равна квадрату обратной величины стороны другого вписанного квадрата.

Стороны семиугольного треугольника , имеющего общие вершины с правильным семиугольником , удовлетворяют оптическому уравнению.

Другие выступления

Уравнение тонкой линзы

Расстояния в уравнении тонкой линзы

Для линзы пренебрежимо малой толщины и фокусного расстояния f расстояния от линзы до объекта S ₁ и от линзы до ее изображения S ₂ связаны формулой тонкой линзы :

${\displaystyle {\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}.}$

Электротехника

Сравнение эффективного сопротивления, индуктивности и емкости двух резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, соединенных последовательно и параллельно

Компоненты электрической цепи или электронной цепи могут быть соединены в так называемую последовательную или параллельную конфигурацию. Например, общее значение сопротивления R _t двух резисторов с сопротивлениями R ₁ и R _2, соединенных параллельно, следует оптическому уравнению:

${\displaystyle {\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}={\frac {1}{R_{t}}}.}$

Аналогично, общая индуктивность L _t двух индукторов с индуктивностями L ₁ , L _{2 ,} соединенных параллельно, определяется по формуле:

${\displaystyle {\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}={\frac {1}{L_{t}}},}$

а общая емкость C _t двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостями C ₁ , C ₂ равна:

${\displaystyle {\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}={\frac {1}{C_{t}}}.}$

Складывание бумаги

Складываем прямоугольный лист бумаги пополам, используя задачу о перекрещенных лестницах.

Оптическое уравнение задачи о скрещенных лестницах можно применить к складыванию прямоугольной бумаги на три равные части. Одна сторона (левая, показанная здесь) частично сложена пополам и сжата, чтобы оставить отметку. Пересечение линии от этой отметки до противоположного угла с диагональю находится точно на расстоянии одной трети от нижнего края. Затем верхний край можно сложить вниз, чтобы совпасть с пересечением. ^[7]

Гармоническое среднее

Гармоническое среднее a и b равно или 2 c . Другими словами, c — это половина гармонического среднего a и b . ${\displaystyle {\tfrac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}}$

Связь с Великой теоремой Ферма

Великая теорема Ферма утверждает, что сумма двух целых чисел, каждое из которых возведено в одну и ту же целую степень n, не может быть равна другому целому числу, возведенному в степень n, если n > 2. Это означает, что ни одно решение оптического уравнения не имеет всех трех целых чисел, равных совершенным степеням с той же степенью n > 2. Ибо если то умножение на дало бы что невозможно по Великой теореме Ферма. ${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}}+{\tfrac {1}{y^{n}}}={\tfrac {1}{z^{n}}},}$ ${\displaystyle (xyz)^{n}}$ ${\displaystyle (yz)^{n}+(xz)^{n}=(xy)^{n},}$

Смотрите также

• Гипотеза Эрдёша–Штрауса , другое диофантово уравнение , включающее суммы обратных величин целых чисел
• Суммы обратных величин
• Параллельный

Ссылки

1. Диксон, LE, История теории чисел, Том II: Диофантов анализ , Chelsea Publ. Co., 1952, стр. 688–691.
2. Гарднер, М. Математический цирк: больше головоломок, игр, парадоксов и других математических развлечений из Scientific American . Нью-Йорк: Кнопф, 1979, стр. 62–64.
3. Посаментье, Альфред С. и Салкинд, Чарльз Т., Сложные задачи по геометрии , Dover Publ., 1996.
4. GoGeometry , [1], Дата обращения 08.07.2012.
5. Voles, Roger (июль 1999), "83.27 Целочисленные решения ", The Mathematical Gazette , 83 (497): 269–271, doi :10.2307/3619056, JSTOR  3619056 ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
6. Ричиник, Дженнифер (июль 2008 г.), «92.48 Перевернутая теорема Пифагора», The Mathematical Gazette , 92 (524): 313–316, doi :10.1017/s0025557200183275, JSTOR  27821792
7. Мейер, Дэниел; Мейер, Жанин; Мейер, Авива (март 2000 г.), «Обучение математическому мышлению с помощью оригами», Academic.Writing: Междисциплинарные перспективы коммуникации в рамках учебной программы , 1 (9), doi :10.37514/awr-j.2000.1.9.41; см. в частности раздел «Деление на трети»