Уравнение орбиты

Астродинамическое уравнение

В астродинамике уравнение орбиты определяет путь тела , вращающегося вокруг центрального тела относительно , ​​без указания положения как функции времени. При стандартных предположениях тело, движущееся под действием силы, направленной на центральное тело, с величиной, обратно пропорциональной квадрату расстояния (например, гравитации), имеет орбиту, которая является коническим сечением (т. е. круговая орбита , эллиптическая орбита , параболическая траектория , гиперболическая траектория или радиальная траектория ) с центральным телом, расположенным в одном из двух фокусов или фокусе ( первый закон Кеплера ). ${\displaystyle m_{2}\,\!}$ ${\displaystyle m_{1}\,\!}$ ${\displaystyle m_{1}\,\!}$

Если коническое сечение пересекает центральное тело, то фактическая траектория может быть только частью над поверхностью, но для этой части уравнение орбиты и многие связанные с ним формулы по-прежнему применимы, пока это свободное падение (состояние невесомости ).

Центральная сила, подчиняющаяся закону обратных квадратов

Рассмотрим систему из двух тел, состоящую из центрального тела массой M и гораздо меньшего, вращающегося по орбите тела массой , и предположим, что два тела взаимодействуют посредством центральной силы , подчиняющейся закону обратных квадратов (например, гравитации ). В полярных координатах уравнение орбиты можно записать как ^[1] ​​где ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle r={\frac {\ell ^{2}}{m^{2}\mu }}{\frac {1}{1+e\cos \theta }}}$$

• ${\displaystyle r}$это расстояние между двумя телами и
• ${\displaystyle \theta }$угол, который образует с осью перицентра (также называемый истинной аномалией ). ${\displaystyle \mathbf {r} }$
• Параметр представляет собой угловой момент вращающегося вокруг центрального тела тела и равен , или массе, умноженной на величину векторного произведения относительного положения и векторов скорости двух тел. ^{[примечание 1]} ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle mr^{2}{\dot {\theta }}}$
• Параметр — константа, для которой равно ускорению меньшего тела (для гравитации — стандартный гравитационный параметр , ). Для заданной орбиты, чем больше , тем быстрее движется по ней вращающееся тело: в два раза быстрее, если притяжение в четыре раза сильнее. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu /r^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -GM}$ ${\displaystyle \mu }$
• Параметр представляет собой эксцентриситет орбиты и определяется по формуле ^[1] ${\displaystyle e}$

  ${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2}}{m^{3}\mu ^{2}}}}}}$

• где - энергия орбиты. ${\displaystyle E}$

Вышеуказанное соотношение между и описывает коническое сечение . ^[1] Значение определяет, каким видом конического сечения является орбита: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle e}$

• при , орбита эллиптическая (круги — эллипсы с ); ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle e=0}$
• когда , орбита параболическая ; ${\displaystyle e=1}$
• когда , орбита гиперболическая . ${\displaystyle e>1}$

Минимальное значение в уравнении равно: тогда как, если , максимальное значение равно: ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1+e}}}$$ ${\displaystyle e<1}$ $${\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}}$$

Если максимум меньше радиуса центрального тела, то коническое сечение представляет собой эллипс, который полностью находится внутри центрального тела и никакая его часть не является возможной траекторией. Если максимум больше, но минимум меньше радиуса, часть траектории возможна:

• если энергия неотрицательна (параболическая или гиперболическая орбита): движение происходит либо от центрального тела, либо к нему.
• если энергия отрицательна: движение может быть сначала в направлении от центрального тела, а затем объект падает обратно. $${\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}}$$

Если становится так, что движущееся по орбите тело входит в атмосферу, то стандартные предположения больше не применяются, как и при входе в атмосферу . ${\displaystyle r}$

Низкоэнергетические траектории

Если центральное тело — Земля, а энергия лишь немного больше потенциальной энергии на поверхности Земли, то орбита эллиптическая с эксцентриситетом, близким к 1, и один конец эллипса находится сразу за центром Земли, а другой — чуть выше поверхности. Применима только небольшая часть эллипса.

Если горизонтальная скорость равна , то расстояние перицентра равно . Энергия на поверхности Земли соответствует энергии эллиптической орбиты с (с радиусом Земли), которая на самом деле не может существовать, поскольку это эллипс, полностью лежащий под поверхностью. Увеличение энергии с увеличением происходит со скоростью . Максимальная высота над поверхностью орбиты равна длине эллипса, минус , минус часть «ниже» центра Земли, следовательно, удвоенное увеличение минус расстояние перицентра. Наверху ^{[ чего? ]} потенциальная энергия умножается на эту высоту, а кинетическая энергия равна . Это добавляется к только что упомянутому увеличению энергии. Ширина эллипса составляет 19 минут ^{[ почему? ]} раз . ${\displaystyle v\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}}$ ${\displaystyle a=R/2\,\!}$ ${\displaystyle R\,\!}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2g\,\!}$ ${\displaystyle R\,\!}$ ${\displaystyle a\,\!}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle v\,\!}$

Часть эллипса над поверхностью может быть аппроксимирована частью параболы, которая получается в модели, где гравитация предполагается постоянной. Это следует отличать от параболической орбиты в смысле астродинамики, где скорость является скоростью убегания .

См. также траектория .

Категоризация орбит

Рассмотрим орбиты, которые в одной точке горизонтальны, вблизи поверхности Земли. Для увеличения скорости в этой точке орбиты последовательно:

• часть эллипса с вертикальной большой осью, с центром Земли в качестве дальнего фокуса (бросание камня, суборбитальный космический полет , баллистическая ракета )
• круг прямо над поверхностью Земли ( низкая околоземная орбита )
• эллипс с вертикальной большой осью, с центром Земли в качестве ближнего фокуса
• парабола
• гипербола

Обратите внимание, что в последовательности выше ^{[ где? ]} , и монотонно увеличиваются, но сначала уменьшаются от 1 до 0, затем увеличиваются от 0 до бесконечности. Обратный поворот происходит, когда центр Земли переходит из дальнего фокуса в ближний фокус (другой фокус начинается вблизи поверхности и проходит через центр Земли). Мы имеем ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle e=\left|{\frac {R}{a}}-1\right|}$

Распространив это на орбиты, которые горизонтальны на другой высоте, и орбиты, экстраполяция которых горизонтальна под поверхностью Земли, мы получаем категоризацию всех орбит, за исключением радиальных траекторий , для которых, кстати, уравнение орбиты использовать нельзя. В этой категоризации эллипсы рассматриваются дважды, поэтому для эллипсов с обеими сторонами над поверхностью можно ограничиться тем, чтобы взять сторону, которая ниже, в качестве опорной стороны, в то время как для эллипсов, у которых только одна сторона находится над поверхностью, взять эту сторону.

Смотрите также

• первый закон Кеплера
• Круговая орбита
• Эллиптическая орбита
• Параболическая траектория
• Гиперболическая траектория
• Уравнение ракеты Циолковского
• Орбитальная скорость
• Скорость убегания
• Небесная механика

Примечания

1. Существует связанный параметр, известный как удельный относительный угловой момент , . Он связан с . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle h=\ell /m}$

Ссылки

1. Феттер, Александр; Валецка, Джон (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред . Dover Publications . С. 13–22.