Порядковый номер преемника

Операция над порядковыми числами

В теории множеств , преемником порядкового числа α является наименьшее порядковое число, большее, чем  α . Порядковый номер, который является преемником, называется порядковым номером преемника . Порядковые номера 1, 2 и 3 — это первые три порядковых номера-преемника, а ординалы ω+1, ω+2 и ω+3 — это первые три бесконечных порядковых номера-преемника.

Характеристики

Каждый порядковый номер, отличный от 0, является либо порядковым номером-преемником, либо предельным порядковым номером . ^[1]

В модели фон Неймана

Используя порядковые числа фон Неймана (стандартная модель ординалов, используемых в теории множеств), преемник S ( α ) порядкового числа α задается формулой ^[1]

${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}.}$

Поскольку порядок порядковых чисел определяется соотношением α  <  β тогда и только тогда, когда α  ∈  β , сразу становится ясно, что между α и S ( α ) нет порядкового числа , а также ясно, что α  <  S ( α ) .

Порядковое сложение

Операцию-преемник можно использовать для строгого определения порядкового сложения с помощью трансфинитной рекурсии следующим образом:

${\displaystyle \alpha +0=\alpha \!}$

${\displaystyle \alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )}$

и для предельного ординала λ

${\displaystyle \alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta )}$

В частности, S ( α ) = α + 1 . Умножение и возведение в степень определяются аналогично.

Топология

Точки-преемники и ноль являются изолированными точками класса порядковых чисел относительно топологии порядка . ^[2]

Смотрите также

• Порядковая арифметика
• Предельный порядковый номер
• Кардинал-преемник

Рекомендации

1. Кэмерон, Питер Дж. (1999), Множества, логика и категории, серия Springer по математике для студентов, Springer, стр. 46, ISBN 9781852330569.
2. Девлин, Кейт (1993), Радость множеств: основы современной теории множеств, Тексты для студентов по математике , Springer, Упражнение 3C, стр. 100, ISBN 9780387940946.