Порядковый номер преемника

Операция над порядковыми числами

В теории множеств , последующее число порядкового числа α — это наименьшее порядковое число, большее  α . Порядковое число, являющееся последующим числом, называется последующим порядковым числом . Порядковые числа 1, 2 и 3 являются первыми тремя последующими порядковыми числами, а порядковые числа ω+1, ω+2 и ω+3 являются первыми тремя бесконечными последующими порядковыми числами.

Характеристики

Каждый ординал, отличный от 0, является либо последующим ординалом, либо предельным ординалом . ^[1]

В модели фон Неймана

Используя порядковые числа фон Неймана (стандартная модель порядковых чисел, используемая в теории множеств), последующее число S ( α ) порядкового числа α задается формулой ^[1]

${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}.}$

Поскольку порядок порядковых чисел задается соотношением α  <  β тогда и только тогда, когда α  ∈  β , то сразу следует, что между α и S ( α ) нет порядкового числа , и также ясно, что α  <  S ( α ).

Порядковое сложение

Операция наследования может быть использована для строгого определения порядкового сложения посредством трансфинитной рекурсии следующим образом:

${\displaystyle \alpha +0=\alpha \!}$

${\displaystyle \alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )}$

и для предельного ординала λ

${\displaystyle \alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta )}$

В частности, S ( α ) = α + 1. Умножение и возведение в степень определяются аналогично.

Топология

Точки-последователи и ноль являются изолированными точками класса порядковых чисел относительно топологии порядка . ^[2]

Смотрите также

• Порядковая арифметика
• Предельный порядковый номер
• Преемник кардинала

Ссылки

1. Cameron, Peter J. (1999), Множества, логика и категории, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, стр. 46, ISBN 9781852330569.
2. Девлин, Кит (1993), Радость множеств: основы современной теории множеств, Учебники по математике для студентов , Springer, Упражнение 3C, стр. 100, ISBN 9780387940946.