В математике ортогональность является обобщением геометрического понятия перпендикулярности . В то время как перпендикуляр обычно сопровождается to , когда две линии соотносятся друг с другом (например, «прямая A перпендикулярна прямой B»), [1] ортогональность обычно используется без to ( например, «ортогональные прямые A и B»). [2]
Ортогональность также используется в различных значениях, которые часто слабо связаны или вообще не связаны с математическими значениями.
Слово происходит от древнегреческого ὀρθός ( orthós ), что означает «вертикальный», [3] и γωνία ( gōnía ), что означает «угол». [4]
Древнегреческое ὀρθογώνιον ( ortogṓnion ) и классическое латинское orthogonium изначально обозначали прямоугольник . [5] Позже они стали обозначать прямоугольный треугольник . В XII веке постклассическое латинское слово orthogonalis стало обозначать прямой угол или что-то связанное с прямым углом. [6]
В математике ортогональность — это обобщение геометрического понятия перпендикулярности на линейную алгебру билинейных форм .
Два элемента u и v векторного пространства с билинейной формой ортогональны, когда . В зависимости от билинейной формы векторное пространство может содержать нулевые векторы , ненулевые самоортогональные векторы, в этом случае перпендикулярность заменяется гиперболической ортогональностью .
В случае функциональных пространств семейства функций используются для формирования ортогонального базиса , например, в контексте ортогональных многочленов , ортогональных функций и комбинаторики .
В оптике состояния поляризации называются ортогональными, если они распространяются независимо друг от друга, как в случае вертикальной и горизонтальной линейной поляризации или правой и левой круговой поляризации .
В специальной теории относительности ось времени, определяемая быстротой движения , гиперболически-ортогональна пространственной оси одновременных событий, также определяемой быстротой. Теория характеризуется относительностью одновременности .
В квантовой механике достаточным (но не необходимым) условием того, что два собственных состояния эрмитова оператора и , являются ортогональными, является то, что они соответствуют разным собственным значениям. Это означает в обозначениях Дирака , что если и соответствуют разным собственным значениям. Это следует из того факта, что уравнение Шредингера является уравнением Штурма–Лиувилля (в формулировке Шредингера) или что наблюдаемые задаются эрмитовыми операторами (в формулировке Гейзенберга). [ необходима цитата ]
В искусстве перспективные (воображаемые) линии, указывающие на точку схода, называются «ортогональными линиями». Термин «ортогональная линия» часто имеет совершенно иное значение в литературе современной художественной критики. Многие работы таких художников, как Пит Мондриан и Бергойн Диллер, известны своим исключительным использованием «ортогональных линий» — однако не в отношении перспективы, а скорее в отношении линий, которые являются прямыми и исключительно горизонтальными или вертикальными, образуя прямые углы в местах пересечения. Например, в эссе на веб-сайте Музея Тиссена-Борнемисы говорится, что «Мондриан ... посвятил все свое творчество исследованию баланса между ортогональными линиями и основными цветами». Архивировано 2009-01-31 в Wayback Machine
Ортогональность в разработке языков программирования — это возможность использовать различные языковые возможности в произвольных комбинациях с получением согласованных результатов. [8] Такое использование было введено Ван Вейнгаарденом при разработке Algol 68 :
Число независимых примитивных концепций было сведено к минимуму, чтобы язык было легко описывать, изучать и применять. С другой стороны, эти концепции применялись «ортогонально», чтобы максимизировать выразительную силу языка, одновременно пытаясь избежать вредных излишеств. [9]
Ортогональность — это свойство проектирования системы, которое гарантирует, что изменение технического эффекта, производимого компонентом системы, не создает и не распространяет побочные эффекты на другие компоненты системы. Обычно это достигается путем разделения интересов и инкапсуляции , и это необходимо для осуществимых и компактных проектов сложных систем. Эмерджентное поведение системы, состоящей из компонентов, должно строго контролироваться формальными определениями ее логики, а не побочными эффектами, возникающими из-за плохой интеграции, т. е. неортогонального проектирования модулей и интерфейсов. Ортогональность сокращает время тестирования и разработки, поскольку легче проверять проекты, которые не вызывают побочных эффектов и не зависят от них.
Набор инструкций называется ортогональным, если в нем отсутствует избыточность (т. е. существует только одна инструкция, которая может быть использована для выполнения данной задачи) [10] и он разработан таким образом, что инструкции могут использовать любой регистр в любом режиме адресации . Эта терминология является результатом рассмотрения инструкции как вектора, компонентами которого являются поля инструкций. Одно поле идентифицирует регистры, над которыми нужно работать, а другое определяет режим адресации. Ортогональный набор инструкций однозначно кодирует все комбинации регистров и режимов адресации. [11]
В телекоммуникациях схемы множественного доступа являются ортогональными, когда идеальный приемник может полностью отсеивать произвольно сильные нежелательные сигналы от желаемого сигнала, используя различные базисные функции . Одной из таких схем является множественный доступ с временным разделением (TDMA), где ортогональные базисные функции представляют собой неперекрывающиеся прямоугольные импульсы («временные интервалы»).
Другая схема — ортогональное частотное мультиплексирование (OFDM), которое относится к использованию одним передатчиком набора частотно-мультиплексированных сигналов с точным минимальным частотным интервалом, необходимым для того, чтобы сделать их ортогональными, чтобы они не мешали друг другу. Хорошо известные примеры включают ( a , g и n ) версии 802.11 Wi-Fi ; WiMAX ; ITU-T G.hn , DVB-T , наземную систему цифрового ТВ-вещания, используемую в большинстве стран мира за пределами Северной Америки; и DMT (Discrete Multi Tone), стандартную форму ADSL .
В OFDM частоты поднесущих выбираются [ как? ] так, чтобы поднесущие были ортогональны друг другу, что означает, что перекрестные помехи между подканалами устраняются и защитные полосы между несущими не требуются. Это значительно упрощает конструкцию как передатчика, так и приемника. В обычном FDM требуется отдельный фильтр для каждого подканала.
При выполнении статистического анализа независимые переменные , которые влияют на конкретную зависимую переменную, называются ортогональными, если они не коррелированы, [12], поскольку ковариация образует внутренний продукт. В этом случае получаются те же результаты для влияния любой из независимых переменных на зависимую переменную, независимо от того, моделируется ли влияние переменных по отдельности с помощью простой регрессии или одновременно с помощью множественной регрессии . Если присутствует корреляция , факторы не ортогональны, и эти два метода получают разные результаты. Такое использование возникает из того факта, что при центрировании путем вычитания ожидаемого значения (среднего) некоррелированные переменные ортогональны в геометрическом смысле, обсуждаемом выше, как в качестве наблюдаемых данных (т. е. векторов), так и в качестве случайных величин (т. е. функций плотности). Один эконометрический формализм, альтернативный структуре максимального правдоподобия , обобщенный метод моментов , опирается на условия ортогональности. В частности, оценка методом наименьших квадратов может быть легко выведена из условия ортогональности между объясняющими переменными и остатками модели.
В таксономии ортогональной называется классификация, в которой ни один элемент не является членом более чем одной группы, то есть классификации являются взаимоисключающими.
В химии и биохимии ортогональное взаимодействие происходит, когда есть две пары веществ, и каждое вещество может взаимодействовать со своим соответствующим партнером, но не взаимодействует ни с одним из веществ другой пары. Например, ДНК имеет две ортогональные пары: цитозин и гуанин образуют пару оснований, а аденин и тимин образуют другую пару оснований, но другие комбинации пар оснований крайне нежелательны. В качестве химического примера, тетразин реагирует с трансциклооктеном, а азид реагирует с циклооктином без какой-либо перекрестной реакции, поэтому это взаимно ортогональные реакции, и поэтому их можно выполнять одновременно и избирательно. [13]
В органическом синтезе ортогональная защита представляет собой стратегию, позволяющую снимать защиту с функциональных групп независимо друг от друга.
В супрамолекулярной химии понятие ортогональности относится к возможности двух или более супрамолекулярных, часто нековалентных , взаимодействий быть совместимыми; образовываться обратимо без помех со стороны других.
В аналитической химии анализы являются «ортогональными», если они выполняют измерение или идентификацию совершенно разными способами, тем самым повышая надежность измерения. Ортогональное тестирование, таким образом, можно рассматривать как «перекрестную проверку» результатов, а понятие «перекрестное» соответствует этимологическому происхождению ортогональности. Ортогональное тестирование часто требуется как часть нового применения препарата .
В области надежности системы ортогональная избыточность — это форма избыточности, где форма резервного устройства или метода полностью отличается от склонного к ошибкам устройства или метода. Режим отказа ортогонально избыточного резервного устройства или метода не пересекается и полностью отличается от режима отказа устройства или метода, нуждающегося в избыточности для защиты всей системы от катастрофического отказа.
В нейронауке сенсорная карта в мозге, которая имеет перекрывающееся кодирование стимулов (например, местоположение и качество), называется ортогональной картой.
В философии две темы, два автора или два произведения называются «ортогональными» друг другу, когда они по существу не охватывают то, что можно было бы считать потенциально пересекающимися или конкурирующими утверждениями. Таким образом, тексты в философии могут либо поддерживать и дополнять друг друга, либо предлагать конкурирующие объяснения или системы, либо они могут быть ортогональными друг другу в случаях, когда объем, содержание и цель произведений совершенно не связаны.
В настольных играх, таких как шахматы , в которых используется сетка из квадратов, «ортогональный» используется в значении «в том же ряду/'горизонте' или столбце/'вертикали'». Это аналог квадратов, которые «соседние по диагонали». [27] В древней китайской настольной игре Го игрок может захватить камни противника, заняв все ортогонально соседние точки.
Стерео виниловые пластинки кодируют как левый, так и правый стереоканалы в одной канавке. V-образная канавка в виниле имеет стенки, расположенные под углом 90 градусов друг к другу, с вариациями в каждой стенке, отдельно кодирующими один из двух аналоговых каналов, составляющих стереосигнал. Картридж воспринимает движение иглы, следующей за канавкой, в двух ортогональных направлениях: 45 градусов от вертикали в каждую сторону. [28] Чистое горизонтальное движение соответствует моносигналу, эквивалентному стереосигналу, в котором оба канала несут идентичные (синфазные) сигналы.
