Ортогональные многочлены на единичной окружности

В математике ортогональные многочлены на единичной окружности — это семейства многочленов, ортогональных относительно интегрирования по единичной окружности в комплексной плоскости для некоторой вероятностной меры на единичной окружности. Они были введены Сегё (1920, 1921, 1939).

Определение

Пусть будет вероятностной мерой на единичной окружности и предположим , что нетривиально, т. е. ее носитель — бесконечное множество. С помощью комбинации теорем Радона-Никодима и Лебега о разложении любая такая мера может быть однозначно разложена на ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle d\mu =w(\theta ){\frac {d\theta }{2\pi }}+d\mu _{s}}$,

где является сингулярным относительно и с абсолютно непрерывной частью . [ ^1] ${\displaystyle d\mu _{s}}$ ${\displaystyle d\theta /2\pi }$ ${\displaystyle w\in L^{1}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle wd\theta /2\pi }$ ${\displaystyle d\mu }$

Ортогональные многочлены, связанные с, определяются как ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=z^{n}+{\text{lower order}}}$,

такой что

${\displaystyle \int {\bar {z}}^{j}\Phi _{n}(z)\,d\mu (z)=0,\quad j=0,1,\dots ,n-1}$.

Рецидив Сегё

Монические ортогональные многочлены Сегё удовлетворяют рекуррентному соотношению вида

${\displaystyle \Phi _{n+1}(z)=z\Phi _{n}(z)-{\overline {\alpha }}_{n}\Phi _{n}^{*}(z)}$

${\displaystyle \Phi _{n+1}^{\ast }(z)=\Phi _{n}^{\ast }(z)-\alpha _{n}z\Phi _{n}(z)}$

для и начального состояния , с ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \Phi _{0}=1}$

${\displaystyle \Phi _{n}^{*}(z)=z^{n}{\overline {\Phi _{n}(1/{\overline {z}})}}}$

и константы в открытом единичном круге, заданные формулой ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$

${\displaystyle \alpha _{n}=-{\overline {\Phi _{n+1}(0)}}}$

называемые коэффициентами Верблунского . ^[2] Более того,

${\displaystyle \|\Phi _{n+1}\|^{2}=\prod _{j=0}^{n}(1-|\alpha _{j}|^{2})=(1-|\alpha _{n}|^{2})\|\Phi _{n}\|^{2}}$.

Теорема Геронимуса утверждает, что коэффициенты Верблунского, связанные с , являются параметрами Шура : ^[3] ${\displaystyle d\mu }$

${\displaystyle \alpha _{n}(d\mu )=\gamma _{n}}$

Теорема Верблунского

Теорема Верблунского утверждает, что для любой последовательности чисел из существует единственная нетривиальная вероятностная мера на с . ^[4] ${\displaystyle \{\alpha _{j}^{(0)}\}_{j=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \alpha _{j}(d\mu )=\alpha _{j}^{(0)}}$

Теорема Бакстера

Теорема Бакстера утверждает, что коэффициенты Верблунского образуют абсолютно сходящийся ряд тогда и только тогда, когда моменты образуют абсолютно сходящийся ряд, а весовая функция строго положительна всюду. ^[5] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle w}$

Теорема Сегё

Для любой нетривиальной вероятностной меры на форма Верблунского теоремы Сегё утверждает, что ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }(1-|\alpha _{n}|^{2})=\exp {\big (}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log w(\theta )\,d\theta {\big )}.}$

Левая часть независима от оригинальной версии Сегё, но в отличие от нее , форма Верблунского допускает . ^[6] Впоследствии, ${\displaystyle d\mu _{s}}$ ${\displaystyle d\mu =d\mu _{ac}}$ ${\displaystyle d\mu _{s}\neq 0}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|\alpha _{n}|^{2}<\infty \;\iff \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log w(\theta )\,d\theta >-\infty }$.

Одним из следствий является существование смешанного спектра для дискретизированных операторов Шредингера. ^[7]

Теорема Рахманова

Теорема Рахманова утверждает, что если абсолютно непрерывная часть меры положительна почти всюду, то коэффициенты Верблунского стремятся к 0. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha _{n}}$

Примеры

Полиномы Роджерса –Сегё являются примером ортогональных полиномов на единичной окружности.

Смотрите также

• Тригонометрическая проблема моментов
• класс Шура

Примечания

1. Саймон 2005а, стр. 43.
2. Саймон 2010, стр. 44.
3. Саймон 2010, стр. 74.
4. Шмюдген 2017, стр. 265.
5. Саймон 2005а, стр. 313.
6. Саймон 2010, стр. 29.
7. Тотик 2016, стр. 269.

Ссылки

• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Ортогональные многочлены на единичной окружности", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Шмюдген, Конрад (2017). Проблема моментов . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 277. Cham: Springer International Publishing. doi : 10.1007/978-3-319-64546-9. ISBN 978-3-319-64545-2. ISSN  0072-5285.
• Саймон, Барри (2005). Ортогональные многочлены на единичной окружности. Часть 1. Классическая теория . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том 54. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3446-6. МР  2105088.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
• Саймон, Барри (2005). Ортогональные многочлены на единичной окружности. Часть 2. Спектральная теория . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том 54. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3675-0. МР  2105089.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
• Саймон, Барри (2010). Теорема Сегё и ее потомки: спектральная теория для L² возмущений ортогональных многочленов . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14704-8.
• Сегё, Габор (1920), «Beiträge zur Theorie der Toeplitzschen Formen», Mathematische Zeitschrift , 6 (3–4): 167–202, doi : 10.1007/BF01199955, ISSN  0025-5874, S2CID  118147030
• Сегё, Габор (1921), «Beiträge zur Theorie der Toeplitzschen Formen», Mathematische Zeitschrift , 9 (3–4): 167–190, doi : 10.1007/BF01279027, ISSN  0025-5874, S2CID  125157848
• Сегё, Габор (1939), Ортогональные многочлены, Colloquium Publications, т. XXIII, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1023-1, МР  0372517
• Totik, V. (2016). «Барри Саймон и Международная математическая премия имени Яноша Бойяи» (PDF) . Acta Mathematica Hungarica . 149 (2). Springer Science and Business Media LLC: 263–273. doi :10.1007/s10474-016-0618-x. ISSN  0236-5294. S2CID  254236846.