Ортогональный базис

В математике , в частности линейной алгебре , ортогональный базис для пространства скалярного произведения -- это базис , векторы которого взаимно ортогональны . Если векторы ортогонального базиса нормализованы , то полученный базис является ортонормированным базисом . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Как координаты

Любой ортогональный базис может быть использован для определения системы ортогональных координат. Ортогональные (не обязательно ортонормированные) базисы важны из-за их появления из криволинейных ортогональных координат в евклидовых пространствах , а также в римановых и псевдоримановых многообразиях. ${\displaystyle V.}$

В функциональном анализе

В функциональном анализе ортогональным базисом называется любой базис, полученный из ортонормированного базиса (или базиса Гильберта) с помощью умножения на ненулевые скаляры .

Расширения

Симметричная билинейная форма

Понятие ортогонального базиса применимо к векторному пространству (над любым полем ), снабженному симметричной билинейной формой ⁠ ⁠ , где ортогональность двух векторов и означает ⁠ ⁠ . Для ортогонального базиса ⁠ ⁠ : где — квадратичная форма , связанная с (в пространстве внутреннего произведения, ⁠ ⁠ ). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \langle v,w\rangle =0}$ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$ $${\displaystyle \langle e_{j},e_{k}\rangle ={\begin{cases}q(e_{k})&j=k\\0&j\neq k,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :}$ ${\displaystyle q(v)=\langle v,v\rangle }$ ${\displaystyle q(v)=\Vert v\Vert ^{2}}$

Следовательно, для ортогонального базиса ⁠ ⁠ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$ , где и являются компонентами и в базисе. $${\displaystyle \langle v,w\rangle =\sum _{k}q(e_{k})v_{k}w_{k},}$$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

Квадратичная форма

Понятие ортогональности может быть распространено на векторное пространство над любым полем характеристики, отличной от 2, снабженное квадратичной формой ⁠ ⁠ ${\displaystyle q(v)}$ . Начиная с наблюдения, что когда характеристика базового поля не равна 2, соответствующая симметричная билинейная форма позволяет определить векторы и как ортогональные относительно , ​​когда ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \langle v,w\rangle ={\tfrac {1}{2}}(q(v+w)-q(v)-q(w))}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q(v+w)-q(v)-q(w)=0}$

Смотрите также

• Базис (линейная алгебра)  – набор векторов, используемых для определения координат.
• Ортонормальный базис  – Конкретный линейный базис (математика)
• Ортонормальная система координат  – Евклидово пространство без расстояний и углов
• Базис Шаудера  – вычислительный инструмент
• Тотальное множество  – подмножество топологического векторного пространства, линейная оболочка которого плотна.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва

Ссылки

• Ланг, Серж (2004), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (Исправленное четвертое издание, пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 572–585, ISBN 978-0-387-95385-4
• Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . Том. 73. Шпрингер-Верлаг . п. 6. ISBN 3-540-06009-X. Збл  0292.10016.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Ортогональный базис». Математический мир .