Операция линейной алгебры
В линейной алгебре ортогональное преобразование — это линейное преобразование T : V → V на вещественном пространстве внутреннего продукта V , которое сохраняет скалярный продукт . То есть для каждой пары u , v элементов V имеем [1]
![{\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle Tu,Tv\rangle \,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку длины векторов и углы между ними определяются через скалярное произведение, ортогональные преобразования сохраняют длины векторов и углы между ними. В частности, ортогональные преобразования отображают ортонормированные базы в ортонормированные базы.
Ортогональные преобразования инъективны : если то , следовательно , то ядро тривиально .![{\displaystyle ТВ=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0 =\langle Tv,Tv\rangle =\langle v,v\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Т}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ортогональные преобразования в двух- или трехмерном евклидовом пространстве — это жесткие вращения , отражения или комбинации вращения и отражения (также известные как неправильные вращения ). Отражения — это преобразования, которые меняют направление спереди назад, ортогонально плоскости зеркала, как это делают зеркала (реального мира). Матрицы , соответствующие собственным вращениям (без отражения), имеют определитель +1. Преобразования с отражением представлены матрицами с определителем −1. Это позволяет обобщить концепцию вращения и отражения на более высокие измерения.
В конечномерных пространствах матричное представление (относительно ортонормированного базиса ) ортогонального преобразования является ортогональной матрицей . Его строки представляют собой взаимно ортогональные векторы с единичной нормой, так что строки составляют ортонормированный базис V . Столбцы матрицы образуют другой ортонормированный базис V .
Если ортогональное преобразование обратимо (что всегда имеет место, когда V конечномерно), то его обратным является другое ортогональное преобразование, идентичное транспонированию : .![{\displaystyle Т^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Т}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T^{-1}=T^{\mathtt {T}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примеры
Рассмотрим пространство внутреннего продукта со стандартным евклидовым внутренним продуктом и стандартным базисом. Тогда матричное преобразование![{\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},\langle \cdot,\cdot \rangle)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T={\begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{bmatrix}}:\mathbb { R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
является ортогональным. Чтобы увидеть это, рассмотрите
![{\displaystyle {\begin{aligned}Te_{1}={\begin{bmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\end{bmatrix}}&&Te_{2}={\begin{bmatrix }-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\end{bmatrix}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Затем,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\langle Te_{1},Te_{1}\rangle = {\begin{bmatrix}\cos(\theta) &\sin(\theta)\end{bmatrix}}\ cdot {\begin{bmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\end{bmatrix}}=\cos ^{2}(\theta)+\sin ^{2}(\theta)= 1\\&\langle Te_{1},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix }-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\end{bmatrix}}=\sin(\theta)\cos(\theta)-\sin(\theta)\cos(\theta)=0 \\&\langle Te_{2},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix }-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\end{bmatrix}}=\sin ^{2}(\theta)+\cos ^{2}(\theta)=1\\\end {выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Предыдущий пример можно расширить для построения всех ортогональных преобразований. Например, следующие матрицы определяют ортогональные преобразования на :![{\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\langle \cdot,\cdot \rangle)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)&0\\\sin(\theta)&\cos(\theta)&0\\0&0&1\end{bmatrix}}, {\begin{bmatrix}\cos(\theta)&0&-\sin(\theta)\\0&1&0\\\sin(\theta)&0&\cos(\theta)\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix }1&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Роуленд, Тодд. «Ортогональное преобразование». Математический мир . Проверено 4 мая 2012 г.