Ортогональная траектория

Определение в дифференциальных уравнениях

Концентрические окружности с ортогональными траекториями (1. пример)

Параболы с ортогональными траекториями (2. пример)

В математике ортогональная траектория — это кривая, которая пересекает любую кривую заданного пучка (плоских) кривых ортогонально .

Например, ортогональные траектории пучка концентрических окружностей — это прямые, проходящие через их общий центр (см. рисунок).

Подходящие методы определения ортогональных траекторий предоставляются путем решения дифференциальных уравнений . Стандартный метод устанавливает обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка и решает его путем разделения переменных . Оба шага могут быть трудными или даже невозможными. В таких случаях приходится применять численные методы.

Ортогональные траектории используются в математике, например, как криволинейные системы координат (т. е. эллиптические координаты ), а в физике появляются как электрические поля и их эквипотенциальные кривые .

Если траектория пересекает заданные кривые под произвольным (но фиксированным) углом, то получается изогональная траектория .

Определение ортогональной траектории

В декартовых координатах

Обычно предполагается, что пучок кривых неявно задается уравнением

(0) 1. пример 2. пример ${\displaystyle :\ F(x,y,c)=0,\qquad }$ ${\displaystyle :\ x^{2}+y^{2}-c=0\ ,\qquad }$ ${\displaystyle y=cx^{2}\ \leftrightarrow \ y-cx^{2}=0\ ,}$

где — параметр пучка. Если пучок задан явно уравнением , можно изменить представление на неявное: . Для приведенных ниже соображений предполагается, что все необходимые производные существуют. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle y=f(x,c)}$ ${\displaystyle y-f(x,c)=0}$

Шаг 1.

Неявная дифференциация для доходности ${\displaystyle x}$

(1) в 1. примере 2. примере ${\displaystyle :\ F_{x}(x,y,c)+F_{y}(x,y,c)\;y'=0,\qquad }$ ${\displaystyle :\ 2x+2yy'=0\ ,\qquad }$ ${\displaystyle :\ y'-2cx=0\ .}$

Шаг 2.

Теперь предполагается, что уравнение (0) можно решить относительно параметра , который, таким образом, можно исключить из уравнения (1). Получается дифференциальное уравнение первого порядка ${\displaystyle c}$

(2) в 1. примере 2. примере ${\displaystyle :\ y'=f(x,y),\qquad }$ ${\displaystyle :\ y'=-{\frac {x}{y}}\ ,\qquad }$ ${\displaystyle :\ y'=2{\frac {y}{x}}\ ,}$

которое выполняется данным пучком кривых.

Шаг 3.

Поскольку наклон ортогональной траектории в точке является отрицательной мультипликативной обратной величиной наклона заданной кривой в этой точке, ортогональная траектория удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка ${\displaystyle (x,y)}$

(3) в 1. примере 2. примере ${\displaystyle :\ y'=-{\frac {1}{f(x,y)}}\ ,\qquad }$ ${\displaystyle :\ y'=y/x\ ,\qquad }$ ${\displaystyle :\ y'=-{\frac {x}{2y}}\ .}$

Шаг 4.

Это дифференциальное уравнение (надеюсь) можно решить подходящим методом.
Для обоих примеров подходит разделение переменных . Решения:
в примере 1 — линии , в примере 2 — эллипсы ${\displaystyle y=mx,\ m\in \mathbb {R} }$
${\displaystyle x^{2}+2y^{2}=d,\ d>0\ .}$

В полярных координатах

Если пучок кривых неявно представлен в полярных координатах как

(0р) ${\displaystyle :\ F(r,\varphi ,c)=0}$

определяется, как и в декартовом случае, параметрически свободное дифференциальное уравнение

(1п) ${\displaystyle :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=0,\qquad }$

(2п) ${\displaystyle :\ \varphi '=f(r,\varphi )}$

карандаша. Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий тогда (см. Redheffer & Port, стр. 65, Heuser, стр. 120)

(3п) ${\displaystyle :\ \varphi '=-{\frac {1}{{\color {red}r^{2}}f(r,\varphi )}}\ .}$

Ортогональные кардиоиды

Пример: Кардиоиды :

(0п) (на схеме: синий) ${\displaystyle :\ F(r,\varphi ,c)=r-c(1+\cos \varphi )=0,\ c>0\ .\ }$

(1п) ${\displaystyle :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=1+c\sin \varphi \;\varphi '=0,\qquad }$

Исключение дает дифференциальное уравнение данного пучка: ${\displaystyle c}$

(2п) ${\displaystyle :\ \varphi '=-{\frac {1+\cos \varphi }{r\sin \varphi }}}$

Следовательно, дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид:

(3п) ${\displaystyle :\ \varphi '={\frac {\sin \varphi }{r(1+\cos \varphi )}}}$

Решив это дифференциальное уравнение методом разделения переменных, получаем

${\displaystyle r=d(1-\cos \varphi )\ ,\ d>0\ ,}$

которая описывает пучок кардиоид (красный на схеме), симметричный данному пучку.

Изогональная траектория

Кривая, пересекающая любую кривую заданного пучка (плоских) кривых под фиксированным углом, называется изогональной траекторией . ${\displaystyle \alpha }$

Между наклоном изогональной траектории и наклоном кривой карандаша в точке справедливо следующее соотношение: ${\displaystyle \eta '}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle \eta '={\frac {y'+\tan(\alpha )}{1-y'\tan(\alpha )}}\ .}$

Это соотношение обусловлено формулой для . При этом получается условие ортогональности траектории. ${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \alpha \rightarrow 90^{\circ }}$

Для определения изогональной траектории необходимо скорректировать 3-й шаг инструкции выше:

3. шаг (изогн. традж.)

Дифференциальное уравнение изогональной траектории имеет вид:

• (3и) ${\displaystyle :\ y'={\frac {f(x,y)+\tan(\alpha )}{1-f(x,y)\;\tan(\alpha )}}\ .}$

Изогональные траектории концентрических окружностей для ${\displaystyle \alpha =45^{\circ }}$

Для примера 1 (концентрические окружности) и угла получается ${\displaystyle \alpha =45^{\circ }}$

(3и) ${\displaystyle :\ y'={\frac {-x/y+1}{1+x/y}}\ .}$

Это особый вид дифференциального уравнения, которое можно преобразовать путем подстановки в дифференциальное уравнение, которое можно решить путем разделения переменных . После обратной подстановки получаем уравнение решения: ${\displaystyle z=y/x}$

${\displaystyle \arctan {\frac {y}{x}}+{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})=C\ .}$

Введение полярных координат приводит к простому уравнению

${\displaystyle C-\varphi =\ln(r)\ ,}$

который описывает логарифмические спирали (см. диаграмму).

Численные методы

В случае, если дифференциальное уравнение траекторий не может быть решено теоретическими методами, его приходится решать численно, например, методами Рунге–Кутты .

Смотрите также

• Овал Кассини
• Конфокальные конические сечения
• Траектория
• Аполлоновы окружности , пары семейств окружностей, которые все ортогональны друг другу.

Ссылки

• А. Джеффри: Высшая инженерная математика , Hartcourt/Academic Press, 2002, ISBN  0-12-382592-X , стр. 233.
• С. Б. Рао: Дифференциальные уравнения , University Press, 1996, ISBN 81-7371-023-6 , стр. 95. 
• RM Redheffer, D. Port: Дифференциальные уравнения: теория и приложения , Jones & Bartlett, 1991, ISBN 0-86720-200-9 , стр. 63. 
• Х. Хойзер: Gewöhnliche Differentialgleichungen , Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2 , стр. 120. 
• Тененбаум, Моррис; Поллард, Гарри (2012), Обыкновенные дифференциальные уравнения, Dover Books on Mathematics, Courier Dover, стр. 115, ISBN 9780486134642.

Внешние ссылки

• Изучение ортогональных траекторий — апплет, позволяющий пользователю рисовать семейства кривых и их ортогональные траектории.
• mathcurve: ЛИНИИ ПОЛЯ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛИНИИ, ДВОЙНАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА