Основная частота

Самая низкая частота периодической волны, такой как звук

Вибрация и стоячие волны в струне, Основной тон и первые шесть обертонов

Основная частота , часто называемая просто основной ( сокращенно f ₀ или f ₁ ), определяется как самая низкая частота периодической формы волны . ^[1] В музыке основная частота — это музыкальная высота тона ноты, которая воспринимается как самое низкое парциальное настоящее. В терминах суперпозиции синусоид основная частота — это самая низкая частота синусоиды в сумме гармонически связанных частот или частота разности между соседними частотами. В некоторых контекстах основная частота обычно сокращается как f ₀ , указывая на самую низкую частоту, считая от нуля . ^{[2] [3] [4]} В других контекстах ее чаще сокращают как f ₁ , первую гармонику . ^{[5] [6] [7] [8] [9]} (Вторая гармоника тогда f ₂ = 2⋅ f ₁ и т. д. В этом контексте нулевая гармоника будет равна 0  Гц .)

Согласно «Музыке Бенварда и Сейкера : в теории и на практике» : ^[10]

Поскольку основной тон является самой низкой частотой и воспринимается как самый громкий, ухо идентифицирует его как определенную высоту музыкального тона [ гармонический спектр ]. Отдельные тональности не слышны по отдельности, а смешиваются ухом в единый тон.

Объяснение

Все синусоидальные и многие несинусоидальные формы волн точно повторяются с течением времени – они периодические. Период формы волны – это наименьшее положительное значение, для которого справедливо следующее: ${\displaystyle T}$

${\displaystyle x(t)=x(t+T){\text{ for all }}t\in \mathbb {R} }$

Где — значение формы волны . Это означает, что значения формы волны на любом интервале длины — это все, что требуется для полного описания формы волны (например, с помощью соответствующего ряда Фурье ). Поскольку любое кратное периоду также удовлетворяет этому определению, основной период определяется как наименьший период, на котором функция может быть полностью описана. Основная частота определяется как ее обратная величина: ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{T}}}$

Если единицей времени являются секунды, то частота выражается в , также известных как Герц . ${\displaystyle s^{-1}}$

Основная частота трубы

Для трубы длиной с одним закрытым и другим открытым концом длина волны основной гармоники равна , как указано в первых двух анимациях. Следовательно, ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 4L}$

${\displaystyle \lambda _{0}=4L}$

Поэтому, используя соотношение

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {v}{f_{0}}}}$

где - скорость волны, основная частота может быть найдена через скорость волны и длину трубы: ${\displaystyle v}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {v}{4L}}}$

Если концы одной и той же трубы теперь оба закрыты или оба открыты, длина волны основной гармоники становится . Тем же методом, что и выше, основная частота определяется как ${\displaystyle 2L}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {v}{2L}}}$

В музыке

В музыке фундаментальный тон — это музыкальная высота ноты, которая воспринимается как самое низкое парциальное настоящее. Основной тон может быть создан вибрацией по всей длине струны или столба воздуха, или более высокой гармоникой, выбранной исполнителем. Основной тон — это одна из гармоник . Гармоника — это любой член гармонического ряда, идеальный набор частот, которые являются положительными целыми кратными общей фундаментальной частоты. Причина, по которой фундаментальный тон также считается гармоникой, заключается в том, что он равен 1 раз самому себе. ^[11]

Основная частота — это частота, на которой вибрирует вся волна. Обертоны — это другие синусоидальные компоненты, присутствующие на частотах выше основной. Все частотные компоненты, составляющие общую форму волны, включая основную и обертоны, называются парциальными. Вместе они образуют гармонический ряд. Обертоны, которые являются совершенными целыми кратными основной, называются гармониками. Когда обертон близок к гармоническому, но не является точным, его иногда называют гармоническим парциальным, хотя их часто называют просто гармониками. Иногда создаются обертоны, которые и близко не близки к гармонике, и их просто называют парциальными или негармоническими обертонами.

Основная частота считается первой гармоникой и первой парциальной . Нумерация парциалов и гармоник тогда обычно одинакова; вторая парциальная — вторая гармоника и т. д. Но если есть негармоничные парциалы, нумерация больше не совпадает. Обертоны нумеруются по мере их появления над основной. Поэтому, строго говоря, первый обертон — это вторая парциальная (и обычно вторая гармоника). Поскольку это может привести к путанице, только гармоники обычно обозначаются по их номерам, а обертоны и парциалы описываются по их отношениям к этим гармоникам.

Механические системы

Рассмотрим пружину, закрепленную на одном конце и имеющую массу, прикрепленную к другому; это будет осциллятор с одной степенью свободы (SDoF). После приведения в движение он будет колебаться на своей собственной частоте. Для осциллятора с одной степенью свободы, системы, в которой движение можно описать одной координатой, собственная частота зависит от двух свойств системы: массы и жесткости; (при условии, что система не затухает). Собственную частоту, или основную частоту, ω ₀ , можно найти с помощью следующего уравнения:

${\displaystyle \omega _{\mathrm {0} }={\sqrt {\frac {k}{m}}}\,}$

где:

• k = жесткость пружины
• м = масса
• ω ₀ = собственная частота в радианах в секунду.

Чтобы определить собственную частоту в Гц, значение омега делится на 2π . Или:

${\displaystyle f_{\mathrm {0} }={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}\,}$

где:

• f ₀ = собственная частота (единица СИ: герц)
• k = жесткость пружины (единица СИ: ньютон/метр или Н/м)
• m = масса (единица СИ: кг).

При проведении модального анализа частота 1-й моды является основной частотой.

Это также выражается как:

${\displaystyle f_{\mathrm {0} }={\frac {1}{2l}}{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}\,}$

где:

• f ₀ = собственная частота (единица СИ: герц)
• l = длина струны (единица СИ: метр)
• μ = масса на единицу длины струны (единица СИ: кг/м)
• T = натяжение струны (единица СИ: ньютон) ^[12]

Смотрите также

• Наибольший общий делитель
• Герц
• Отсутствует фундаментальный
• Собственная частота
• Колебание
• Гармонический ряд (музыка)#Терминология
• Алгоритм определения высоты тона
• Шкала гармоник

Ссылки

1. Нисида, Сильвия Митико. «Сом, интенсивность, частота». Институт биологических наук Университета . Проверено 05 сентября 2024 г.
2. "sidfn". Phon.UCL.ac.uk. Архивировано из оригинала 2013-01-06 . Получено 2012-11-27 .
3. Лемметти, Сами (1999). «Фонетика и теория производства речи». Acoustics.hut.fi . Получено 27.11.2012 .
4. "Fundamental Frequency of Continuous Signals" (PDF) . Fourier.eng.hmc.edu. 2011. Архивировано из оригинала (PDF) 2014-05-14 . Получено 2012-11-27 .
5. "Стоячая волна в трубе II – Нахождение основной частоты" (PDF) . Nchsdduncanapphysics.wikispaces.com. Архивировано из оригинала (PDF) 2014-03-13 . Получено 2012-11-27 .
6. "Физика: Стоячие волны". Physics.Kennesaw.edu. Архивировано из оригинала (PDF) 2019-12-15 . Получено 2012-11-27 .
7. Поллок, Стивен (2005). "Phys 1240: Sound and Music" (PDF) . Colorado.edu. Архивировано из оригинала (PDF) 2014-05-15 . Получено 2012-11-27 .
8. "Стоячие волны на струне". Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . Получено 27.11.2012 .
9. "Создание музыкальных звуков". OpenLearn . Открытый университет. Архивировано из оригинала 2020-04-09 . Получено 2014-06-04 .
10. Бенвард, Брюс и Сейкер, Мэрилин (1997/2003). Музыка: в теории и практике , т. I, 7-е изд.; стр. xiii. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-294262-0 . 
11. Пирс, Джон Р. (2001). «Консонанс и гаммы». В Кук, Перри Р. (ред.). Музыка, познание и компьютеризированный звук . MIT Press . ISBN 978-0-262-53190-0.
12. «О калькуляторе струн». www.wirestrungharp.com .