Уравнение состояния

Соотношение между двумя физическими величинами, характерное для вещества

В физике и технике , определяющее уравнение или определяющее соотношение - это отношение между двумя или более физическими величинами (особенно кинетическими величинами по отношению к кинематическим величинам), которое является специфическим для материала или вещества или поля , и аппроксимирует его реакцию на внешние стимулы, обычно в виде приложенных полей или сил . Они объединяются с другими уравнениями, управляющими физическими законами, для решения физических задач; например, в механике жидкости поток жидкости в трубе , в физике твердого тела реакция кристалла на электрическое поле или в структурном анализе связь между приложенными напряжениями или нагрузками с деформациями .

Некоторые основные уравнения являются просто феноменологическими ; другие выводятся из первых принципов . Обычное приближенное основное уравнение часто выражается как простая пропорциональность с использованием параметра, принимаемого за свойство материала, такого как электропроводность или жесткость пружины . Однако часто необходимо учитывать направленную зависимость материала, и скалярный параметр обобщается до тензора . Основные соотношения также модифицируются для учета скорости реакции материалов и их нелинейного поведения. ^[1] См. статью Функция линейного отклика .

Механические свойства вещества

Первое определяющее уравнение (основной закон) было разработано Робертом Гуком и известно как закон Гука . Он касается случая линейных упругих материалов . После этого открытия этот тип уравнения, часто называемый в этом примере «соотношением напряжение-деформация», но также называемый «основным предположением» или «уравнением состояния», стал широко использоваться. Уолтер Нолл продвинул использование определяющих уравнений, прояснив их классификацию и роль требований инвариантности, ограничений и определений таких терминов, как «материал», «изотропный», «аэлотропный» и т. д. Класс «определяющих соотношений» формы скорость напряжения = f (градиент скорости, напряжение, плотность) был предметом диссертации Уолтера Нолла в 1954 году под руководством Клиффорда Трусделла . ^[2]

В современной физике конденсированного состояния материальные уравнения играют важную роль. См. Линейные материальные уравнения и Нелинейные корреляционные функции . ^[3]

Определения

Деформация твердых тел

Трение

Трение — сложное явление. Макроскопически сила трения F между интерфейсом двух материалов может быть смоделирована как пропорциональная силе реакции R в точке контакта между двумя интерфейсами через безразмерный коэффициент трения μ _f , который зависит от пары материалов:

${\displaystyle F=\mu _{\text{f}}R.}$

Это можно применить к статическому трению (трению, препятствующему скольжению двух неподвижных объектов), кинетическому трению (трению между двумя объектами, скользящими друг относительно друга) или качению (силе трения, которая препятствует скольжению, но создает крутящий момент, действующий на круглый объект).

Стресс и напряжение

Конститутивное соотношение напряжение-деформация для линейных материалов обычно известно как закон Гука . В своей простейшей форме закон определяет константу пружины (или константу упругости) k в скалярном уравнении, утверждая, что сила растяжения/сжатия пропорциональна растянутому (или сокращенному) смещению x :

${\displaystyle F_{i}=-kx_{i}}$

то есть материал реагирует линейно. Эквивалентно, в терминах напряжения σ , модуля Юнга E и деформации ε (безразмерной):

${\displaystyle \sigma =E\,\varepsilon }$

В общем случае силы, деформирующие твердые тела, могут быть нормальными к поверхности материала (нормальные силы) или касательными (сдвиговые силы). Это можно описать математически с помощью тензора напряжений :

${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\rightleftharpoons \,\varepsilon _{ij}=S_{ijkl}\,\sigma _{kl}}$

где C — тензор упругости , а S — тензор податливости .

Твердотельные деформации

Ниже приведены несколько классов деформаций в упругих материалах: ^[4]

Пластик

Приложенная сила вызывает необратимые деформации в материале, когда напряжение (или упругая деформация) достигает критической величины, называемой пределом текучести.

Эластичный

Материал восстанавливает свою первоначальную форму после деформации.

Вязкоупругий

Если зависящие от времени резистивные вклады велики и ими нельзя пренебречь. Резины и пластики обладают этим свойством и, конечно, не удовлетворяют закону Гука. Фактически, происходит упругий гистерезис.

Неэластичный

Если материал близок к упругому, но приложенная сила вызывает дополнительные силы сопротивления, зависящие от времени (т. е. зависящие от скорости изменения растяжения/сжатия, в дополнение к растяжению/сжатию). Металлы и керамика обладают этой характеристикой, но она обычно незначительна, хотя и не так велика, когда происходит нагрев из-за трения (например, вибрации или напряжения сдвига в машинах).

Гиперэластичный

Приложенная сила вызывает смещения в материале в соответствии с функцией плотности энергии деформации .

Столкновения

Относительная скорость отделения v от объекта A после _{столкновения} с другим объектом B связана с относительной скоростью сближения v _{сближения} коэффициентом восстановления , определяемым экспериментальным законом удара Ньютона : ^[5]

${\displaystyle e={\frac {|\mathbf {v} |_{\text{separation}}}{|\mathbf {v} |_{\text{approach}}}}}$

который зависит от материалов, из которых сделаны A и B, поскольку столкновение включает взаимодействия на поверхностях A и B. Обычно 0 ≤ e ≤ 1 , при этом e = 1 для полностью упругих столкновений и e = 0 для полностью неупругих столкновений . Возможно возникновение e ≥ 1 — для сверхупругих (или взрывных) столкновений.

Деформация жидкостей

Уравнение сопротивления определяет силу сопротивления D, действующую на объект с площадью поперечного сечения A, движущийся через жидкость плотностью ρ со скоростью v (относительно жидкости)

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}c_{d}\rho Av^{2}}$

где коэффициент сопротивления (безразмерный) c _d зависит от геометрии объекта и сил сопротивления на границе раздела между жидкостью и объектом.

Для ньютоновской жидкости с вязкостью μ сдвиговое напряжение τ линейно связано со скоростью деформации ( градиентом скорости поперечного потока ) ∂ u /∂ y (единицы с ⁻¹ ). В однородном сдвиговом потоке :

${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}},}$

с u ( y ) изменение скорости потока u в поперечном направлении y . В общем случае для ньютоновской жидкости соотношение между элементами τ _ij тензора касательных напряжений и деформацией жидкости определяется как

${\displaystyle \tau _{ij}=2\mu \left(e_{ij}-{\frac {1}{3}}\Delta \delta _{ij}\right)}$  с и  ${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$    ${\displaystyle \Delta =\sum _{k}e_{kk}={\text{div}}\;\mathbf {v} ,}$

где v _i — компоненты вектора скорости потока в соответствующих направлениях координат x _i , e _ij — компоненты тензора скорости деформации, Δ — объемная скорость деформации (или скорость расширения), а δ _ij — дельта Кронекера . ^[6]

Закон идеального газа является конститутивным соотношением в том смысле, что давление p и объем V связаны с температурой T через число молей n газа:

${\displaystyle pV=nRT}$

где R — газовая постоянная (Дж⋅К ⁻¹ ⋅моль ⁻¹ ).

Электромагнетизм

Основные уравнения в электромагнетизме и смежных областях

Как в классической , так и в квантовой физике точная динамика системы образует набор связанных дифференциальных уравнений , которые почти всегда слишком сложны для точного решения, даже на уровне статистической механики . В контексте электромагнетизма это замечание относится не только к динамике свободных зарядов и токов (которые входят в уравнения Максвелла напрямую), но и к динамике связанных зарядов и токов (которые входят в уравнения Максвелла через определяющие соотношения). В результате обычно используются различные схемы аппроксимации.

Например, в реальных материалах для определения временного и пространственного отклика зарядов необходимо решать сложные уравнения переноса, например, уравнение Больцмана или уравнение Фоккера–Планка или уравнения Навье–Стокса . Например, см. магнитогидродинамика , динамика жидкости , электрогидродинамика , сверхпроводимость , моделирование плазмы . Разработан целый физический аппарат для решения этих вопросов. См., например, линейная теория отклика , соотношения Грина–Кубо и функция Грина (теория многих тел) .

Эти сложные теории предоставляют подробные формулы для основных соотношений, описывающих электрический отклик различных материалов, таких как диэлектрическая проницаемость , проницаемость , проводимость и т. д.

Прежде чем приступать к расчетам в электромагнетизме (т.е. применять макроскопические уравнения Максвелла), необходимо указать соотношения между полями смещения D и E и магнитным полем H и B. Эти уравнения определяют реакцию связанного заряда и тока на приложенные поля и называются определяющими соотношениями.

Определение конститутивной связи между вспомогательными полями D и H и полями E и B начинается с определения самих вспомогательных полей:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}}$

где P — поле поляризации , а M — поле намагничивания , которые определяются в терминах микроскопических связанных зарядов и связанного тока соответственно. Прежде чем перейти к расчету M и P, полезно рассмотреть следующие особые случаи.

Без магнитных и диэлектрических материалов

При отсутствии магнитных или диэлектрических материалов определяющие соотношения просты:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}$

где ε ₀ и μ ₀ — две универсальные константы, называемые соответственно диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью свободного пространства.

Изотропные линейные материалы

В ( изотропном ^[7] ) линейном материале, где P пропорционален E , а M пропорционален B , определяющие соотношения также являются прямыми. В терминах поляризации P и намагниченности M они имеют вид:

${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,}$

где χ _e и χ _m — электрическая и магнитная восприимчивость данного материала соответственно. В терминах D и H основные соотношения следующие:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu ,}$

где ε и μ — константы (которые зависят от материала), называемые соответственно диэлектрической и магнитной проницаемостью материала. Они связаны с восприимчивостями следующим образом:

${\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=\chi _{e}+1,\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=\chi _{m}+1}$

Общий случай

Для реальных материалов конститутивные соотношения не являются линейными, за исключением приближенных. Расчет конститутивных соотношений из первых принципов включает определение того, как P и M создаются из заданных E и B. ^{[примечание 1]} Эти соотношения могут быть эмпирическими (основанными непосредственно на измерениях) или теоретическими (основанными на статистической механике , теории переноса или других инструментах физики конденсированных сред ). Используемая детализация может быть макроскопической или микроскопической , в зависимости от уровня, необходимого для рассматриваемой проблемы.

В общем случае определяющие соотношения обычно можно записать следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mu ^{-1}\mathbf {B} }$

но ε и μ не являются, в общем случае, простыми константами, а скорее функциями E , B , положения и времени, и тензорными по своей природе. Примеры:

• Дисперсия и поглощение , где ε и μ являются функциями частоты. (Причинность не позволяет материалам быть недисперсными; см., например, соотношения Крамерса–Кронига .) Также поля не должны быть в фазе, что приводит к тому, что ε и μ являются комплексными . Это также приводит к поглощению.
• Нелинейность ,где ε и μ являются функциями E и B.
• Анизотропия (например, двулучепреломление или дихроизм ), которая возникает, когда ε и μ являются тензорами второго ранга, $${\displaystyle D_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}E_{j},\quad B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.}$$
• Зависимость P и M от E и B в других местах и ​​временах. Это может быть связано с пространственной неоднородностью ; например, в доменной структуре , гетероструктуре или жидком кристалле , или, что наиболее часто, в ситуации, когда просто несколько материалов занимают разные области пространства. Или это может быть связано с изменяющейся во времени средой или с гистерезисом . В таких случаях P и M можно рассчитать как: ^{[8] [9]} в котором функции диэлектрической проницаемости и проницаемости заменяются интегралами по более общим электрическим и магнитным восприимчивостям. ^[10] В однородных материалах зависимость от других мест известна как пространственная дисперсия . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{e}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {E} \right)\,\mathbf {E} \left(\mathbf {r} ',t'\right)\\\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{m}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {B} \right)\,\mathbf {B} \left(\mathbf {r} ',t'\right),\end{aligned}}}$$

В качестве вариации этих примеров, в общем случае материалы являются бианизотропными , где D и B зависят как от E, так и от H , через дополнительные константы связи ξ и ζ : ^[11]

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} .}$

На практике некоторые свойства материалов оказывают незначительное влияние в определенных обстоятельствах, что позволяет пренебречь малыми эффектами. Например: оптические нелинейности можно игнорировать для низких напряженностей поля; дисперсия материала не важна, когда частота ограничена узкой полосой пропускания ; поглощение материала можно пренебречь для длин волн, для которых материал прозрачен; и металлы с конечной проводимостью часто аппроксимируются на микроволнах или более длинных волнах как идеальные металлы с бесконечной проводимостью (образующие жесткие барьеры с нулевой глубиной проникновения поля скин-слоя).

Некоторые искусственные материалы, такие как метаматериалы и фотонные кристаллы , имеют настраиваемую диэлектрическую и проницаемость.

Расчет учредительных соотношений

Теоретический расчет основных уравнений материала является распространенной, важной и иногда сложной задачей в теоретической физике конденсированного состояния и материаловедении . В общем случае основные уравнения теоретически определяются путем расчета того, как молекула реагирует на локальные поля через силу Лоренца . Может потребоваться моделирование и других сил, таких как колебания решетки в кристаллах или силы связи. Включение всех сил приводит к изменениям в молекуле, которые используются для расчета P и M как функции локальных полей.

Локальные поля отличаются от приложенных полей из-за полей, создаваемых поляризацией и намагничиванием близлежащего материала; эффект, который также необходимо моделировать. Кроме того, реальные материалы не являются непрерывными средами ; локальные поля реальных материалов сильно различаются в атомном масштабе. Поля необходимо усреднить по подходящему объему, чтобы сформировать приближение континуума.

Эти континуальные приближения часто требуют некоторого типа квантово-механического анализа, такого как квантовая теория поля в применении к физике конденсированного состояния . См., например, теорию функционала плотности , соотношения Грина–Кубо и функцию Грина .

Другой набор методов гомогенизации (развивающийся из традиции обработки таких материалов, как конгломераты и ламинаты ) основан на аппроксимации неоднородного материала однородной эффективной средой ^{[12] [13]} (справедливо для возбуждений с длинами волн, намного большими, чем масштаб неоднородности). ^{[14] [15] [16] [17]}

Теоретическое моделирование свойств континуального приближения многих реальных материалов часто также опирается на экспериментальные измерения. ^[18] Например, ε изолятора на низких частотах можно измерить, превратив его в плоский конденсатор , а ε на оптических частотах часто измеряют с помощью эллипсометрии .

Термоэлектрические и электромагнитные свойства вещества

Эти уравнения состояния часто используются в кристаллографии , области физики твердого тела . ^[19]

Фотоника

Показатель преломления

(Абсолютный) показатель преломления среды n (безразмерный) является неотъемлемо важным свойством геометрической и физической оптики, определяемым как отношение скорости света в вакууме c ₀ к скорости света в среде c :

${\displaystyle n={\frac {c_{0}}{c}}={\sqrt {\frac {\varepsilon \mu }{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}={\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}}$

где ε — диэлектрическая проницаемость, а ε _{r —} относительная диэлектрическая проницаемость среды, аналогично μ — магнитная проницаемость, а μ _r — относительная магнитная проницаемость среды. Диэлектрическая проницаемость вакуума равна ε ₀ , а магнитная проницаемость вакуума равна μ ₀ . В общем случае n (также ε _r ) — комплексные числа .

Относительный показатель преломления определяется как отношение двух показателей преломления. Абсолютный показатель относится к одному материалу, относительный показатель относится к каждой возможной паре интерфейсов;

${\displaystyle n_{AB}={\frac {n_{A}}{n_{B}}}}$

Скорость светав материи

Как следствие определения, скорость света в материи равна

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}}$

для особого случая вакуума; ε = ε ₀ и µ = µ ₀ ,

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}$

Пьезооптический эффект

Пьезооптический эффект связывает напряжения в твердых телах σ с диэлектрической проницаемостью a , которые связаны тензором четвертого ранга, называемым пьезооптическим коэффициентом Π (единицы К ⁻¹ ):

${\displaystyle a_{ij}=\Pi _{ijpq}\sigma _{pq}}$

Явления переноса

Определения

Окончательные законы

Есть несколько законов, которые описывают перенос материи или ее свойства почти идентичным образом. В каждом случае, словами они гласят:

Поток (плотность) пропорционален градиенту , коэффициент пропорциональности является характеристикой материала.

В общем случае константу необходимо заменить тензором 2-го ранга, чтобы учесть направленные зависимости материала.

Смотрите также

• Определение уравнения (физическая химия)
• Основное уравнение
• Принцип материальной объективности
• Реология

Примечания

1. Свободные заряды и токи реагируют на поля через закон силы Лоренца , и этот ответ рассчитывается на фундаментальном уровне с использованием механики. Реакция связанных зарядов и токов рассматривается с использованием более грубых методов, подпадающих под понятия намагничивания и поляризации. В зависимости от задачи можно выбрать полное отсутствие свободных зарядов.

Ссылки

1. Клиффорд Трусделл и Уолтер Нолл; Стюарт С. Антман, редактор (2004). Нелинейные полевые теории механики. Springer. стр. 4. ISBN 3-540-02779-3. {{cite book}}: |author=имеет общее название ( помощь )CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. См. отчет Трусделла в Truesdell The naturalization and apotheosis of Walter Noll . См. также отчет Нолла и классический трактат обоих авторов: Clifford Truesdell & Walter Noll – Stuart S. Antman (редактор) (2004). "Предисловие" (Первоначально опубликовано как том III/3 знаменитой Encyclopedia of Physics в 1965 году) . The Non-linear Field Theories of Mechanics (3-е изд.). Springer. стр. xiii. ISBN 3-540-02779-3. {{cite book}}: |author=имеет общее название ( помощь )
3. Йорген Раммер (2007). Квантовая теория поля неравновесных состояний. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87499-1.
4. Энциклопедия физики (2-е издание), Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
5. Основные принципы физики, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2-е издание, 1978, Джон Мюррей, ISBN 0 7195 3382 1 
6. Кей, Дж. М. (1985). Механика жидкости и процессы переноса . Cambridge University Press. С. 10 и 122–124. ISBN 9780521316248.
7. Обобщение на неизотропные материалы осуществляется напрямую: просто замените константы тензорными величинами.
8. Халеви, Питер (1992). Пространственная дисперсия в твердых телах и плазме . Амстердам: Северная Голландия. ISBN 978-0-444-87405-4.
9. Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
10. Обратите внимание, что термин «магнитная восприимчивость» , используемый здесь, выражен в терминах B и отличается от стандартного определения в терминах H.
11. TG Mackay; A Lakhtakia (2010). Электромагнитная анизотропия и бианизотропия: Полевое руководство. World Scientific. Архивировано из оригинала 2010-10-13 . Получено 2012-05-22 .
12. Аспнес, Д. Э. , «Эффекты локального поля и теория эффективной среды: микроскопическая перспектива», Am. J. Phys. 50 , стр. 704–709 (1982).
13. Хабиб Аммари; Хёнбэ Кан (2006). Обратные задачи, многомасштабный анализ и теория эффективной среды: семинар в Сеуле, Обратные задачи, многомасштабный анализ и гомогенизация, 22–24 июня 2005 г., Сеульский национальный университет, Сеул, Корея. Providence RI: Американское математическое общество. стр. 282. ISBN 0-8218-3968-3.
14. OC Zienkiewicz; Robert Leroy Taylor; JZ Zhu; Perumal Nithiarasu (2005). Метод конечных элементов (шестое изд.). Oxford UK: Butterworth-Heinemann. стр. 550 и далее. ISBN 0-7506-6321-9.
15. Н. Бахвалов и Г. Панасенко, Усреднение: процессы усреднения в периодических средах (Kluwer: Dordrecht, 1989); В. В. Жиков, С. М. Козлов и О. А. Олейник, Усреднение дифференциальных операторов и интегральных функционалов (Springer: Berlin, 1994).
16. Виталий Ломакин; Штейнберг Б.З.; Хейман Э.; Фельсен Л.Б. (2003). "Многоуровневая гомогенизация полевых и сетевых формулировок для многомасштабных ламинированных диэлектрических пластин" (PDF) . Труды IEEE по антеннам и распространению волн . 51 (10): 2761 и далее. Bibcode :2003ITAP...51.2761L. doi :10.1109/TAP.2003.816356. Архивировано из оригинала (PDF) 2012-05-14.
17. AC Gilbert (Ronald R Coifman, Editor) (май 2000). Темы анализа и его применения: избранные диссертации. Сингапур: World Scientific Publishing Company. стр. 155. ISBN 981-02-4094-5. {{cite book}}: |author=имеет общее название ( помощь )
18. Эдвард Д. Палик; Гош Г (1998). Справочник по оптическим константам твердых тел. Лондон, Великобритания: Academic Press. стр. 1114. ISBN 0-12-544422-2.
19. "2. Физические свойства как тензоры". www.mx.iucr.org . Архивировано из оригинала 19 апреля 2018 г. Получено 19 апреля 2018 г.