Изолированная сингулярность

Не имеет других сингулярностей, близких к ней.

В комплексном анализе , разделе математики , изолированная особенность — это та, которая не имеет других особенностей вблизи себя. Другими словами, комплексное число z ₀ является изолированной особенностью функции f, если существует открытый круг D с центром в точке z ₀ такой, что f голоморфна на D  \ {z ₀ }, то есть на множестве , полученном из D вычитанием z ₀ .

Формально и в рамках общей топологии изолированная особенность голоморфной функции — это любая изолированная точка границы области . Другими словами, если — открытое подмножество , а — голоморфная функция, то — изолированная особенность . ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle f:U\setminus \{a\}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$

Каждая особенность мероморфной функции на открытом подмножестве изолирована, но изоляции особенностей недостаточно, чтобы гарантировать мероморфность функции. Многие важные инструменты комплексного анализа, такие как ряды Лорана и теорема о вычетах, требуют, чтобы все соответствующие особенности функции были изолированы. Существует три типа изолированных особенностей: устранимые особенности , полюса и существенные особенности . ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$

Примеры

• Функция имеет 0 как изолированную особенность. ${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$
• Функция косеканса имеет каждое целое число как изолированную особенность. ${\displaystyle \csc \left(\pi z\right)}$

Неизолированные сингулярности

Помимо изолированных сингулярностей, сложные функции одной переменной могут демонстрировать иное сингулярное поведение. А именно, существуют два вида неизолированных сингулярностей:

• Точки скопления , т.е. предельные точки изолированных особенностей: если все они являются полюсами, то, несмотря на допущение разложения в ряд Лорана для каждой из них, такое разложение невозможно на ее пределе.
• Естественные границы , т. е. любое неизолированное множество (например, кривая), вокруг которого функции не могут быть аналитически продолжены (или за их пределами, если они являются замкнутыми кривыми на сфере Римана ).

Примеры

Естественной границей этого степенного ряда является единичная окружность (см. примеры).

• Функция мероморфна на , с простыми полюсами в , для каждого . Поскольку , каждый проколотый диск с центром в имеет бесконечное число особенностей внутри, поэтому разложение Лорана недоступно для около , которое фактически является точкой скопления его полюсов. ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\textstyle z_{n}=\left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)^{-1}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle z_{n}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$ ${\displaystyle 0}$
• Функция имеет особенность в точке 0, которая не является изолированной, поскольку существуют дополнительные особенности в точке, обратной каждому целому числу , которые расположены произвольно близко к 0 (хотя особенности в этих обратных величинах сами по себе являются изолированными). ${\textstyle \csc \left({\frac {\pi }{z}}\right)}$
• Функция, определяемая с помощью ряда Маклорена, сходится внутри открытого единичного круга с центром в точке и имеет единичную окружность в качестве своей естественной границы. ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$ ${\displaystyle 0}$

Внешние ссылки

• Альфорс, Л. , Комплексный анализ, 3-е изд. (McGraw-Hill, 1979).
• Рудин, В. , Действительный и комплексный анализ, 3-е изд. (McGraw-Hill, 1986).
• Вайсштейн, Эрик В. «Сингулярность». MathWorld .