Особые гомологии

Концепция алгебраической топологии

В алгебраической топологии сингулярная гомология относится к изучению определенного набора алгебраических инвариантов топологического пространства X , так называемых групп гомологий. Интуитивно, сингулярные гомологии подсчитывают для каждого измерения n n -мерные дыры пространства. Сингулярная гомология — частный пример теории гомологии , которая теперь превратилась в довольно обширную коллекцию теорий. Из различных теорий это, пожалуй, одна из самых простых для понимания, поскольку она построена на достаточно конкретных конструкциях (см. также родственную теорию симплициальной гомологии ). ${\displaystyle H_{n}(X).}$

Короче говоря, сингулярные гомологии строятся путем взятия карт стандартного n - симплекса в топологическое пространство и составления их в формальные суммы , называемые сингулярными цепями . Граничная операция – отображение каждого n -мерного симплекса на его ( n -1)-мерную границу – индуцирует сингулярный цепной комплекс . Тогда сингулярные гомологии являются гомологиями цепного комплекса. Полученные группы гомологий одинаковы для всех гомотопически эквивалентных пространств, что и является причиной их изучения. Эти конструкции применимы ко всем топологическим пространствам, и поэтому сингулярные гомологии выражаются как функтор из категории топологических пространств в категорию градуированных абелевых групп .

Особые симплексы

Стандартный 2-симплекс Δ ² в R ³

Особый n -симплекс в топологическом пространстве X — это непрерывная функция (также называемая отображением) стандартного n - симплекса в X , записанная: Это отображение не обязательно должно быть инъективным , и могут существовать неэквивалентные сингулярные симплексы с одинаковым образом в Х.​ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma :\Delta ^{n}\to X.}$

Граница обозначается как формальная сумма сингулярных ( n  - 1)-симплексов, представленных ограничением на грани стандартного n -симплекса, с переменным знаком для учета ориентации. (Формальная сумма — это элемент свободной абелевой группы на симплексах. Основой группы является бесконечное множество всех возможных сингулярных симплексов. Групповая операция — это «сложение», а сумма симплекса a с симплексом b обычно просто обозначим a  +  b , но a  +  a  = 2 a и т. д. Каждый симплекс a имеет отрицательное значение − a .) Таким образом, если обозначить его вершины. ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle \partial _{n}\sigma ,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle [p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=[\sigma (e_{0}),\sigma (e_{1}),\ldots ,\sigma (e_{n})]}$

соответствующие вершинам стандартного n -симплекса (который, конечно, не полностью определяет сингулярный симплекс, созданный ), то ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \partial _{n}\sigma =\partial _{n}[p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}[p_{0},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{n}]=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sigma \mid _{e_{0},\ldots ,e_{k-1},e_{k+1},\ldots ,e_{n}}}$

есть формальная сумма граней симплексного изображения, обозначенных определенным образом. ^[1] (То есть, конкретная грань должна быть ограничением на грань, которая зависит от порядка перечисления ее вершин.) Таким образом, например, граница (кривая, идущая от к ) является формальной сумма (или «формальная разница») . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma =[p_{0},p_{1}]}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle [p_{1}]-[p_{0}]}$

Сингулярный цепной комплекс

Обычное построение сингулярной гомологии происходит путем определения формальных сумм симплексов, которые можно понимать как элементы свободной абелевой группы , а затем показа, что мы можем определить определенную группу, группу гомологий топологического пространства, с участием граничного оператора .

Рассмотрим сначала множество всех возможных сингулярных n- симплексов в топологическом пространстве X. Этот набор можно использовать в качестве основы свободной абелевой группы , так что каждый сингулярный n -симплекс является генератором группы. Этот набор образующих, конечно, обычно бесконечен, часто несчетен , поскольку существует множество способов отображения симплекса в типичное топологическое пространство. Свободную абелеву группу, порожденную этим базисом, обычно обозначают как . Элементы называются сингулярными n -цепями ; они представляют собой формальные суммы сингулярных симплексов с целыми коэффициентами. ${\displaystyle \sigma _{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$

Границу легко расширить, чтобы она действовала на особых n -цепях . Расширение, называемое граничным оператором , записанное как ${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

является гомоморфизмом групп. Граничный оператор вместе с , образуют цепной комплекс абелевых групп, называемый сингулярным комплексом . Его часто обозначают как или проще . ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })}$ ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$

Ядро граничного оператора есть и называется группой сингулярных n -циклов . Образ граничного оператора есть и называется группой особых n -границ . ${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle B_{n}(X)=\operatorname {im} (\partial _{n+1})}$

Можно также показать, что , подразумевая . -я группа гомологии тогда определяется как фактор-группа ${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}$ ${\displaystyle B_{n}(X)\subseteq Z_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}(X)/B_{n}(X).}$

Элементы называются классами гомологии . ^[2] ${\displaystyle H_{n}(X)}$

Гомотопическая инвариантность

Если X и Y — два топологических пространства одного и того же гомотопического типа (т.е. гомотопически эквивалентны ), то

${\displaystyle H_{n}(X)\cong H_{n}(Y)\,}$

для всех n ≥ 0. Это означает, что группы гомологии являются гомотопическими инвариантами и, следовательно, топологическими инвариантами .

В частности, если X — связное стягиваемое пространство , то все его группы гомологий равны 0, кроме . ${\displaystyle H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} }$

Доказательство гомотопической инвариантности сингулярных групп гомологий можно схематически представить следующим образом. Непрерывное отображение f : X → Y индуцирует гомоморфизм

${\displaystyle f_{\sharp }:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(Y).}$

Можно сразу убедиться, что

${\displaystyle \partial f_{\sharp }=f_{\sharp }\partial ,}$

т. е. f _# является цепным отображением , которое сводится к гомоморфизмам гомологии

${\displaystyle f_{*}:H_{n}(X)\rightarrow H_{n}(Y).}$

Теперь мы покажем, что если f и g гомотопически эквивалентны, то f _* = g _* . Отсюда следует, что если f — гомотопическая эквивалентность, то f _* — изоморфизм.

Пусть F  : X × [0, 1] → Y — гомотопия, переводящая f в g . На уровне цепей определим гомоморфизм

${\displaystyle P:C_{n}(X)\rightarrow C_{n+1}(Y)}$

что, геометрически говоря, переводит базисный элемент σ: Δ ⁿ → X группы C _n ( X ) в «призму» P (σ): Δ ⁿ × I → Y . Границу P (σ) можно выразить как

${\displaystyle \partial P(\sigma )=f_{\sharp }(\sigma )-g_{\sharp }(\sigma )-P(\partial \sigma ).}$

Итак, если _α в Cn ( X ) является n -циклом, то f _# ( α ) и g _# ( α ) различаются границей:

${\displaystyle f_{\sharp }(\alpha )-g_{\sharp }(\alpha )=\partial P(\alpha ),}$

т.е. они гомологичны. Это доказывает утверждение. ^[3]

Группы гомологии общих пространств

В таблице ниже показаны k-ые группы гомологий n- мерных вещественных проективных пространств RP ⁿ , комплексных проективных пространств, CP ⁿ , точки, сфер Sn ⁽ ) и 3-тора T ³ с целыми коэффициентами. ${\displaystyle H_{k}(X)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

Функциональность

Приведенная выше конструкция может быть определена для любого топологического пространства и сохраняется под действием непрерывных отображений. Эта общность означает, что теорию сингулярной гомологии можно переписать на языке теории категорий . В частности, под группой гомологии можно понимать функтор из категории топологических пространств Top в категорию абелевых групп Ab .

Рассмотрим сначала, что это отображение топологических пространств в свободные абелевы группы. Это предполагает, что его можно считать функтором, если можно понять его действие на морфизмы Top . Теперь морфизмы Top являются непрерывными функциями, поэтому, если это непрерывное отображение топологических пространств, его можно расширить до гомоморфизма групп. ${\displaystyle X\mapsto C_{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f_{*}:C_{n}(X)\to C_{n}(Y)\,}$

определяя

${\displaystyle f_{*}\left(\sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}a_{i}(f\circ \sigma _{i})}$

где – сингулярный симплекс, а – особая n -цепь, т. е. элемент из . Это показывает, что является функтором ${\displaystyle \sigma _{i}:\Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\,}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle C_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }$

из категории топологических пространств в категорию абелевых групп .

Граничный оператор коммутирует с непрерывными отображениями, так что . Это позволяет рассматривать весь цепной комплекс как функтор. В частности, это показывает, что отображение является функтором ${\displaystyle \partial _{n}f_{*}=f_{*}\partial _{n}}$ ${\displaystyle X\mapsto H_{n}(X)}$

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }$

из категории топологических пространств в категорию абелевых групп. Согласно аксиоме гомотопии, это также функтор, называемый функтором гомологий, действующий на hTop , факторгомотопическую категорию : ${\displaystyle H_{n}}$

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {hTop} \to \mathbf {Ab} .}$

Это отличает сингулярные гомологии от других теорий гомологии, в которых все еще является функтором, но не обязательно определен на всем Top . В некотором смысле сингулярная гомология является «самой большой» теорией гомологии, поскольку каждая теория гомологии в подкатегории Top согласуется с сингулярными гомологиями в этой подкатегории. С другой стороны, сингулярная гомология не обладает самыми чистыми категориальными свойствами; такая очистка мотивирует развитие других теорий гомологии, таких как клеточная гомология . ${\displaystyle H_{n}}$

В более общем смысле, функтор гомологии определяется аксиоматически как функтор абелевой категории или, альтернативно, как функтор цепных комплексов , удовлетворяющий аксиомам, которые требуют граничного морфизма , который превращает короткие точные последовательности в длинные точные последовательности . В случае сингулярной гомологии функтор гомологии можно разложить на две части: топологическую часть и алгебраическую часть. Топологическая часть имеет вид

${\displaystyle C_{\bullet }:\mathbf {Top} \to \mathbf {Comp} }$

который отображает топологические пространства как и непрерывные функции как . Здесь, таким образом, понимается сингулярный цепной функтор, который отображает топологические пространства в категорию цепных комплексов Comp (или Kom ). Категория цепных комплексов имеет цепные комплексы в качестве своих объектов и цепные отображения в качестве своих морфизмов . ${\displaystyle X\mapsto (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })}$ ${\displaystyle f\mapsto f_{*}}$ ${\displaystyle C_{\bullet }}$

Вторая, алгебраическая часть — это функтор гомологии

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {Comp} \to \mathbf {Ab} }$

какие карты

${\displaystyle C_{\bullet }\mapsto H_{n}(C_{\bullet })=Z_{n}(C_{\bullet })/B_{n}(C_{\bullet })}$

и переводит цепные отображения в карты абелевых групп. Именно этот функтор гомологии может быть определен аксиоматически, так что он выступает сам по себе как функтор категории цепных комплексов.

Гомотопические карты вновь появляются на сцене, определяя гомотопически эквивалентные цепные карты. Таким образом, можно определить фактор-категорию hComp или K , гомотопическую категорию цепных комплексов .

Коэффициенты вр

Для любого кольца R с единицей множество особых n -симплексов в топологическом пространстве можно считать генераторами свободного R -модуля . То есть вместо того, чтобы выполнять приведенные выше конструкции из исходной точки свободных абелевых групп, вместо них используются свободные R -модули. Все конструкции проходят практически без изменений. Результатом этого является

${\displaystyle H_{n}(X;R)\ }$

который теперь является R -модулем . Конечно, обычно это не бесплатный модуль. Обычная группа гомологии восстанавливается, если отметить, что

${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )=H_{n}(X)}$

когда кто-то считает кольцо кольцом целых чисел. Обозначение H _n ( X ; R ) не следует путать с почти идентичным обозначением H _n ( X , A ), которое обозначает относительную гомологию (ниже).

Теорема об универсальных коэффициентах обеспечивает механизм вычисления гомологии с коэффициентами R в терминах гомологии с обычными целыми коэффициентами с использованием короткой точной последовательности

${\displaystyle 0\to H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R\to H_{n}(X;R)\to \mathrm {Tor} _{1}(H_{n-1}(X;\mathbb {Z} ),R)\to 0.}$

где Tor — функтор Tor . ^[8] Следует отметить, что если R не имеет кручения, то для любого G , поэтому приведенная выше короткая точная последовательность сводится к изоморфизму между и ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}(G,R)=0}$ ${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R}$ ${\displaystyle H_{n}(X;R).}$

Относительная гомология

Для подпространства под относительными гомологиями H n ₍ X , A ) понимаются гомологии фактора цепных комплексов, т. е. ${\displaystyle A\subset X}$

${\displaystyle H_{n}(X,A)=H_{n}(C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A))}$

где фактор цепных комплексов задается короткой точной последовательностью

${\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0.}$^[9]

Сниженная гомология

Сокращенная гомология пространства X , помеченная как, представляет собой незначительную модификацию обычной гомологии, которая упрощает выражения некоторых отношений и удовлетворяет интуитивному предположению о том, что все группы гомологии точки должны быть равны нулю. ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)}$

Для обычных гомологии, определенных на цепном комплексе:

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

Чтобы определить приведенную гомологию, мы дополняем цепной комплекс дополнительным промежутком и нулем: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle C_{0}}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0}$

где . Это можно оправдать, интерпретируя пустое множество как «(-1)-симплекс», что означает, что . ${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$ ${\displaystyle C_{-1}\simeq \mathbb {Z} }$

Приведенные группы гомологии теперь определяются для положительных n и . ^[10] ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{0}(X)=\ker(\epsilon )/\mathrm {im} (\partial _{1})}$

При n > 0, , а при n = 0 ${\displaystyle H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)}$ ${\displaystyle H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z} .}$

Когомологии

Дуализируя комплекс цепи гомологии (т.е. применяя функтор Hom(-, R ), где R — любое кольцо), мы получаем коцепной комплекс с кограничным отображением . Группы когомологий X определяются как группы гомологий этого комплекса ; шутливо говоря, «когомологии - это гомологии со [двойственного комплекса]». ${\displaystyle \delta }$

Группы когомологий имеют более богатую или, по крайней мере, более знакомую алгебраическую структуру, чем группы гомологий. Во-первых, они образуют дифференциально-градуированную алгебру следующим образом:

• градуированное множество групп образует градуированный R - модуль ;
• этому можно придать структуру градуированной R - алгебры , используя произведение чашки ;
• гомоморфизм Бокштейна β дает дифференциал.

Существуют дополнительные когомологические операции , и алгебра когомологий имеет структуру сложения mod p (как и раньше, когомологии mod p - это когомологии комплекса коцепей mod p , а не редукция когомологий mod p ), в частности структуру алгебры Стинрода .

Гомологии и когомологии Бетти

Поскольку число теорий гомологии стало большим (см. Категория: Теория гомологии ), термины гомологии Бетти и когомологии Бетти иногда применяются (особенно авторами, пишущими по алгебраической геометрии ) к теории сингулярностей, что приводит к появлению чисел Бетти наиболее знакомые пространства, такие как симплициальные комплексы и замкнутые многообразия .

Чрезвычайная гомология

Если определить теорию гомологии аксиоматически (через аксиомы Эйленберга-Стинрода ), а затем ослабить одну из аксиом ( аксиому размерности ), можно получить обобщенную теорию, называемую экстраординарной теорией гомологии . Первоначально они возникли в виде необычных теорий когомологий , а именно К-теории и теории кобордизмов . В этом контексте сингулярные гомологии называются обычными гомологиями.

Смотрите также

• Производная категория
• Теорема об вырезании
• Теорема Гуревича
• Симплициальная гомология
• Клеточная гомология

Рекомендации

1. Хэтчер, 105
2. Хэтчер, 108
3. Теорема 2.10. Хэтчер, 111
4. Хэтчер, 144
5. Хэтчер, 140
6. Хэтчер, 110
7. Хэтчер, 142-143.
8. Хэтчер, 264
9. Хэтчер, 115
10. Хэтчер, 110

• Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0 
• Дж. П. Мэй, Краткий курс алгебраической топологии , ISBN издательства Чикагского университета 0-226-51183-9 
• Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию , Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1