Осоэдр

Сферический многогранник, состоящий из лунок

Этот пляжный мяч будет представлять собой осоэдр с шестью сферическими гранями лунок, если убрать две белые шляпки на концах и вытянуть лунки так, чтобы они встретились на полюсах.

В сферической геометрии n-угольный осоэдр представляет собой мозаику лунок на сферической поверхности , так что каждая лунка имеет одни и те же две полярно противоположные вершины.

Правильный n -угольный осоэдр имеет символ Шлефли {2, n }, причем каждый сферический лунец имеет внутренний угол 2 π/нрадианы (360/нградусов). ^{[1] [2]}

Осоэдры как правильные многогранники

Для правильного многогранника, символ Шлефли которого равен { m ,  n }, количество многоугольных граней равно:

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2m+2n-mn}}.}$

Платоновые тела , известные в древности, являются единственными целочисленными решениями для m ≥ 3 и n ≥ 3. Ограничение m ≥ 3 требует, чтобы многоугольные грани имели как минимум три стороны.

При рассмотрении многогранников как сферической мозаики это ограничение можно ослабить, поскольку дигоны (2-угольники) можно представить как сферические лунки , имеющие ненулевую площадь .

Если допустить m = 2, то

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2\times 2+2n-2n}}=n,}$

и допускает новый бесконечный класс правильных многогранников — осоэдров. На сферической поверхности многогранник {2,  n } изображается как n примыкающих друг к другу лунок с внутренними углами2 π/н. Все эти сферические луны имеют две общие вершины.

Калейдоскопическая симметрия

Двуугольные сферические лунные грани -осоэдра , представляют собой фундаментальные области двугранной симметрии в трех измерениях : циклическую симметрию , , , порядок . Области отражения могут быть показаны попеременно окрашенными лунками в виде зеркальных изображений. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \{2,2n\}}$ ${\displaystyle C_{nv}}$ ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle (*nn)}$ ${\displaystyle 2n}$

Разделение каждой луны пополам на два сферических треугольника создает -угольную бипирамиду , которая представляет двугранную симметрию , порядок . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D_{nh}}$ ${\displaystyle 4n}$

Связь с телом Штейнмеца

Тетрагональный осоэдр топологически эквивалентен бицилиндрическому телу Штейнмеца , пересечению двух цилиндров под прямым углом. ^[3]

Производные многогранники

Двойственным к n-угольному осоэдру {2,  n } является n -угольный диэдр , { n , 2}. Многогранник {2,2} самодуален и является одновременно осоэдром и диэдром.

Осоэдр можно модифицировать так же, как и другие многогранники, для получения усеченной вариации. Усеченный n -угольный осоэдр — это n-угольная призма .

Апейрогональный осоэдр

В пределе осоэдр становится апейрогональным осоэдром как двумерная мозаика:

Гозотопы

Многомерные аналоги вообще называются гомотопами . Правильный гомотоп с символом Шлефли {2, p ,..., q } имеет две вершины, каждая из которых имеет фигуру вершины { p ,..., q }.

Двумерный гозотоп {2} является двуугольником .

Этимология

Термин «осоэдр», по-видимому, происходит от греческого ὅσος ( hosos ) «столько», идея состоит в том, что осоэдр может иметь « сколь угодно много граней». ^[4] Он был введен Вито Каравелли в восемнадцатом веке. ^[5]

Смотрите также

• Многогранник
• Многогранник

Рекомендации

1. Коксетер, Правильные многогранники , с. 12
2. Аннотация Правильные многогранники, с. 161
3. Вайсштейн, Эрик В. «Солид Штейнмец». Математический мир .
4. Стивен Шварцман (1 января 1994 г.). Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке . МАА. стр. 108–109. ISBN 978-0-88385-511-9.
5. Коксетер, HSM (1974). Правильные комплексные многогранники . Лондон: Издательство Кембриджского университета. п. 20. ISBN 0-521-20125-Х. Осоэдр {2,p} (в несколько искаженном виде) был назван Вито Каравелли (1724–1800)…

• МакМаллен, Питер ; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.), Абстрактные правильные многогранники (1-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81496-0
• Коксетер, HSM , Правильные многогранники (третье издание), Dover Publications Inc., ISBN 0-486-61480-8 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Осоэдр». Математический мир .