Неправильное вращение

Вращение, составленное с отражением

В геометрии неправильное вращение [ ^1] (также называемое вращением-отражением , ^[2] роторным отражением, ^[1] вращательным отражением , ^[3] или ротоинверсией ^[4] ) — это изометрия в евклидовом пространстве , которая является комбинацией вращения вокруг оси и отражения в плоскости, перпендикулярной этой оси. Отражение и инверсия являются частными случаями неправильного вращения. Любое неправильное вращение является аффинным преобразованием , а в случаях, когда начало координат остается фиксированным, линейным преобразованием . ^[5] Оно используется как операция симметрии в контексте геометрической симметрии , молекулярной симметрии и кристаллографии , где объект, который не изменяется при комбинации вращения и отражения, называется имеющим неправильную вращательную симметрию .

Три измерения

В 3 измерениях несобственное вращение эквивалентно определяется как комбинация вращения вокруг оси и инверсии в точке на оси. ^[1] По этой причине его также называют ротоинверсией или вращательной инверсией . Эти два определения эквивалентны, поскольку вращение на угол θ с последующим отражением является тем же преобразованием, что и вращение на θ + 180° с последующим инверсией (принимая точку инверсии в плоскость отражения). В обоих определениях операции коммутируют.

Трехмерная симметрия, имеющая только одну неподвижную точку , обязательно является неправильным вращением. ^[3]

Неправильное вращение объекта, таким образом, производит вращение его зеркального изображения . Ось называется осью вращения-отражения . ^[6] Это называется n -кратным неправильным вращением , если угол вращения до или после отражения равен 360°/ n (где n должно быть четным). ^[6] Существует несколько различных систем для обозначения отдельных неправильных вращений:

• В нотации Шёнфлиса символ S _n (нем. Spiegel , для зеркала ), где n должно быть четным, обозначает группу симметрии, порожденную n -кратным несобственным вращением. Например, операция симметрии S ₆ представляет собой комбинацию вращения на (360°/6)=60° и зеркального отражения. (Это не следует путать с тем же обозначением для симметричных групп ). ^[6]
• В нотации Германа–Могена символ n используется для n -кратного ротоинвертирования ; т. е. поворота на угол поворота 360°/ n с инверсией. Если n четное, оно должно делиться на 4. (Обратите внимание, что 2 будет просто отражением и обычно обозначается как «m», что означает «зеркало».) Когда n нечетное, это соответствует 2 n -кратному несобственному вращению (или вращательному отражению).
• Обозначение Кокстера для S _{2 n} имеет вид [2 n ⁺ ,2 ⁺ ] и, как подгруппа индекса 4 группы [2 n ,2],, полученный как результат трех отражений.
• Орбифолдная нотация имеет вид n ×, порядок 2 n .

  

  Подгруппы для S ₂ - S ₂₀ .
  C ₁ - единичная группа .
  S ₂ - центральная инверсия .
  C _n - циклические группы .

Подгруппы

• Прямая подгруппа S _{2 n} — это C _n , порядок n , индекс 2, представляющая собой генератор роторного отражения, примененный дважды.
• Для нечетного n S _{2 n} содержит инверсию , обозначаемую Ci или S ₂ . S _{2 n} — это прямое произведение : S _{2 n} = C _n  ×  S ₂ , _если n нечетное.
• Для любого n _{, если} нечетное p является делителем n , то S2n _{/ p} является подгруппой S2n , индекс _p . Например, _S4 является подгруппой _S12 , индекс 3 _.

Как косвенная изометрия

В более широком смысле несобственное вращение можно определить как любую косвенную изометрию ; т. е. элемент E (3)\E ⁺ (3): таким образом, оно может быть также чистым отражением в плоскости или иметь плоскость скольжения . Косвенная изометрия — это аффинное преобразование с ортогональной матрицей, которая имеет определитель −1.

Собственное вращение — это обычное вращение. В более широком смысле собственное вращение определяется как прямая изометрия ; т. е. элемент E ⁺ (3): это может быть также тождество, вращение с переносом вдоль оси или чистый перенос. Прямая изометрия — это аффинное преобразование с ортогональной матрицей, которая имеет определитель 1.

В узком или широком смысле композиция двух неправильных вращений является правильным вращением, а композиция неправильного и правильного вращений является неправильным вращением.

Физические системы

При изучении симметрии физической системы при несобственном вращении (например, если система имеет плоскость зеркальной симметрии) важно различать векторы и псевдовекторы (а также скаляры и псевдоскаляры , и вообще тензоры и псевдотензоры ), поскольку последние по-разному преобразуются при собственных и несобственных вращениях (в 3-х измерениях псевдовекторы инвариантны относительно инверсии).

Смотрите также

• Изометрия
• Ортогональная группа

Ссылки

1. Morawiec, Adam (2004), Ориентации и вращения: вычисления в кристаллографических текстурах, Springer, стр. 7, ISBN 978-3-540-40734-8.
2. Мисслер, Гэри; Фишер, Пол; Тарр, Дональд (2014), Неорганическая химия (5-е изд.), Pearson, стр. 78
3. Kinsey, L. Christine ; Moore, Teresa E. (2002), Симметрия, форма и поверхности: введение в математику через геометрию, Springer, стр. 267, ISBN 978-1-930190-09-2.
4. Кляйн, Филпоттс (2013). Earth Materials . Cambridge University Press. С. 89–90. ISBN 978-0-521-14521-3.
5. Саломон, Дэвид (1999), Компьютерная графика и геометрическое моделирование, Springer, стр. 84, ISBN 978-0-387-98682-1.
6. Bishop, David M. (1993), Теория групп и химия, Courier Dover Publications, стр. 13, ISBN 978-0-486-67355-4.