Энергия гравитационной связи

Гравитационная энергия связи системы — это минимальная энергия, которую необходимо добавить к ней, чтобы система перестала находиться в гравитационно связанном состоянии . Гравитационно связанная система имеет более низкую ( т. е . более отрицательную) гравитационную потенциальную энергию , чем сумма энергий ее частей, когда они полностью разделены — это то, что удерживает систему объединенной в соответствии с принципом минимальной общей потенциальной энергии .

Гравитационная энергия связи может быть концептуально различной в теориях ньютоновской гравитации и теории гравитации Альберта Эйнштейна, называемой общей теорией относительности . В ньютоновской гравитации энергия связи может рассматриваться как линейная сумма взаимодействий между всеми парами микроскопических компонентов системы, тогда как в общей теории относительности это верно лишь приблизительно, если все гравитационные поля слабые. Когда в системе присутствуют более сильные поля, энергия связи является нелинейным свойством всей системы , и ее нельзя концептуально приписать элементам системы. В этом случае энергия связи может рассматриваться как (отрицательная) разность между массой ADM системы, как она проявляется в ее гравитационном взаимодействии с другими удаленными системами, и суммой энергий всех атомов и других элементарных частиц системы в разобранном виде.

Для сферического тела однородной плотности гравитационная энергия связи U определяется в ньютоновской гравитации по формуле ^[2]^[3], где G — гравитационная постоянная , M — масса сферы, а R — ее радиус. $U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}$

Предположим, что Земля представляет собой сферу однородной плотности (что не так, но достаточно близко, чтобы получить оценку порядка величины ) с M =5,97 × 10 ²⁴ кг и r =6,37 × 10 ⁶ м , тогда U =2,24 × 10 ³² Дж . Это примерно равно одной неделе полного энерговыделения Солнца. Это37,5 МДж/кг , 60% от абсолютного значения потенциальной энергии на килограмм на поверхности.

Фактическая зависимость плотности от глубины, выведенная из времени распространения сейсмических волн (см. уравнение Адамса-Вильямсона ), приведена в предварительной эталонной модели Земли (PREM). ^[4] Используя это, реальную гравитационную энергию связи Земли можно рассчитать численно как U =2,49 × 10 ³² Дж .

Согласно теореме вириала , гравитационная энергия связи звезды примерно в два раза больше ее внутренней тепловой энергии , необходимой для поддержания гидростатического равновесия . ^[2] По мере того, как газ в звезде становится более релятивистским , гравитационная энергия связи, необходимая для гидростатического равновесия, приближается к нулю, и звезда становится нестабильной (очень чувствительной к возмущениям), что может привести к сверхновой в случае звезды большой массы из-за сильного давления излучения или к черной дыре в случае нейтронной звезды .

Вывод в рамках ньютоновской гравитации для однородной сферы

Гравитационная энергия связи сферы с радиусом находится путем представления того, что она разрывается путем последовательного перемещения сферических оболочек до бесконечности, начиная с самой внешней, и нахождения общей энергии, необходимой для этого. $R$

Предполагая постоянную плотность , массы оболочки и сферы внутри нее равны: и $\ро$ $m_{\mathrm {shell} }=4\pi r^{2}\rho \,dr$ $m_{\mathrm {interior} }={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho$

Требуемая энергия для оболочки равна отрицательной гравитационной потенциальной энергии: $dU=-G{\frac {m_{\mathrm {оболочка} }m_{\mathrm {interior} }}{r}}$

Интегрирование по всем оболочкам дает: $U=-G\int _{0}^{R}{\frac {\left(4\pi r^{2}\rho \right)\left({\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\rho \right)}{r}}dr=-G{\frac {16}{3}}\pi ^{2}\rho ^{2}\int _{0}^{R}{r^{4}}dr=-G{\frac {16}{15}}{\pi }^{2}{\rho }^{2}R^{5}$

Так как для объектов с однородной плотностью просто равно массе целого, деленной на его объем, то $\ро$

$\rho ={\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}$

И наконец, включение этого в наш результат приводит к $U=-G{\frac {16}{15}}\pi ^{2}R^{5}\left({\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\right)^{2}=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}$

Энергия гравитационной связи

$U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}$

Отрицательный компонент массы

Два тела, расположенные на расстоянии R друг от друга и не двигающиеся друг относительно друга, оказывают гравитационную силу на третье тело, немного меньшую, когда R мало. Это можно рассматривать как отрицательную компоненту массы системы, равную для однородно сферических решений: $M_{\mathrm {binding} }=-{\frac {3GM^{2}}{5Rc^{2}}}$

Например, тот факт, что Земля представляет собой гравитационно связанную сферу ее нынешних размеров, стоит 2,494 21 × 10 ¹⁵ кг массы (примерно одна четвертая массы Фобоса — см. выше то же значение в Джоулях ), и если бы ее атомы были разбросаны по произвольно большому объему, Земля весила бы ее нынешнюю массу плюс2,494 21 × 10 ¹⁵ кг килограммов (и его гравитационное притяжение к третьему телу будет соответственно сильнее).

Можно легко продемонстрировать, что этот отрицательный компонент никогда не может превзойти положительный компонент системы. Отрицательная энергия связи, превышающая массу самой системы, действительно потребовала бы, чтобы радиус системы был меньше: что меньше ее радиуса Шварцшильда : и, следовательно, никогда не был бы виден внешнему наблюдателю. Однако это всего лишь ньютоновское приближение, и в релятивистских условиях необходимо учитывать и другие факторы. ^[5] $R\leq {\frac {3GM}{5c^{2}}}$ ${\textstyle {\frac {3}{10}}}$ $R\leq {\frac {3}{10}}r_{\mathrm {s} }$

Неоднородные сферы

Планеты и звезды имеют радиальные градиенты плотности от их поверхностей с меньшей плотностью до их гораздо более плотных сжатых ядер. Вырожденные материальные объекты (белые карлики; нейтронные звезды-пульсары) имеют радиальные градиенты плотности плюс релятивистские поправки.

Релятивистские уравнения состояния нейтронной звезды включают график радиуса против массы для различных моделей. ^[6] Наиболее вероятные радиусы для данной массы нейтронной звезды заключены в скобки моделей AP4 (наименьший радиус) и MS2 (наибольший радиус). BE — это отношение массы гравитационной энергии связи, эквивалентной наблюдаемой гравитационной массе нейтронной звезды M с радиусом R , $BE={\frac {0.60\,\beta }{1-{\frac {\beta }{2}}}}$ $\beta ={\frac {GM}{Rc^{2}}}.$

Учитывая текущие значения

$G=6.6743\times 10^{-11}\,\mathrm {m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}$ ^[7]
$c^{2}=8.98755\times 10^{16}\,\mathrm {m^{2}\cdot s^{-2}}$
$M_{\odot }=1.98844\times 10^{30}\,\mathrm {kg}$

и масса звезды M, выраженная относительно массы Солнца, $M_{x}={\frac {M}{M_{\odot }}},$

тогда релятивистская дробная энергия связи нейтронной звезды равна

$BE={\frac {885.975\,M_{x}}{R-738.313\,M_{x}}}$

Смотрите также

Ссылки

^ "Spot the cluster". www.eso.org . Получено 31 июля 2017 г. .
^ ab Chandrasekhar, S. 1939, Введение в изучение звездной структуры (Чикаго: U. of Chicago; перепечатано в Нью-Йорке: Dover), раздел 9, уравнения 90–92, стр. 51 (издание Dover)
^ Ланг, К. Р. 1980, Астрофизические формулы (Берлин: Springer Verlag), стр. 272
^ Dziewonski, AM ; Anderson, DL (1981). "Предварительная эталонная модель Земли". Physics of the Earth and Planetary Interiors . 25 (4): 297–356. Bibcode :1981PEPI...25..297D. doi :10.1016/0031-9201(81)90046-7.
^ Katz, Joseph; Lynden-Bell, Donald; Bičák, Jiří (27 октября 2006 г.). «Гравитационная энергия в стационарном пространстве-времени». Classical and Quantum Gravity . 23 (23): 7111–7128. arXiv : gr-qc/0610052 . Bibcode : 2006CQGra..23.7111K. doi : 10.1088/0264-9381/23/23/030. S2CID 1375765.
^ Массы и радиусы нейтронных звезд Архивировано 17 декабря 2011 г. на Wayback Machine , стр. 9/20, внизу
^ "2022 CODATA Value: Ньютоновская постоянная тяготения". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 2024-05-18 .