В математике многочлен P ( X ) над заданным полем K называется сепарабельным , если его корни различны в алгебраическом замыкании поля K , то есть число различных корней равно степени многочлена . [1]
Это понятие тесно связано с бесквадратным многочленом . Если K — совершенное поле , то эти два понятия совпадают. В общем случае P ( X ) сепарабельно тогда и только тогда, когда оно бесквадратно над любым полем, содержащим K , что выполняется тогда и только тогда, когда P ( X ) взаимно просто со своей формальной производной D P ( X ).
В более старом определении P ( X ) считался отделимым, если каждый из его неприводимых множителей в K [ X ] отделим в современном определении. [2] В этом определении отделимость зависела от поля K ; например, любой многочлен над совершенным полем считался бы отделимым. Это определение, хотя оно может быть удобным для теории Галуа , больше не используется. [3]
Разделимые многочлены используются для определения разделимых расширений : расширение поля K ⊂ L является разделимым расширением тогда и только тогда, когда для каждого α из L , которое является алгебраическим над K , минимальный многочлен α над K является разделимым многочленом.
Неотделимые расширения (то есть расширения, которые неотделимы) могут встречаться только в положительной характеристике .
Приведенный выше критерий приводит к быстрому выводу, что если P неприводимо и неразделимо, то D P ( X ) = 0. Таким образом, мы должны иметь
для некоторого многочлена Q над K , где простое число p является характеристикой.
Используя эту подсказку, мы можем построить пример:
где K — поле рациональных функций в неопределенном T над конечным полем с p элементами. Здесь можно доказать напрямую, что P ( X ) неприводимо и неотделимо. Это на самом деле типичный пример того, почему неотделимость имеет значение; в геометрических терминах P представляет собой отображение на проективной прямой над конечным полем, возводя координаты в их p -ю степень. Такие отображения являются фундаментальными для алгебраической геометрии конечных полей. Иными словами, в этой обстановке существуют покрытия, которые не могут быть «увидены» теорией Галуа. (См. Радикальный морфизм для обсуждения на более высоком уровне.)
Если L — расширение поля
Другими словами, поле расщепления P , тогда L / K является примером чисто неотделимого расширения поля . Оно имеет степень p , но не имеет автоморфизма, фиксирующего K , кроме тождественного, поскольку T 1 / p является единственным корнем P . Это непосредственно показывает, что теория Галуа должна здесь разрушиться. Поле, такое, что нет таких расширений, называется совершенным . То, что конечные поля совершенны, следует апостериори из их известной структуры.
Можно показать, что тензорное произведение полей L с собой над K для этого примера имеет нильпотентные элементы, которые не равны нулю. Это еще одно проявление неотделимости: то есть операция тензорного произведения над полями не обязательно должна производить кольцо , которое является произведением полей (то есть, не коммутативное полупростое кольцо ).
Если P ( x ) сепарабельно и его корни образуют группу ( подгруппу поля K ), то P ( x ) является аддитивным многочленом .
Разделимые многочлены часто встречаются в теории Галуа .
Например, пусть P — неприводимый многочлен с целыми коэффициентами , а p — простое число, которое не делит старший коэффициент P. Пусть Q — многочлен над конечным полем с p элементами, который получается путем приведения по модулю p коэффициентов P. Тогда, если Q является сепарабельным (что имеет место для любого p, кроме конечного числа) , то степени неприводимых множителей Q являются длинами циклов некоторой перестановки группы Галуа P.
Другой пример: P , как указано выше, резольвента R для группы G — это многочлен, коэффициенты которого являются многочленами от коэффициентов P , что дает некоторую информацию о группе Галуа P. Точнее, если R отделимо и имеет рациональный корень, то группа Галуа P содержится в G. Например, если D — дискриминант P , то — резольвента для знакопеременной группы . Эта резольвента всегда отделима (при условии, что характеристика не равна 2), если P неприводима, но большинство резольвент не всегда отделимы.
