В математике и статистике отклонение служит мерой количественной оценки несоответствия между наблюдаемым значением переменной и другим назначенным значением, часто средним значением этой переменной . Отклонения относительно выборочного среднего и генерального среднего (или « истинного значения ») называются ошибками и остатками соответственно. Знак отклонения указывает направление этой разницы: отклонение является положительным, когда наблюдаемое значение превышает опорное значение. Абсолютное значение отклонения указывает на размер или величину разницы. В данной выборке имеется столько отклонений, сколько точек выборки . Сводная статистика может быть получена на основе набора отклонений, таких как стандартное отклонение и среднее абсолютное отклонение , меры дисперсии , и среднее знаковое отклонение , мера систематической ошибки. [1]
Отклонение каждой точки данных рассчитывается путем вычитания среднего значения набора данных из отдельной точки данных. Математически отклонение d точки данных x в наборе данных определяется выражением
Этот расчет представляет собой «расстояние» точки данных от среднего значения и предоставляет информацию о том, насколько отдельные значения отличаются от среднего. Положительные отклонения указывают на значения выше среднего, а отрицательные отклонения указывают на значения ниже среднего. [1]
Сумма квадратов отклонений является ключевым компонентом в расчете дисперсии, еще одной мерой разброса или дисперсии набора данных. Дисперсия рассчитывается путем усреднения квадратов отклонений. Отклонение является фундаментальной концепцией для понимания распределения и изменчивости точек данных в статистическом анализе. [1]
Отклонение, которое представляет собой разницу между наблюдаемым значением и истинным значением интересующей величины (где истинное значение обозначает ожидаемое значение, например среднее значение генеральной совокупности), является ошибкой. [2]
Отклонение, которое представляет собой разницу между наблюдаемым значением и истинным значением интересующей величины (например, среднего значения совокупности), является ошибкой .
Отклонение, которое представляет собой разницу между наблюдаемым значением и оценкой истинного значения (например, выборочного среднего), является остатком . Эти концепции применимы к данным на интервальном и относительном уровнях измерения. [3]
Среднее абсолютное отклонение (AAD) в статистике — это мера дисперсии или разброса набора точек данных вокруг центрального значения, обычно среднего или медианы. Он рассчитывается путем взятия среднего значения абсолютных разностей между каждой точкой данных и выбранным центральным значением. AAD обеспечивает измерение типичной величины отклонений от центрального значения в наборе данных, давая представление об общей изменчивости данных. [5]
Наименьшее абсолютное отклонение (LAD) — это статистический метод, используемый в регрессионном анализе для оценки коэффициентов линейной модели. В отличие от более распространенного метода наименьших квадратов, который минимизирует сумму квадратов вертикальных расстояний (остатков) между наблюдаемыми и прогнозируемыми значениями, метод LAD минимизирует сумму абсолютных вертикальных расстояний.
В контексте линейной регрессии, если ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), ... являются точками данных, а a и b являются коэффициентами, которые необходимо оценить для линейной модели.
оценки наименьшего абсолютного отклонения ( a и b ) получаются путем минимизации суммы.
Метод LAD менее чувствителен к выбросам по сравнению с методом наименьших квадратов, что делает его надежным методом регрессии при наличии асимметричных или тяжелых распределений остатков. [6]
Для несмещенной оценки среднее значение отклонений со знаком по всему набору всех наблюдений от ненаблюдаемого значения параметра совокупности равно нулю по сколь угодно большому количеству выборок. Однако по построению среднее знаковое отклонение значений от выборочного среднего значения всегда равно нулю, хотя среднее знаковое отклонение от другого показателя центральной тенденции, такого как выборочная медиана, не обязательно должно быть нулевым.
Среднее знаковое отклонение — это статистическая мера, используемая для оценки среднего отклонения набора значений от центральной точки, обычно среднего значения. Он рассчитывается путем взятия среднего арифметического знаковых разностей между каждой точкой данных и среднего значения набора данных.
Термин «со знаком» указывает на то, что отклонения рассматриваются с соответствующими знаками, означающими, находятся ли они выше или ниже среднего значения. В расчет включаются положительные отклонения (выше среднего) и отрицательные отклонения (ниже среднего). Среднее знаковое отклонение позволяет измерить среднее расстояние и направление точек данных от среднего значения, что дает представление об общей тенденции и распределении данных. [3]
В качестве меры статистической дисперсии используется статистика распределения отклонений .
Отклонения, которые измеряют разницу между наблюдаемыми значениями и некоторой контрольной точкой, по своей сути имеют единицы, соответствующие используемой шкале измерений. Например, если измеряется длина, отклонения будут выражаться в таких единицах, как метры или футы. Чтобы сделать отклонения безразмерными и облегчить сравнение между различными наборами данных, можно обезразмерить .
Один из распространенных методов включает деление отклонений на меру масштаба ( статистическая дисперсия ), при этом стандартное отклонение генеральной совокупности используется для стандартизации или стандартное отклонение выборки для стьюдентизации (например, стьюдентизированный остаток ).
Другой подход к обезразмериванию фокусируется на масштабировании по местоположению, а не на дисперсии. Процентное отклонение служит иллюстрацией этого метода и рассчитывается как разница между наблюдаемым значением и принятым значением, деленная на принятое значение и затем умноженная на 100%. Масштабируя отклонение на основе принятого значения, этот метод позволяет выразить отклонения в процентах, обеспечивая четкое представление об относительной разнице между наблюдаемыми и принятыми значениями. Оба метода обезразмеривания служат цели сделать отклонения сопоставимыми и интерпретируемыми за пределами конкретных единиц измерения. [10]
В одном примере проводится серия измерений скорости звука в конкретной среде. Принятое или ожидаемое значение скорости звука в этой среде, основанное на теоретических расчетах, составляет 343 метра в секунду.
Сейчас в ходе эксперимента разные исследователи проводят множественные измерения. Исследователь А измеряет скорость звука как 340 метров в секунду, что приводит к отклонению на -3 метра в секунду от ожидаемого значения. Исследователь Б, с другой стороны, измеряет скорость как 345 метров в секунду, что приводит к отклонению +2 метра в секунду.
В этом научном контексте отклонение помогает количественно определить, насколько отдельные измерения отличаются от теоретически предсказанного или принятого значения. Он дает представление о точности и точности экспериментальных результатов, позволяя исследователям оценить надежность своих данных и потенциально выявить факторы, способствующие расхождениям.
В другом примере предположим, что в результате химической реакции ожидается получение 100 граммов определенного соединения, основанного на стехиометрии. Однако в реальном лабораторном эксперименте проводится несколько испытаний в разных условиях.
В испытании 1 фактический выход составил 95 граммов, что привело к отклонению на -5 граммов от ожидаемого выхода. В испытании 2 фактический выход составил 102 грамма, что привело к отклонению +2 грамма. Эти отклонения от ожидаемого значения дают ценную информацию об эффективности и воспроизводимости химической реакции в различных условиях.
Ученые могут анализировать эти отклонения, чтобы оптимизировать условия реакции, выявить потенциальные источники ошибок и повысить общий выход и надежность процесса. Концепция отклонения имеет решающее значение для оценки точности экспериментальных результатов и принятия обоснованных решений для улучшения результатов научных экспериментов.
