Отношение площади поверхности к объему

Площадь поверхности на единицу объема

Графики площади поверхности, A против объема, V Платоновых тел и сферы, показывающие, что площадь поверхности уменьшается для более круглых форм, а отношение площади поверхности к объему уменьшается с увеличением объема. Их пересечения с пунктирными линиями показывают, что при увеличении объема в 8 (2³) раз площадь поверхности увеличивается в 4 (2²) раза.

Отношение площади поверхности к объему или отношение поверхности к объему (обозначается как SA:V , SA/V или sa/vol ) — это отношение площади поверхности к объему объекта или совокупности объектов.

SA:V — важная концепция в науке и технике. Она используется для объяснения связи между структурой и функцией в процессах, происходящих через поверхность и объем. Хорошими примерами таких процессов являются процессы, регулируемые уравнением теплопроводности , ^[1] то есть диффузия и передача тепла посредством теплопроводности . ^[2] SA:V используется для объяснения диффузии малых молекул, таких как кислород и углекислый газ , между воздухом, кровью и клетками, ^{[3] потери} воды животными, ^[4] бактериального морфогенеза, ^[5] терморегуляции организма , ^[6] проектирования искусственной костной ткани, ^[7] искусственных легких ^[8] и многих других биологических и биотехнологических структур. Дополнительные примеры см. у Glazier. ^[9]

Связь между SA:V и скоростью диффузии или теплопроводности объясняется с точки зрения потока и поверхности, фокусируясь на поверхности тела как месте, где происходит диффузия или теплопроводность, т. е. чем больше SA:V, тем больше площадь поверхности на единицу объема, через которую может диффундировать материал, следовательно, диффузия или теплопроводность будут быстрее. Похожее объяснение появляется в литературе: «Малый размер подразумевает большое отношение площади поверхности к объему, тем самым помогая максимизировать поглощение питательных веществ через плазматическую мембрану», ^[10] и в других местах. ^{[9] [11] [12]}

Для заданного объема объект с наименьшей площадью поверхности (и, следовательно, с наименьшим SA:V) является шаром , что является следствием изопериметрического неравенства в 3 измерениях . Напротив, объекты с остроугольными шипами будут иметь очень большую площадь поверхности для заданного объема.

Для твердых сфер

График отношения площади поверхности к объему (SA:V) для трехмерного шара, показывающий, что отношение уменьшается обратно пропорционально увеличению радиуса шара.

Твердая сфера или шар — это трехмерный объект, представляющий собой объемную фигуру , ограниченную сферой . (В геометрии термин «сфера» относится только к поверхности, поэтому в данном контексте сфера не имеет объема .)

Для обычного трехмерного шара SA:V можно рассчитать с помощью стандартных уравнений для поверхности и объема, которые равны, соответственно, и . Для единичного случая, в котором r = 1, SA:V, таким образом, равно 3. Для общего случая SA:V равно 3/ r , в обратной зависимости от радиуса - если радиус удваивается, SA:V уменьшается вдвое (см. рисунок). ${\displaystyle SA=4\pi {r^{2}}}$ ${\displaystyle V=(4/3)\pi {r^{3}}}$

Длян-мерные шары

Шары существуют в любом измерении и обычно называются n -шарами или гипершарами , где n — число измерений. Те же рассуждения можно обобщить для n-шаров, используя общие уравнения для объема и площади поверхности, которые таковы:

${\displaystyle V={\frac {r^{n}\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}}$

${\displaystyle SA={\frac {nr^{n-1}\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+{n/2})}}}$

Итак, отношение равно . Таким образом, та же линейная зависимость между площадью и объемом сохраняется для любого числа измерений (см. рисунок): удвоение радиуса всегда уменьшает отношение вдвое. ${\displaystyle SA/V=nr^{-1}}$

Размеры и единицы измерения

Отношение площади поверхности к объему имеет физическую размерность, обратную длине (L ⁻¹ ), и поэтому выражается в единицах обратного метра (м ^-1 ) или его префиксных кратных и дольных единицах. Например, куб со сторонами длиной 1  см будет иметь площадь поверхности 6 см ² и объем 1 см ³ . Отношение поверхности к объему для этого куба, таким образом,

${\displaystyle {\mbox{SA:V}}={\frac {6~{\mbox{cm}}^{2}}{1~{\mbox{cm}}^{3}}}=6~{\mbox{cm}}^{-1}}$.

Для заданной формы SA:V обратно пропорционально размеру. Куб со стороной 2 см имеет отношение 3 см ⁻¹ , что вдвое меньше, чем у куба со стороной 1 см. И наоборот, сохранение SA:V при увеличении размера требует изменения формы на менее компактную .

Приложения

Физическая химия

Материалы с высоким отношением площади поверхности к объему (например, очень малый диаметр, очень пористые или иным образом некомпактные ) реагируют гораздо быстрее, чем монолитные материалы, поскольку для реакции доступна большая поверхность. Примером может служить зерновая пыль: хотя зерно обычно не воспламеняется, зерновая пыль взрывоопасна . Мелкоизмельченная соль растворяется гораздо быстрее, чем крупная соль.

Высокое отношение площади поверхности к объему обеспечивает мощную «движущую силу» для ускорения термодинамических процессов, которые минимизируют свободную энергию .

Биология

Клетки , выстилающие тонкий кишечник, увеличивают площадь поверхности, на которой они могут поглощать питательные вещества, с помощью ковра из пучкообразных микроворсинок .

Соотношение между площадью поверхности и объемом клеток и организмов оказывает огромное влияние на их биологию , включая их физиологию и поведение . Например, многие водные микроорганизмы имеют увеличенную площадь поверхности, чтобы увеличить свое сопротивление в воде. Это снижает их скорость погружения и позволяет им оставаться вблизи поверхности с меньшими затратами энергии. ^{[ необходима цитата ]}

Увеличенное отношение площади поверхности к объему также означает повышенное воздействие окружающей среды. Тонко разветвленные придатки фильтраторов, таких как криль, обеспечивают большую площадь поверхности для просеивания воды в поисках пищи. ^[13]

Отдельные органы, такие как легкие, имеют многочисленные внутренние разветвления, которые увеличивают площадь поверхности; в случае легких большая поверхность поддерживает газообмен, доставляя кислород в кровь и выделяя углекислый газ из крови. ^{[14] [15]} Аналогично, тонкий кишечник имеет мелкоморщинистую внутреннюю поверхность, что позволяет организму эффективно усваивать питательные вещества. ^[16]

Клетки могут достигать высокого соотношения площади поверхности к объему с помощью сложно извилистой поверхности, подобной микроворсинкам, выстилающим тонкую кишку . ^[17]

Увеличение площади поверхности также может привести к биологическим проблемам. Большее количество контактов с окружающей средой через поверхность клетки или органа (по отношению к ее объему) увеличивает потерю воды и растворенных веществ. Высокие отношения площади поверхности к объему также представляют проблемы контроля температуры в неблагоприятных условиях. ^{[ необходима цитата ]}

Соотношение поверхности и объема организмов разных размеров также приводит к некоторым биологическим правилам , таким как правило Аллена , правило Бергмана ^{[18] [19] [20]} и гигантотермия . ^[21]

Распространение огня

В контексте лесных пожаров отношение площади поверхности твердого топлива к его объему является важным измерением. Характер распространения огня часто коррелирует с отношением площади поверхности к объему топлива (например, листьев и ветвей). Чем выше его значение, тем быстрее частица реагирует на изменения условий окружающей среды, таких как температура или влажность. Более высокие значения также коррелируют с более коротким временем воспламенения топлива и, следовательно, более высокой скоростью распространения огня.

Планетарное охлаждение

Тело ледяного или каменистого материала в открытом космосе может, если оно может накапливать и удерживать достаточно тепла, развить дифференцированную внутреннюю часть и изменить свою поверхность посредством вулканической или тектонической активности. Продолжительность времени, в течение которого планетарное тело может поддерживать активность, изменяющую поверхность, зависит от того, насколько хорошо оно удерживает тепло, и это регулируется соотношением площади его поверхности к объему. Для Весты (r = 263 км) это соотношение настолько велико, что астрономы были удивлены, обнаружив, что оно действительно дифференцировалось и имело кратковременную вулканическую активность. Луна , Меркурий и Марс имеют радиусы в несколько тысяч километров; все три сохраняли тепло достаточно хорошо, чтобы быть полностью дифференцированными, хотя примерно через миллиард лет они стали слишком холодными, чтобы показывать что-либо большее, чем очень локализованную и нечастую вулканическую активность. Однако по состоянию на апрель 2019 года НАСА объявило об обнаружении «марсотрясения», измеренного 6 апреля 2019 года посадочным модулем НАСА InSight. ^[22] Венера и Земля (r>6000 км) имеют достаточно низкое отношение площади поверхности к объему (примерно вдвое меньше, чем у Марса и намного ниже, чем у всех других известных каменистых тел), поэтому их потери тепла минимальны. ^[23]

Математические примеры

Смотрите также

• Мера компактности формы
• Взрыв пыли
• Закон квадрата-куба
• Удельная площадь поверхности

Ссылки

• Шмидт-Нильсен, Кнут (1984). Масштабирование: почему размер животного так важен? . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-26657-4. OCLC  10697247.
• Фогель, Стивен (1988). Устройства жизни: Физический мир животных и растений . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08504-3. OCLC  18070616.

Специфический

1. Планиншич, Горазд; Фоллмер, Михаэль (20 февраля 2008 г.). «Отношение поверхности к объему в тепловой физике: от физики сырного кубика до метаболизма животных». European Journal of Physics . 29 (2): 369–384. Bibcode :2008EJPh...29..369P. doi :10.1088/0143-0807/29/2/017. S2CID  55488270 . Получено 9 июля 2021 г. .
2. Планиншич, Горазд (2008). «Отношение поверхности к объему в тепловой физике: от физики сырного кубика до метаболизма животных». Европейский журнал физики Европейское физическое общество, Узнать больше . 29 (2): 369–384. Bibcode :2008EJPh...29..369P. doi :10.1088/0143-0807/29/2/017. S2CID  55488270.
3. Уильямс, Питер; Уорик, Роджер; Дайсон, Мэри; Баннистер, Лоуренс Х. (2005). Анатомия Грея (39-е изд.). Черчилль Ливингстон. С. 1278–1282.
4. Джереми М., Ховард; Ханна-Бет, Гриффис; Вестендорф, Рэйчел; Уильямс, Джейсон Б. (2019). «Влияние размера и абиотических факторов на потерю воды кожей». Достижения в области физиологического образования . 44 (3): 387–393. doi : 10.1152/advan.00152.2019 . PMID  32628526.
5. Харрис, Ли К.; Териот, Джули А. (2018). «Отношение площади поверхности к объему: естественная переменная для бактериального морфогенеза». Тенденции в микробиологии . 26 (10): 815–832. doi :10.1016/j.tim.2018.04.008. PMC 6150810. PMID  29843923 . 
6. Louw, Gideon N. (1993). Физиологическая экология животных . Longman Pub Group.
7. Нгуен, Тхань Дань; Олуфеми Э., Кадри; Вассилиос И., Сикавицас; Воронов, Роман С. (2019). «Матрицы с высоким отношением площади поверхности к объему, культивируемые в условиях быстрой перфузии, обеспечивают оптимальную доставку O2 к клеткам в искусственных костных тканях». Прикладные науки . 9 (11): 2381. doi : 10.3390/app9112381 .
8. J. K, Lee; HH, Kung; LF, Mockros (2008). «Микроканальные технологии для искусственных легких: (1) теория». Журнал ASAIO . 54 (4): 372–382. doi : 10.1097/MAT.0b013e31817ed9e1 . PMID  18645354. S2CID  19505655.
9. Glazier, Douglas S. (2010). «Объединяющее объяснение разнообразного метаболического масштабирования у животных и растений». Biological Reviews . 85 (1): 111–138. doi :10.1111/j.1469-185X.2009.00095.x. PMID  19895606. S2CID  28572410.
10. Альбертс, Брюс (2002). «Разнообразие геномов и древо жизни». Молекулярная биология клетки, 4-е издание. Нью-Йорк: Garland Science. ISBN 0-8153-3218-1. ISBN 0-8153-4072-9 . 
11. Адам, Джон (01.01.2020). «Каков ваш индекс сферичности? Рационализация площади поверхности и объема». Учитель математики Вирджинии . 46 (2).
12. Оки, Джордан Г. (март 2013 г.). «Общие модели для спектров стратегий масштабирования площади поверхности клеток и организмов: фрактальность, геометрическое различие и интернализация». The American Naturalist . 181 (3): 421–439. doi :10.1086/669150. ISSN  1537-5323. PMID  23448890. S2CID  23434720.
13. Kils, U.: Плавание и питание антарктического криля, Euphausia superba - некоторые выдающиеся энергетические и динамические характеристики - некоторые уникальные морфологические детали . В Berichte zur Polarforschung , Институт полярных и морских исследований им. Альфреда Вегенера , Специальный выпуск 4 (1983): "О биологии криля Euphausia superba ", Труды семинара и отчет Группы по экологии криля, редактор С. Б. Шнак, 130-155 и изображение титульного листа.
14. Tortora, Gerard J.; Anagnostakos, Nicholas P. (1987). Principles of anatomy and physiology (Пятое изд.). New York: Harper & Row, Publishers. С. 556–582. ISBN 978-0-06-350729-6.
15. Уильямс, Питер Л.; Уорик, Роджер; Дайсон, Мэри; Баннистер, Лоуренс Х. (1989). Анатомия Грея (Тридцать седьмое изд.). Эдинбург: Черчилль Ливингстон. С. 1278–1282. ISBN 0443-041776.
16. Ромер, Альфред Шервуд; Парсонс, Томас С. (1977). Тело позвоночного . Филадельфия, Пенсильвания: Holt-Saunders International. стр. 349–353. ISBN 978-0-03-910284-5.
17. Краузе Дж. Уильям (июль 2005 г.). Краузе «Основы гистологии человека для студентов-медиков». Universal-Publishers. стр. 37–. ISBN 978-1-58112-468-2. Получено 25 ноября 2010 г.
18. Мейри, С.; Даян, Т. (2003-03-20). «О справедливости правила Бергмана». Журнал биогеографии . 30 (3): 331–351. Bibcode :2003JBiog..30..331M. doi :10.1046/j.1365-2699.2003.00837.x. S2CID  11954818.
19. Эштон, Кайл Г.; Трейси, Марк К.; Кейрос, Алан де (октябрь 2000 г.). «Правило Бергмана действительно для млекопитающих?». The American Naturalist . 156 (4): 390–415. doi :10.1086/303400. JSTOR  10.1086/303400. PMID  29592141. S2CID  205983729.
20. Миллиен, Вирджиния; Лайонс, С. Кэтлин; Олсон, Линк; и др. (23 мая 2006 г.). «Экотипическая изменчивость в контексте глобального изменения климата: пересмотр правил». Ecology Letters . 9 (7): 853–869. Bibcode :2006EcolL...9..853M. doi :10.1111/j.1461-0248.2006.00928.x. PMID  16796576.
21. Фицпатрик, Кэти (2005). "Гигантотермия". Колледж Дэвидсона . Архивировано из оригинала 2012-06-30 . Получено 2011-12-21 .
22. "Марсотрясение! Посадочный модуль InSight от NASA почувствовал первое дрожание Красной планеты". Space.com . 23 апреля 2019 г.
23. "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2018-06-13 . Получено 2018-08-22 .{{cite web}}: CS1 maint: архивная копия как заголовок ( ссылка )

Внешние ссылки

• Размеры организмов: отношение площади поверхности к объему Архивировано 14 августа 2017 г. на Wayback Machine
• Национальная координационная группа по лесным пожарам: соотношение площади поверхности к объему
• Предыдущая ссылка не работает, ссылки находятся в этом документе, PDF

Дальнейшее чтение

• О правильном размере, JBS Haldane Архивировано 2011-08-22 на Wayback Machine