Пусть будет множеством с частичным порядком . Как обычно, пусть будет отношением на такое, что тогда и только тогда, когда и .
Пусть и будут элементами .
Тогда охватывает , записано , если и не существует такого элемента, что . Эквивалентно, охватывает , если интервал является двухэлементным множеством .
Когда , говорят, что является покрытием . Некоторые авторы также используют термин покрытие для обозначения любой такой пары в отношении покрытия.
Примеры
В конечном линейно упорядоченном множестве {1, 2, ..., n } i + 1 покрывает i для всех i от 1 до n − 1 (и других покрывающих отношений нет).
В булевой алгебре степенного множества множества S подмножество B множества S покрывает подмножество A множества S тогда и только тогда, когда B получается из A добавлением одного элемента, не входящего в A.
В решетке Юнга , образованной разбиениями всех неотрицательных целых чисел, разбиение λ покрывает разбиение μ тогда и только тогда, когда диаграмма Юнга для λ получается из диаграммы Юнга для μ путем добавления дополнительной ячейки.
Для действительных чисел с обычным общим порядком ≤ покрывающее множество пусто: ни одно число не покрывает другое.
Характеристики
Если частично упорядоченное множество конечно, его отношение покрытия является транзитивной редукцией отношения частичного порядка. Такие частично упорядоченные множества, следовательно, полностью описываются их диаграммами Хассе. С другой стороны, в плотном порядке , таком как рациональные числа со стандартным порядком, ни один элемент не покрывает другой.